等しい球体の密充填

球体の密充填の問題は、アメリカ遠征中にウォルター・ローリー卿から船に砲弾を積み上げる方法について質問された後、1587年頃にトーマス・ハリオットによって初めて数学的に分析されました。 ^{[ 5 ]} 砲弾は通常、長方形または三角形の木製フレームに積み上げられ、3面または4面のピラミッドを形成します。どちらの配置も、地面に対する向きが異なる面心立方格子を生成します。六角形の密充填は、六角形の底面を持つ六面ピラミッドになります。

砲弾問題とは、平らな正方形の砲弾の配置のうち、どれを積み重ねると正四角錐になるかを問う問題である。エドゥアール・リュカはこの問題をディオファントス方程式として定式化した。

$${\displaystyle \sum _{n=1}^{N}n^{2}=M^{2}}$$

または同等に、

$${\displaystyle {\frac {1}{6}}N(N+1)(2N+1)={\frac {2N^{3}+3N^{2}+N}{6}}=M^{2}}$$

そして、唯一の解決策は${\displaystyle N=1,M=1,}$そして${\displaystyle N=24,M=70}$。 ここ${\displaystyle N}$はピラミッド型積層構造の層数であり、${\displaystyle M}$これは、平らな正方形の配置において、辺に沿って並ぶ砲弾の数です。

FCC配置とHCP配置のどちらにおいても、各球は12個の隣接球を持ちます。各球には、6個の球に囲まれた1つの隙間（正八面体）と、4個の球に囲まれた2つの小さな隙間（正四面体）があります。球の半径が1の場合、これらの隙間の中心から周囲の球の中心までの距離は、正四面体では√3/ 2、正八面体では√2です。

位置Aを持つ基準層に対して、さらに2つの位置BとCが可能である。A、B、Cのあらゆる組み合わせが可能であり、同じ組み合わせが連続しない限り、与えられた半径の球に対して等密度の充填が得られる。

最も一般的なものは

• FCC = ABC ABC ABC...（3層ごとに同じ構造）
• HCP = AB AB AB AB... (他の層はすべて同じです)。

結晶学者ウィリアム・バーロウにちなんで「バーロウ・パッキング」と総称されることもある、数えきれないほど無秩序な平面配列（例：ABCACBABABAC...）が存在する。^{[ 6 ]}

密充填では、 xy平面における球の中心間隔は、球の直径と同じピッチ（球の中心間の距離）を持つ単純なハニカム状のテセレーションになります。球の中心間の距離をz（垂直）軸に投影すると、次のようになります。

$${\displaystyle {\text{pitch}}_{Z}={\sqrt {6}}\cdot {d \over 3}\approx 0.816\,496\,58d,}$$

ここでdは球の直径であり、これは密に詰まった球の正四面体配置から導かれる。

HCPとFCCの配位数は12であり、それらの原子充填率（APF）は上記の数値である0.74に等しい。

球の ABAB-... 六方最密充填を形成するには、格子の座標点が球の中心になります。目標が HCP に従って球でボックスを満たすことだとします。ボックスはx - y - z座標空間に配置されます。

まず、球を一列に並べます。中心はすべて一直線上に並びます。各球の中心間の距離は 2 rなので、 x座標は 2 rずつ変化します。y座標と z 座標は同じです。簡単にするために、球を最初の列とし、y座標とz座標を単にrとすると、球の表面はゼロ平面上にあります。最初の列の中心の座標は、(2 r , r , r ), (4 r , r , r ), (6 r , r , r ), (8 r , r , r ), ...のようになります。          

次に、次の球の列を形成します。ここでも、中心はすべて直線上にあり、x座標の差は 2rですが、 x方向に距離rだけずれるため、この列のすべての球の中心は、最初の列で 2 つの球が接しているx座標と一致します。これにより、新しい列の球は、新しい列のすべての球が最初の列の 2 つの球に接するまで、最初の列に近づいてスライドすることができます。新しい球は2 つの球に接しているため、それらの中心は、隣接する 2 つの球の中心と正三角形を形成します。辺の長さはすべて 2r なので、列間の高さまたは y 座標の差は √3r です。したがって、この列のn番目の中心の座標は、0 から始めて、( 2n + 1) r、r + √3r 、 rとなります。

( r , r + √ 3 r , r ), (3 r , r + √ 3 r , r ), (5 r , r + √ 3 r , r ), ...            

この列の最初の球体は、元の列の球体のうち1つにしか接していませんが、その位置は列の残りの球体と調和しています。

次の行では、x座標をrだけ、y座標を√3だけずらすというこのパターンに従います。ボックスのxとyの最大境界に達するまで行を追加してください。

ABAB-...の積み重ねパターンでは、奇数番目の球面はz座標のピッチの違いを除いて全く同じ座標を持ち、偶数番目の球面はx座標とy座標が同じになります。どちらのタイプの球面も上記のパターンを使用して形成されますが、最初の列の最初の球の開始位置は異なります。

上記で正確に説明した平面 #1、A 平面を使用して、この平面の上に球を配置し、A 平面内の 3 つの球に接するようにします。3 つの球はすべて互いに接しており、正三角形を形成しています。また、これらはすべて新しい球に接しているため、4 つの中心は正四面体を形成します。^{[ 7 ]}すべての辺は 2 つの球が接して形成されるため、すべての辺の長さは 2r に等しくなります。その高さ、つまり 2 つの「平面」間の z 座標の差は √6r2/3です。これにx座標とy座標のオフセットを組み合わせると、B 平面の最初の行の中心が得られます。

( r , r + 1 ⁄ √ 3 r , r + 2 √ 2/3 r ), (3 r , r + 1 ⁄ √ 3 r , r + 2 √ 2/3 r ), (5 r , r + 1 ⁄ √ 3 r , r + 2 √ 2/3 r ), ...                  

2行目の座標は、上記で最初に説明したパターンに従い、以下のとおりです。

(2 r、r + 4 ⁄ √ 3 r、r + 2 √ 2/3 r )、(4 r、r + 4 ⁄ √ 3 r、r + 2 √ 2/3 r )、 (6 r、r + 4 ⁄ √ 3 r、r + 2 √ 2/3 r )、...                  

次の平面であるA平面との差は、z方向で再び2√2 / 3rであり、最初のA平面のx座標とy座標に一致するようにxとyがシフトしている。 ^{[ 8 ]}

一般的に、球の中心の座標は次のように表すことができます。

$${\displaystyle {\begin{bmatrix}2i+{\bigl (}(j\ +\ k){\bmod {2}}{\bigr )}\\{\sqrt {3}}j+{\frac {k{\bmod {2}}}{\sqrt {3}}}\\2{\sqrt {\frac {2}{3}}}k\\\end{bmatrix}}r}$$

ここで、i、j、kは、 x、y、z座標の0から始まるインデックスです。