ペンローズ-ホーキング特異点定理

ペンローズ・ホーキング特異点定理（ロジャー・ペンローズとスティーブン・ホーキングにちなむ）は、一般相対性理論における一連の結果であり、重力がいつ特異点を生み出すのかという疑問に答えようとするものである。ペンローズ特異点定理は半リーマン幾何学の定理であり、その一般相対論的解釈はブラックホール形成における重力特異点を予測する。ホーキング特異点定理はペンローズ定理に基づいており、ビッグバン状況における重力特異点として解釈される。ペンローズは2020年のノーベル物理学賞の半分を「ブラックホール形成が一般相対性理論の堅牢な予測であるという発見」に対して共同受賞した。 ^[1]

アインシュタイン場の方程式の解における特異点は、次の 3 つのいずれかです。

• 空間的特異点: 特異点は、特定の領域内のすべてのイベントの未来または過去にあります。ビッグバン特異点と、回転しない非荷電シュワルツシルト ブラックホール内の典型的な特異点は、空間的です。
• 時間的特異点: これらは、必ずしもすべてのイベントの未来にあるわけではないため、観測者が回避できる特異点です。観測者は、時間的特異点の周りを移動できる可能性があります。これらは、アインシュタイン場の方程式の既知の解ではあまり一般的ではありません。
• ヌル特異点: これらの特異点は、光のような表面またはヌル表面で発生します。例としては、荷電ブラックホール (ライスナー・ノルドストローム) または回転ブラックホール (カー) のCauchy 地平線など、特定の種類のブラックホール内部に見られることがあります。

特異点は強い場合と弱い場合があります。

• 弱い特異点: 弱い特異点とは、潮汐力 (ブラックホールのスパゲッティ化の原因) が必ずしも無限ではない特異点です。弱い特異点に落ち込む観測者は、特異点に到達する前に引き裂かれることはありませんが、それでも物理法則はそこで破綻します。荷電または回転するブラックホール内のコーシー地平線は、弱い特異点の例である可能性があります。
• 強い特異点: 強い特異点とは、潮汐力が無限大になる特異点です。強い特異点では、どんな物体も特異点に近づくにつれて無限大の潮汐力によって破壊されます。シュワルツシルト ブラック ホールの中心にある特異点は、強い特異点の例です。

空間的特異点は、シュワルツシルト計量によって記述される非回転非荷電ブラックホールの特徴であり、時間的特異点は荷電または回転ブラックホールの厳密解で発生する特異点です。どちらも測地線不完全性という特性があり、光路または粒子の経路のいずれかが、特定の固有時間またはアフィンパラメータ（アフィンパラメータは固有時間のヌルアナログ）を超えて拡張することはできません。

ペンローズの定理は、物質が妥当なエネルギー条件を満たすときはいつでも、ブラックホール内部に何らかの測地線不完全性が生じることを保証します。ブラックホール特異点定理に必要なエネルギー条件は弱いものです。光線は常に重力によって集中し、引き離されることはありません。これは、物質のエネルギーが非負のときはいつでも当てはまります。

ホーキングの特異点定理は宇宙全体に対するもので、時間を遡って作用する。つまり、（古典的な）ビッグバンの密度は無限大であったことを保証する。^{[2]この定理はより制限されており、物質が強いエネルギー条件（エネルギーが圧力よりも大きい、}強いエネルギー条件と呼ばれる）に従う場合にのみ成立する。スカラー場の真空期待値を除くすべての通常の物質は、この条件に従う。インフレーションの間、宇宙は支配的なエネルギー条件に違反し、当初は（例えばスタロビンスキー^[3]によって）インフレーション宇宙論はビッグバン初期の特異点を回避できると主張された。しかし、その後、インフレーション宇宙論は依然として過去不完全であることが示されており^[4]、そのため時空のインフレーション領域の過去の境界を記述するにはインフレーション以外の物理学が必要である。

（古典的な）一般相対性理論が、現実的な荷電ブラックホールや回転ブラックホールの内部に空間的特異点を予測するかどうか、あるいは、これらが高対称性解の産物であり、摂動が加えられるとヌル特異点または時間的特異点に変わるかどうかは、まだ未解決の問題です。

一般相対性理論では、特異点とは、物体または光線が有限時間内に到達できる場所であり、曲率が無限大になるか、時空が多様体でなくなる場所です。特異点は、すべてのブラックホール時空、シュワルツシルト計量、ライスナー・ノルドストローム計量、カー計量、カー・ニューマン計量、およびスカラー場エネルギーや宇宙定数を持たないすべての宇宙論的解に見られます。^[要出典]

過去に起きたビッグバン特異点から何が「出てくる」のか、あるいは将来ブラックホール特異点に「陥る」観測者に何が起こるのかを予測することはできないため、物理法則の修正が必要となる。ペンローズ以前は、特異点は人為的な状況でのみ形成されると考えられていた。たとえば、星が崩壊してブラックホールを形成する場合、星が回転して角運動量を持っていると、遠心力が重力に部分的に対抗し、特異点の形成を妨げる可能性がある。特異点定理は、これは起こり得ないこと、そして事象の地平線が形成されると必ず特異点が形成されることを証明している。

収縮する星の例では、一般相対性理論ではすべての物質とエネルギーが重力の源であるため、追加の角運動量は収縮するにつれて星をより強く引き寄せるだけです。事象の地平線の外側の部分は最終的にカーブラックホールに落ち着きます(ノーヘア定理を参照)。事象の地平線の内側の部分は、必然的にどこかに特異点があります。証明はいくぶん建設的です。地平線のすぐ内側の表面からの光線を追うことで特異点を見つけることができることを示しています。しかし、証明では、空間的、時間的、ヌル、オービフォールド、計量のジャンプ不連続のどのタイプの特異点が発生するかについては述べていません。時間的測地線を未来にたどった場合、それらが形成する領域の境界が表面からのヌル測地線によって生成されることは不可能であることを保証するだけです。これは、境界がどこからともなく発生するか、未来全体が有限の延長で終わるかのいずれかであることを意味します。

一般相対性理論の興味深い「哲学的」特徴は、特異点定理によって明らかになります。一般相対性理論は特異点の必然的な発生を予測するため、特異点に到達した物質に何が起こるかを指定しなければ理論は完全ではありません。一般相対性理論を、そのような特異点が発生しないアインシュタイン・マクスウェル・ディラック システムなどの統一場理論に拡張することができます。

歴史的には、多様体の曲率とその位相の間には深いつながりがあります。ボネ・マイヤーズの定理は、どこでもある正の定数よりも大きいリッチ曲率を持つ完全なリーマン多様体はコンパクトでなければならないと述べています。正のリッチ曲率の条件は、次のように述べるのが最も便利です。すべての測地線には、最初は平行だった測地線が近くに存在し、それを延長するとその測地線に向かって曲がり、2つはある有限の長さで交差します。

2 つの近接する平行測地線が交差する場合 (共役点を参照)、どちらか一方の延長線は、もはや端点間の最短経路ではなくなります。その理由は、2 つの平行測地線経路は、等しい長さの延長線上では必ず衝突するため、一方の経路をたどって交差点に到達し、もう一方の経路をたどると、端点を等しい長さの非測地線経路で接続することになるからです。つまり、測地線が最短長経路であるためには、隣接する平行測地線と交差してはいけません。

小さな球から始めて、境界から平行な測地線を送り出すと、多様体が正の定数で下方に境界付けられたリッチ曲率を持つと仮定すると、しばらくすると測地線はすべて隣接点と衝突するため、どの測地線も最短経路ではなくなります。これは、ある程度の拡張の後、すべての潜在的に新しい点に到達していることを意味します。接続された多様体内のすべての点が小さな球から有限の測地線距離にある場合、多様体はコンパクトでなければなりません。

ロジャー・ペンローズは相対性理論でも同様の議論を展開した。ヌル測地線、つまり光線の経路を未来に向かって辿っていくと、その領域の未来に点が生成される。ある点が領域の未来の境界上にある場合、そこに到達するには光速以下では到達できないため、ヌル測地線には領域の適切な未来の境界全体が含まれることになる。^[要出典]ヌル測地線が交差すると、それらはもはや未来の境界上になく、未来の内部に存在することになる。そのため、すべてのヌル測地線が衝突すると、未来への境界はなくなる。

相対論では、測地線の衝突特性を決定するリッチ曲率はエネルギーテンソルによって決定され、光線への投影はエネルギー運動量テンソルのヌル投影に等しく、常に非負です。これは、平行なヌル測地線の合同の体積が減少し始めると、有限時間内にゼロに達することを意味します。体積がゼロになると、ある方向に崩壊するため、すべての測地線は隣接する測地線と交差します。

ペンローズは、すべての出射（および入射）光線が最初に収束する球体がある場合、その領域の未来の境界は有限の延長後に終了する、なぜならすべてのヌル測地線が収束するためであると結論付けました。^{[5]これは重要です。なぜなら、}ブラックホール解の地平線の内側にあるどの球体でも、出射光線はすべて収束するため、この領域の未来の境界はコンパクトであるか、どこからともなく来るからです。内部の未来は有限の延長後に終了するか、元の球体に遡ることができない新しい光線によって最終的に生成される境界を持ちます。

特異点定理は、無限曲率の存在の代用として測地線不完全性の概念を使用します。測地線不完全性とは、測地線、つまり時空を通る観測者の経路があり、観測者が測地線に沿って移動することによって測定される有限時間だけ延長できるという概念です。おそらく、測地線の終わりで、観測者は特異点に陥るか、一般相対性法則が崩壊する他の何らかの病理に遭遇します。

典型的には、特異点定理には3つの要素がある: ^[6]

1. この問題に関するエネルギー条件、
2. 時空の大域的構造に関する条件、
3. 重力は（どこかで）ある領域を閉じ込めるほど強力です。

それぞれの成分にはさまざまな可能性があり、それぞれ異なる特異点定理につながります。

特異点定理の定式化と証明に用いられる重要なツールは、測地線の合同（族）の発散を記述するレイショードリー方程式である。合同の発散は、合同体積の行列式の対数の導関数として定義される。レイショードリー方程式は、 ${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle {\dot {\theta }}=-\sigma _{ab}\sigma ^{ab}-{\frac {1}{3}}\theta ^{2}-{E[{\vec {X}}]^{a}}_{a}}$

ここで は合同のせん断テンソルであり、レイチャウドゥリスカラーとも呼ばれる（詳細は合同のページを参照）。重要な点は、アインシュタイン場の方程式が成り立つ限り は負でないということであり、^[6]${\displaystyle \sigma _{ab}}$${\displaystyle {E[{\vec {X}}]^{a}}_{a}=R_{mn}\,X^{m}\,X^{n}}$${\displaystyle {E[{\vec {X}}]^{a}}_{a}}$

• ゼロエネルギー条件が成立し、測地線合同はゼロである、または
• 強いエネルギー条件が成立し、測地線合同は時間的である。

これらが成り立つ場合、アフィンパラメータの有限値で発散は無限大になります。したがって、適切なエネルギー条件が成り立つ限り、ある点を離れるすべての測地線は、有限時間後に最終的に再収束します。この結果は、集束定理としても知られています。

これは、次の議論のおかげで特異点に関連します。

1. 大域的に双曲的な時空と、時間的曲線またはヌル曲線で接続できる2 つの点およびがあるとします。このとき、と を接続する最大長の測地線が存在します。この測地線を と呼びます。${\displaystyle p}$${\displaystyle q}$${\displaystyle p}$${\displaystyle q}$${\displaystyle \gamma }$
2. からの別の測地線が共役点と呼ばれる別の点で交差する場合、測地線はより長い曲線に変化します。${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle p}$${\displaystyle \gamma }$
3. 集束定理から、 のすべての測地線は、アフィンパラメータの有限値で共役点を持つことがわかります。特に、これは最大長の測地線に当てはまります。しかし、これは矛盾です。したがって、時空は測地的に不完全であると結論付けることができます。${\displaystyle p}$

一般相対性理論では、ペンローズ-ホーキング特異点定理にはいくつかのバージョンがあります。ほとんどのバージョンでは、大まかに言えば、閉じ込められたヌル面があり、エネルギー密度が非負である場合、拡張できない有限の長さの測地線が存在すると述べています。 ^[7]

これらの定理は、厳密に言えば、過去に有限にのみ拡張可能な非空間的測地線が少なくとも 1 つ存在することを証明しますが、これらの定理の条件が、すべての過去指向時空経路が特異点で終了するような方法で成立する場合もあります。

多くのバージョンがありますが、以下は null バージョンです。

仮定する

1. ヌルエネルギー条件が成立します。
2. 非コンパクト連結コーシー面があります。
3. 閉じたトラップされたヌル面が あります。${\displaystyle {\mathcal {T}}}$

すると、測地線不完全性がゼロになるか、閉じた時間的曲線になります。

証明の概要: 背理法による証明。 の未来の境界は、から始まり、それに直交する接ベクトルを持つヌル測地線分によって生成されます。 は、ヌルRaychaudhuri 方程式により、閉じ込められたヌル面であるため、 から発するヌル光線の両方の族は、コースティックに遭遇します。(コースティック自体は問題ありません。たとえば、2 つの空間的に離れた点の未来の境界は、交差の内部部分が除去された 2 つの未来の光円錐の和です。コースティックは光円錐が交差する場所で発生しますが、そこには特異点はありません。)ただし、生成するヌル測地線は終了する必要があります。つまり、コースティックでまたはそれより前に未来の終点に到達する必要があります。そうでない場合は、コースティックで変化する 2 つのヌル測地線分を取り、それらをわずかに変形して、境界上の点と 上の点を結ぶ時間的曲線を得ることができますが、これは矛盾です。しかし、はコンパクトであるため、測地線生成子の連続アフィンパラメータ化が与えられると、拡張パラメータの絶対値には下限が存在します。したがって、アフィンパラメータの一様境界が経過する前に、すべての生成子についてコースティクスが発達することが分かっています。結果として、 はコンパクトでなければなりません。閉じた時間的曲線を持つか、時間的曲線による合同を構築することができ、それらのすべての曲線が非コンパクトなコーシー面と正確に1回交差する必要があります。 を通過するすべてのそのような時間的曲線を考慮して、コーシー面上のそれらの像を見てください。 は連続マップであるため、像もコンパクトでなければなりません。時間的合同であるため、時間的曲線は交差できず、したがって、マップは単射です。コーシー面が非コンパクトであれば、像には境界があります。時空は1つの接続された部分であると想定しています。しかし、境界の境界は空であるため、 はコンパクトで境界がありません。連続した単射写像は境界を作成できないため、矛盾が生じます。${\displaystyle {\mathcal {T}}}$${\displaystyle {\dot {J}}({\mathcal {T}})}$${\displaystyle {\mathcal {T}}}$${\displaystyle {\mathcal {T}}}$${\displaystyle {\dot {J}}({\mathcal {T}})}$${\displaystyle {\mathcal {T}}}$${\displaystyle {\mathcal {T}}}$${\displaystyle {\dot {J}}({\mathcal {T}})}$${\displaystyle {\dot {J}}({\mathcal {T}})}$${\displaystyle {\dot {J}}({\mathcal {T}})}$

抜け穴: 閉じた時間的曲線が存在する場合、時間的曲線は部分的なコーシー面と交差する必要はありません。コーシー面がコンパクトである場合、つまり空間がコンパクトである場合、境界のヌル測地線生成元は空間の反対側で交差できるため、どこでも交差できます。

弱いエネルギー条件または強いエネルギー条件を含む定理の他のバージョンも存在します。

修正重力ではアインシュタイン場の方程式は成立せず、したがってこれらの特異点は必ずしも発生しない。例えば、無限微分重力では、ヌルエネルギー条件が成立していてもが負になる可能性がある。^{[8] [9]}${\displaystyle {E[{\vec {X}}]^{a}}_{a}}$

• ホーキング、スティーブン & エリス、GFR (1973)。『時空の大規模構造』ケンブリッジ: ケンブリッジ大学出版局。ISBN 0-521-09906-4。古典的な参考資料。
• Natário, J. (2006). 「相対性と特異点 - 数学者のための短い入門」. Resenhas . 6 : 309–335. arXiv : math.DG/0603190 . Bibcode :2006math......3190N.
• ペンローズ、ロジャー (1965)、「重力崩壊と時空特異点」、Phys. Rev. Lett.、14 (3): 57、Bibcode :1965PhRvL..14...57P、doi : 10.1103/PhysRevLett.14.57
• ガーフィンクル、D.; セノヴィラ、JMM (2015)、「1965 年のペンローズ特異点定理」、クラス。量子重力、32 (12): 124008、arXiv : 1410.5226、Bibcode :2015CQGra..32l4008S、doi :10.1088/0264-9381/32/12/124008、S2CID  54622511arXiv :1410.5226でも入手可能
• カルバコタ、ヴァイブハブ R. (2021)、「幾何学と一般相対性理論に関する議論」
• 『The Large Scale Structure of Space Time』の関連章については、arXiv :hep-th/9409195も参照してください。
• Witten, Edward (2020)、「光線、特異点、その他すべて」、Rev. Mod. Phys. 92、45004 (2020)、https://doi.org/10.1103/RevModPhys.92.045004 。 https://arxiv.org/abs/1901.03928 でも入手可能。一般相対性理論の因果特性に関する優れた教育的レビュー。