ゴールドバッハの予想

ゴールドバッハの予想

1742年6月7日付けゴールドバッハからオイラーへの手紙（ラテン語-ドイツ語）[1]
分野	数論
推測	クリスチャン・ゴールドバッハ
推測では	1742
未解決の問題	はい
結果	ゴールドバッハの弱い予想

ゴールドバッハの予想は、数論および数学全体における最も古く、最もよく知られた未解決の問題の 1 つです。これは、 2 より大きいすべての偶数の自然数は 2 つの素数の和であるということを述べています。

この予想は、以下のすべての整数に対して成り立つことが示されている。4 × 10 ¹⁸だが、かなりの努力にもかかわらず未だ証明されていない。

1742年6月7日、プロイセンの数学者クリスティアン・ゴールドバッハはレオンハルト・オイラーに手紙を書き（手紙XLIII）、その中で次のような予想を提案した。 ^[2]

ゴールドバッハは、 1を素数とみなすという、現在では廃れた慣習に従っていた。 ^[3]つまり、単位の合計は素数の合計になる。そして、彼は手紙の余白で、最初の予想を暗示する2番目の予想を提案した。^[4]

... ザールはすべて、最高の作品 2 であり、最も重要な要素の集合体です。
2 より大きいすべての整数は、3 つの素数の合計として書くことができます。

オイラーは1742年6月30日付の手紙で返信し^[5]、ゴールドバッハに以前の会話（「…だから私のコミュニケーションは…」）を思い出させた。その中でゴールドバッハは、これらの2つの予想のうち最初の予想は次の声明から導かれるだろうと述べていた。

これは実は彼の2番目の限界予想に相当する。1742年6月30日の手紙の中でオイラーはこう述べている。^{[6] [7]}

ダス... 最高の数を数え、ガンツの定理を完全に理解し、ダッセルベのニヒトのデモストリレン カンを実行します。
それは...すべての偶数整数は 2 つの素数の和であるということは、証明はできませんが、完全に確実な定理であると私は考えています。

強いゴールドバッハ予想は、 5 より大きいすべての整数 (つまりすべての奇数) は 3 つの素数の和であるとする弱いゴールドバッハ予想よりもはるかに困難です。ニコライ・チュダコフ^[8]、ヨハネス・ファン・デル・コルプト^[9]、およびテオドール・エステルマン^{[10] は、}ヴィノグラドフの方法を使用して、ほとんどすべての偶数は 2 つの素数の和として表すことができることを示し(そのように表せるNまでの偶数の割合は、 N が増加するにつれて 1 に近づくという意味で)、1937 年から 1938 年にかけて示しました。1930 年に、レフ・シュニレルマンは、 1 より大きい任意の自然数はC個以下の素数の和として表すことができることを証明しました。ここで、 Cは実質的に計算可能な定数です。シュニレルマン密度を参照してください。^{[11] [12]}シュニレルマンの定数は、この特性を持つ最小の数Cです。シュニレルマン自身は、 C < 800 000。この結果はその後多くの著者によって強化され、例えばオリヴィエ・ラマレは1995年に、 n ≥ 4 のすべての偶数は、実際には最大で6個の素数の和であることを示した。現在最もよく知られている結果は、ハラルド・ヘルフゴットによる弱いゴールドバッハ予想の証明に由来しており、 ^{[13]直接的には、} n ≥ 4のすべての偶数は、最大で4個の素数の和であることを示しています。 ^{[14] [15]}

1924年、ハーディとリトルウッドは一般化リーマン予想の仮定の下で、ゴールドバッハ予想に反するXまでの偶数の数はcが小さい場合X ^{1 ⁄ 2 + c}よりもはるかに少ないこと を示した。^[16]

1948年、アルフレッド・レーニは篩理論を用いて、十分に大きい偶数はすべて、最大K個の因数を持つ素数とほぼ素数の和として表せることを示した。^[17]陳景潤は1973年に篩理論を用いて、十分に大きい偶数はすべて、2つの素数、または素数と半素数（2つの素数の積）の和として表せることを示した。 ^[18]詳細については、 陳の定理を参照。

1975 年、ヒュー・ローウェル・モンゴメリーとボブ・ヴォーンは、「ほとんどの」偶数は 2 つの素数の和として表せることを示した。より正確には、十分に大きいすべての数Nに対して、 N未満のすべての偶数は最大でCN ^{1 − c 個の}例外を除いて 2 つの素数の和となるような正の定数 c と C が存在することを示した。特に、2 つの素数の和ではない偶数の集合は密度が0 である。

1951年、ユーリ・リンニクは定数Kの存在を証明し、十分に大きい偶数は2つの素数の和と2のK乗以下であることを証明した。ヤノシュ・ピンツとイムレ・ルザは2020年にK = 8が成り立つことを発見した。^[19]一般化リーマン予想を仮定すると、K = 7も成り立つことが2002年にロジャー・ヒース・ブラウンとヤン・クリストフ・シュラーゲ・プクタによって示された。 ^[20]

弱い予想の証明は、2013年にハラルド・ヘルフゴットによってAnnals of Mathematics Studiesシリーズに提出された。論文は受理されたが、ヘルフゴットは査読者が提案した大幅な修正を加えることにした。数回の改訂にもかかわらず、ヘルフゴットの証明はまだ査読付きの出版物に掲載されていない。^{[21] [22] [23]}弱い予想は強い予想から示唆されており、n − 3 が2 つの素数の和であるならば、n は3 つの素数の和である。しかし、ヘルフゴットの証明が正しければ、逆の示唆、つまり強いゴールドバッハ予想は未証明のままとなる。

nの値が小さい場合、強いゴールドバッハ予想（したがって弱いゴールドバッハ予想）は直接検証できます。たとえば、1938年にニルス・ピッピングは、n =100 000。 ^[24]コンピュータの出現により、より多くのnの値が検証されました。T. Oliveira e Silvaは分散コンピュータ検索を実行し、 n ≤4 × 10 ¹⁸（そして二重チェックまで2013年現在、4 × 10 ^{17 ）である。この検索からの記録の1つは、}3 325 581 707 333 960 528は、2つの素数の和で表すことができない最小の数であり、そのうちの1つが9781より小さい。^[25]

カリー・フギルとデュデックは^[26]リーマン予想の（部分的かつ条件付きの）結果を証明した：すべてのx≥2に対して、区間（x, x + 9696 log^2 x]内に2つの奇数の素数の和が存在する。

『ゴールドバッハの予想』（中国語：哥德巴赫猜想）は、徐其が書いた中国の数学者で数論学者である陳景潤の伝記のタイトルである。

この予想は、ギリシャの作家アポストロス・ドキシアディスによる1992年の小説『ペトロスおじさんとゴールドバッハの予想』 、アイザック・アシモフの短編小説『6000万兆の組み合わせ』 、ミシェル・リッチモンドの2008年のミステリー小説『誰も知らない』のプロットの中心的なポイントとなっている。^[27]

ゴールドバッハ予想は、2007 年のスペイン映画『フェルマーの部屋』のストーリーの一部です。

ゴールドバッハの予想は、2023年のフランス・スイス合作映画『マルグリットの定理』で女優エラ・ルンプフが演じるマルグリットの主要な研究テーマとして取り上げられている。^[28]

3 つの予想はそれぞれ、1 を除外する現代の素数の定義に自然に類似しています。最初の予想の現代版は次のとおりです。

限界予想の現代版は次のようになります。

そして、オイラーがゴールドバッハに思い出させた彼の古い予想の現代版は次のようになります。

これらの現代版は、対応する元の記述と完全に同等ではない可能性があります。たとえば、pが素数で、現代的な意味で 2 つの素数の和として表すことができない 4 より大きい偶数N = p + 1 がある場合、それは 3 番目の予想の現代版に対する反例になります (元のバージョンに対する反例にはなりません)。したがって、現代版の方がおそらく強力です (ただし、それを確認するには、任意の正の偶数 n に自由に適用した最初のバージョンでは、そのような特定の反例Nの存在を排除できないことを証明する必要があります)。いずれにせよ、現代の記述は、古い記述と同様に、互いに同じ関係を持っています。つまり、2 番目と 3 番目の現代の記述は同等であり、どちらも最初の現代の記述を意味します。

3番目の現代的な命題（2番目と同等）は、今日この予想が通常表現される形式である。これは「強い」「偶数」「二元」ゴールドバッハ予想としても知られている。2番目の現代的な命題のより弱い形式は「ゴールドバッハの弱い予想」「奇数ゴールドバッハ予想」「三元ゴールドバッハ予想」として知られ、次のように主張している。

素数の確率分布に焦点を当てた統計的考察は、十分に大きな整数に対する推測（弱い形式と強い形式の両方）を支持する非公式の証拠を提示します。つまり、整数が大きいほど、その数を他の 2 つまたは 3 つの数の合計として表す方法が多くなり、これらの表現の少なくとも 1 つが完全に素数で構成される可能性が高くなります。

非常に大雑把なヒューリスティックな確率論的議論（ゴールドバッハ予想の強い形式に対する）は以下の通りである。素数定理は、ランダムに選択された整数mは、およそ⁠1/lnメートル⁠素数である確率。したがって、 n が大きな偶数で、 m が3 から⁠ の間の数であるん/2⁠ 、すると、 mとn − m が同時に素数となる確率は⁠となることが予想される1/ln m ln( n − m ) （ ）は、この経験則を追求すると、大きな偶数nを2つの奇数の素数の和として 表す方法の総数は、およそ

${\displaystyle \sum _{m=3}^{\frac {n}{2}}{\frac {1}{\ln m}}{\frac {1}{\ln(nm)}}\approx {\frac {n}{2(\ln n)^{2}}}.}$

ln n ≪ √ nなので、この量はnが増加するにつれて無限大になり、すべての大きな偶数には 2 つの素数の和として表現される表現が 1 つだけではなく、実際には非常に多くあることが予想されます。

この経験的な議論は、 mとn − mが素数であるという事象が統計的に互いに独立していると仮定しているため、実際には多少不正確です。たとえば、mが奇数であれば、n − mも奇数であり、m が偶数であれば、n − m も偶数です。これは、2 を除いて奇数だけが素数であるため、重要な関係です。同様に、nが 3 で割り切れ、m がすでに 3 以外の素数である場合、n − mも 3 と互いに素であるため、一般の数よりも素数である可能性がわずかに高くなります。この種の分析をより注意深く追求して、GHハーディとジョン・エデンザー・リトルウッドは1923年に（ハーディ・リトルウッド素数組予想の一部として）任意の固定されたc ≥ 2に対して、大きな整数nをc個の素数n = p ₁ + ⋯ + p _c（p ₁ ≤ ⋯ ≤ p _c）の和として表す表現の数は漸近的に次の数に等しく なると予想した。

${\displaystyle \left(\prod _{p}{\frac {p\gamma _{c,p}(n)}{(p-1)^{c}}}\right)\int _{2\leq x_{1}\leq \cdots \leq x_{c}:x_{1}+\cdots +x_{c}=n}{\frac {dx_{1}\cdots dx_{c-1}}{\ln x_{1}\cdots \ln x_{c}}},}$

ここで、積はすべての素数pについてであり、γ _c、p ( n )は、モジュラー算術における方程式n = q ₁ + ⋯ + q _c mod pの解の数であり、制約q ₁、 …、q _c ≠ 0 mod pに従います。この公式は、 Ivan Matveevich Vinogradovの研究により、 c ≥ 3に対して漸近的に有効であることが厳密に証明されていますが、 c = 2の場合はまだ推測にすぎません。^[要出典]後者の場合、上記の公式は、nが奇数のときは 0 に、

${\displaystyle 2\Pi _{2}\left(\prod _{p\mid n;p\geq 3}{\frac {p-1}{p-2}}\right)\int _{2}^{n}{\frac {dx}{(\ln x)^{2}}}\approx 2\Pi _{2}\left(\prod _{p\mid n;p\geq 3}{\frac {p-1}{p-2}}\right){\frac {n}{(\ln n)^{2}}}}$

nが偶数のとき、Π ₂はハーディ・リトルウッドの双子素数定数である。

${\displaystyle \Pi _{2}:=\prod _{p\;{\rm {prime}}\geq 3}\left(1-{\frac {1}{(p-1)^{2}}}\right)\approx 0.66016\,18158\,46869\,57392\,78121\,10014\dots }$

これは拡張ゴールドバッハ予想と呼ばれることもあります。強いゴールドバッハ予想は実際には双子素数予想と非常に似ており、2つの予想はほぼ同程度の難しさであると考えられています。

ゴールドバッハの分割関数は、各偶数に、それを2つの素数の和に分解する方法の数を関連付ける関数です。そのグラフは彗星のように見えるため、ゴールドバッハの彗星と呼ばれます。^[29]

ゴールドバッハの彗星は、2 つの素数の和として偶数を表現する数に厳密な上限と下限があることを示唆しており、また、これらの表現の数は、その数の 3 を法とする値に大きく依存することも示唆しています。

ゴールドバッハの予想は、1より大きいすべての正の整数は最大3つの素数の和として表すことができるということを示唆しているが、各ステップで可能な限り最大の素数を使用する貪欲アルゴリズムを使用してそのような和を見つけることが常に可能であるとは限らない。ピライ数列は、貪欲表現で最大数の素数を必要とする数を追跡する。^[30]

ゴールドバッハの予想に似た問題として、素数を平方数などの他の特定の数の集合に置き換える問題が存在します。

• ラグランジュは、すべての正の整数は 4 つの平方の和であることを証明しました。素数の累乗の和に関するウォーリングの問題と関連するウォーリング-ゴールドバッハの問題を参照してください。
• ハーディとリトルウッドは、予想Iとして「すべての大きな奇数（n >5）は、素数と素数の2倍の和である」を挙げた。^{[31]この予想は}ルモワーヌ予想として知られ、レヴィ予想とも呼ばれる。
• 素数のような整数列である実数に対するゴールドバッハ予想は、1984年にマーゲンシュテルンによって提唱され、 ^[32] 1996年にメルフィによって証明されました。 ^[33]すべての偶数は2つの実数の和です。
• ハーヴェイ・ダブナーは、4208より大きいすべての偶数は2つの双子素数（必ずしも同じペアに属しているとは限らない）の和であるというゴールドバッハ予想の強化を提唱した。^{[34] [より良い情報源が必要] 4208未満の偶数のうち、2つの双子素数の和とならないのは34個だけである。ダブナーは、このリストが[35] [検証が必要]}まで完全であることを計算的に検証した。このより強力な予想の証明は、ゴールドバッハ予想だけでなく、双子素数予想も意味することになる。${\displaystyle 2\cdot 10^{10}.}$
• ベルトランの公理によれば、すべての整数 に対して、 となる素数が少なくとも 1 つ存在します。この公理が偽であれば、との間に素数が存在しない整数が存在することになり、 を2 つの素数の和として表すことができなくなります。${\displaystyle n>1}$${\displaystyle p}$${\displaystyle n<p<2n.}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle 2n}$${\displaystyle 2n}$

ゴールドバッハの予想は計算の複雑さを研究するときに使われる。^[36] この関係はビジービーバー関数を通じて作られる。ここで、BB( n ) は停止するn状態のチューリングマシンが取る最大ステップ数である。ゴールドバッハの予想が偽である場合にのみ停止する 27 状態のチューリングマシンが存在する。したがって、BB(27) がわかっていて、ゴールドバッハマシンがそのステップ数で停止しなかった場合、それは永遠に実行することがわかっており、したがって反例は存在しない (これは予想が正しいことを証明する)。これは予想を解決するための完全に非現実的な方法である。代わりに、BB(27) の計算は非常に難しく、少なくともゴールドバッハの予想を解決するのと同じくらい難しいことを示唆するために使用される。

• Deshouillers, J.-M.; Effinger, G.; te Riele, H.; Zinoviev, D. (1997). 「リーマン予想に基づく完全なヴィノグラドフの 3 素数定理」(PDF) .アメリカ数学会電子研究発表. 3 (15): 99–104. doi : 10.1090/S1079-6762-97-00031-0 .
• Montgomery, HL; Vaughan, RC (1975). 「ゴールドバッハの問題における例外的な集合」(PDF) . Acta Arithmetica . 27 : 353–370. doi : 10.4064/aa-27-1-353-370 .
• テレンス・タオは、すべての奇数は最大でも 5 つの素数の和であることを証明しました。
• MathWorldでのゴールドバッハ予想。

• ウィキメディア・コモンズにおけるゴールドバッハ予想に関連するメディア
• 「ゴールドバッハ問題」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]
• ゴールドバッハがオイラーに宛てた手紙原文 — PDF 形式 (ドイツ語とラテン語)
• ゴールドバッハの予想、Chris Caldwell のPrime Pagesの一部。
• ゴールドバッハ予想の検証、トマス・オリベイラ・エ・シルバの分散コンピュータ検索。