ゴールドバッハの弱い予想

ゴールドバッハの弱い予想

1742年6月7日付ゴールドバッハからオイラーへの手紙（ラテン語-ドイツ語）[1]
分野	数論
推測	クリスチャン・ゴールドバッハ
推測では	1742
最初の証明	ハラルド・ヘルフゴット
最初の証明	2013
暗示される	ゴールドバッハの予想

数論において、ゴールドバッハの弱い予想は、奇ゴールドバッハ予想、三元ゴールドバッハ問題、または3素数問題としても知られ、

5 より大きい奇数はすべて、3 つの素数の和として表すことができます。(同じ和の中で素数が複数回使用される場合もあります。)

この予想は「弱い」と呼ばれています。なぜなら、ゴールドバッハの強い予想(2 つの素数の和に関するもの) が証明されれば、これもまた真実になるからです。4 より大きいすべての偶数が 2 つの奇数の素数の和である場合、4 より大きい各偶数に 3 を加えると、7 より大きい奇数が生成されます (7 自体は 2+2+3 に等しい)。

2013年、ハラルド・ヘルフゴットはゴールドバッハの弱い予想の証明を発表しました。^[2] この証明は2015年にAnnals of Mathematics Studiesシリーズ^[3]に掲載されることが承認され、それ以来さらにレビューと改訂が行われており、その過程で、ほぼ最終版に近い完全な査読済みの章が公開されています。^[4]

ある人は次のように推測している。

7より大きい奇数はすべて3つの奇数素数の和として表すことができます。^[5]

このバージョンでは、偶数の素数 2 を必要とするため、7 = 2+2+3 は除外されます。7 より大きい奇数の場合、他の定式化で許可されている 17 = 2+2+13 などの合計も除外されるため、このバージョンは若干強力になります。ヘルフゴットの証明は、予想の両方のバージョンをカバーしています。他の定式化と同様に、この定式化もゴールドバッハの強い予想からすぐに導かれます。

この予想はクリスチャン・ゴールドバッハとレオンハルト・オイラーの書簡から生まれた。強いゴールドバッハ予想の定式化の一つは、2つの素数の和に関するより一般的な定式化と同等である。

5 より大きいすべての整数は、3 つの素数の和として表すことができます。

弱い予想は、単に整数が奇数の場合に限定されたこのステートメントです (合計に含まれる 3 つの素数が奇数であるという要件が追加される可能性もあります)。

1923年、ハーディとリトルウッドは、一般化リーマン予想を仮定すると、弱いゴールドバッハ予想が十分に大きいすべての奇数に対して成り立つことを示した。1937年、イヴァン・マトヴェーヴィッチ・ヴィノグラードフは、一般化リーマン予想への依存を排除​​し、十分に大きいすべての奇数は3つの素数の和として表せることを直接証明した（ヴィノグラードフの定理を参照）。ヴィノグラードフの元の証明は、効果のないジーゲル・ワルフィスの定理を使用していたため、「十分に大きい」という上限を与えなかった。彼の弟子のK・ボロズドキン（1956）は、が十分に大きいことを導き出した。^[6]この数の整数部分は4,008,660桁であるため、この数字以下のすべての数を確認することは完全に不可能である。 ${\displaystyle e^{e^{16.038}}\approx 3^{3^{15}}}$

1997年、デシュイラー、エフィンガー、テ・リーレ、ジノビエフは、一般化リーマン予想がすべての数に対してゴールドバッハの弱い予想を意味することを示す結果^{[7]を発表しました。この結果は、10 20}を超える数に有効な一般的な声明と、小さなケースの広範なコンピュータ検索を組み合わせたものです。サウターもほぼ同じ時期に同じケースをカバーするコンピュータ検索を実施しました。^[8]

オリヴィエ・ラマレは1995年に、 n ≥ 4の偶数はすべて最大で6個の素数の和であることを示し、このことからn ≥ 5の奇数はすべて最大で7個の素数の和であることがわかる。レシェク・カニエツキは、リーマン予想のもとで、すべての奇数は最大で5個の素数の和であることを示した。^[9] 2012年に、テレンス・タオはリーマン予想を使わずにこれを証明した。これにより、両方の結果が改善された。^[10]

2002 年、Liu Ming-Chit (香港大学) と Wang Tian-Ze は、Borozdkin の閾値をおよそ に下げました。指数はまだ大きすぎるため、コンピュータでより小さい数をすべて調べることはできません。(コンピュータによる検索は、強いゴールドバッハ予想では 10 ¹⁸までしか到達しておらず、弱いゴールドバッハ予想ではそれよりあまり遠くには到達していません。) ${\displaystyle n>e^{3100}\approx 2\times 10^{1346}}$

2012年と2013年に、ペルーの数学者ハラルド・ヘルフゴットは、弱いゴールドバッハ予想を無条件に証明するのに十分なほど主弧と副弧の推定値を改善した2つの論文を発表しました。 ^{[11] [12] [2] [13] [14]}ここで、主弧は、 が定数である有理数周りの区間の和集合です。副弧はと定義されます。 ${\displaystyle {\mathfrak {M}}}$${\displaystyle \left(a/q-cr_{0}/qx,a/q+cr_{0}/qx\right)}$${\displaystyle a/q,q<r_{0}}$${\displaystyle c}$${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$${\displaystyle {\mathfrak {m}}=(\mathbb {R} /\mathbb {Z} )\setminus {\mathfrak {M}}}$