等エントロピーノズル流れ

流体力学において、等エントロピーノズル流れとは、流体が狭い開口部を通過する際にエントロピーが増加しない（等エントロピー過程である）ことを指す。

気体が管を通過する際、気体分子は管の壁によって偏向されます。気体の速度が音速よりはるかに遅い場合、気体の密度は一定のままで、流れの速度は増加します。しかし、流れの速度が音速に近づくと、気体の圧縮効果を考慮する必要があります。気体の密度は位置に依存するようになります。管内の流れを考えると、流れが非常にゆっくりと圧縮され（つまり断面積が減少し）、その後ゆっくりと膨張すると（つまり断面積が増加すると）、流れの状態が回復します（つまり、元の位置に戻ります）。したがって、このようなプロセスは可逆プロセスです。熱力学第二法則によれば、可逆的かつ断熱的な流れがある場合、エントロピーの値は一定に保たれます。エンジニアは、このタイプの流れを等エントロピー流体の流れと分類します。等エントロピーは、ギリシャ語の「iso」（同じという意味）とエントロピーを組み合わせたものです。

流れの変数の変化が小さく緩やかな場合、等エントロピー流が発生します。音波の発生は等エントロピー過程です。流れの断面積が増加しながら方向転換する超音速流も等エントロピー流です。断面積が増加するため、これを等エントロピー膨張と呼びます。超音速流が急激に方向転換され、流れの断面積が減少すると、衝撃波の発生により流れは不可逆になります。等エントロピー関係はもはや成り立たなくなり、流れは斜め衝撃波または垂直衝撃波の関係によって支配されます。

以下は、等エントロピー流れ条件を評価する際によく使用される 9 つの方程式です。^{[ 1 ]}これらは、気体が熱的に完全であると仮定しています。つまり、比熱比は温度範囲全体で一定です。典型的なケースでは、実際の変動はわずかです。

1. ${\displaystyle M={\frac {v}{c_{s}}}}$
2. ${\displaystyle c_{s}={\sqrt {\frac {\gamma p}{\rho }}}={\sqrt {\gamma RT}}}$
3. ${\displaystyle {\frac {p}{\rho ^{\gamma }}}={\frac {p_{t}}{\rho _{t}^{\gamma }}}$
4. $${\displaystyle {\frac {p}{p_{t}}}=\left({\frac {\rho }{\rho _{t}}}\right)^{\gamma }=\left({\frac {T}{T_{t}}}\right)^{\frac {\gamma }{\gamma -1}}}$$
5. ${\displaystyle q={\frac {1}{2}}\rho v^{2}={\frac {1}{2}}\gamma pM^{2}}$
6. ${\displaystyle {\frac {p}{p_{t}}}=\left(1+{\frac {\gamma -1}{2}}M^{2}\right)^{\frac {-\gamma }{\gamma -1}}}$
7. $\displaystyle {\frac {T}{T_{t}}}=\left(1+{\frac {\gamma -1}{2}}M^{2}\right)^{-1}}$
8. ${\displaystyle {\frac {\rho }{\rho _{t}}}=\left(1+{\frac {\gamma -1}{2}}M^{2}\right)^{\frac {-1}{\gamma -1}}}$
9. ${\displaystyle {\frac {A}{A^{*}}}={\frac {1}{M}}\left({\frac {\gamma +1}{2}}\right)^{\frac {-(\gamma +1)}{2(\gamma -1)}}\left(1+{\frac {\gamma -1}{2}}M^{2}\right)^{\frac {\gamma +1}{2\left(\gamma -1\right)}}}$

• 添え字のない特性は、対象点において評価されます（対象点はノズルの長さに沿って任意の位置を選択できますが、一度選択したら、計算におけるすべての特性は同じ位置で評価されなければなりません）。
• 添字${\displaystyle t}$は、全圧/停滞状態における特性を表します。ロケットエンジンやジェットエンジンでは、これは燃焼室内の状態を意味します。例えば、${\displaystyle p_{t}}$全圧／停滞圧／室圧（すべて等価）
• ${\displaystyle M}$これはガスの局所マッハ数です。
• ${\displaystyle v}$はガスの速度（m/s）です。
• ${\displaystyle c_{s}}$は、ガス中における局所的な音速（m/s）です。
• ${\displaystyle \gamma }$これは気体の比熱の比です。
• ${\displaystyle p}$はガスの圧力（Pa）です。
• ${\displaystyle \rho }$は気体の密度（kg/m³ ^）です。
• ${\displaystyle T}$は気体の温度（K）です。
• ${\displaystyle A}$は、注目点におけるノズルの断面積（m² ^）です。
• ${\displaystyle A^{*}}$^{は、音速点、つまりガス速度がマッハ1（ m²} ）となる点におけるノズルの断面積です。理想的には、これはノズル喉部で発生します。

流体力学において、よどみ点とは、流体の局所速度がゼロとなる流れ場内の点のことです。等エントロピーよどみ状態とは、流体が可逆的な断熱減速を経て速度がゼロになった場合に到達する状態のことです。典型的な気体や蒸気には、実際のよどみ状態と等エントロピーよどみ状態の両方が存在します。実際のよどみ状態と等エントロピーよどみ状態を区別することが有利な場合もあります。実際のよどみ状態とは、実際に速度がゼロに減速された後に到達する状態（流体の流れの中に置かれた物体の先端など）であり、減速過程には不可逆性が伴う場合があります。

したがって、「停滞特性」という用語は、実際の状態に関連する特性に限定して使用される場合があり、等エントロピー停滞状態には「全特性」という用語が使用されます。エンタルピーは、実際の停滞状態と等エントロピー停滞状態の両方で同じです（実際のプロセスが断熱的であると仮定した場合）。したがって、理想気体の場合、実際の停滞温度は等エントロピー停滞温度と同じです。ただし、実際の停滞圧力は等エントロピー停滞圧力よりも低い場合があります。このため、「全圧力」（等エントロピー停滞圧力を意味する）という用語は、実際の停滞圧力と比較して特別な意味を持ちます。

等エントロピー効率は${\displaystyle {\frac {h_{1}-h_{2a}}{h_{1}-h_{2}}}}$。

圧縮性流体における流体密度の変化を考慮すると、密度とその他の流体特性の関係に注意を払う必要があります。非圧縮性流体では重要でないことが多い流体状態方程式は、圧縮性流体の解析において不可欠です。また、圧縮性流体では温度変化が通常大きく、そのためエネルギー方程式が重要になります。圧縮性流体では、興味深い現象が発生することがあります。

• 簡略化のため、気体は理想気体であると仮定する。
• ガス流は等エントロピーである。
• ガス流量は一定である。
• ガスの流れは、ガス入口から排気口まで直線に沿っています。
• 気体の流れ挙動は圧縮性である。

定常的で均一な等エントロピー流が導管内の流れの良い近似となる用途は数多く存在する。例えば、ジェットエンジン内の流れ、ロケットのノズルを通る流れ、破損したガス管からの流出、タービンのブレードを通過する流れなどが挙げられる。

M = マッハ数

V = 速度

R = 普遍気体定数

p = 圧力

k = 比熱比

T = 温度

* = 音波条件

ρ = 密度

A = 面積

M _m =モル質量

定常流におけるエネルギー方程式： $${\displaystyle q_{net}+h+{\frac {V^{2}}{2}}=w_{net}+h_{0}+{\frac {V_{0}^{2}}{2}}}$$

このような状況をモデル化するために、図の導管の変化する領域にある制御体積を考えます。微小距離dxだけ離れた 2 つのセクション間の連続方程式は次のようになります。$${\displaystyle \rho AV=(\rho +d\rho )(A+dA)(V+dV)}$$

微分量の一次項のみを残す場合、連続性は次の形式をとる。 $${\displaystyle {\frac {dV}{V}}+{\frac {dA}{A}}+{\frac {d\rho }{\rho }}=0}$$

エネルギー方程式は次のとおりです。 $${\displaystyle {\frac {V^{2}}{2}}+{\frac {k}{k-1}}\cdot {\frac {p}{\rho }}={\frac {\left(V+dV\right)^{2}}{2}}+{\frac {k}{k-1}}\cdot {\frac {p+dp}{\rho +d\rho }}}$$

高次の項を無視すると、これは次のように簡略化されます。 $${\displaystyle VdV+{\frac {k}{k-1}}\cdot {\frac {\rho dp-pd\rho }{\rho ^{2}}}=0}$$ 等エントロピー流を仮定すると、エネルギー方程式は次のようになる。 $${\displaystyle VdV+{\frac {k\cdot p}{\rho ^{2}}}\cdot d\rho =0}$$ 連続の式から代入して、 $${\displaystyle {\frac {dV}{V}}\cdot \left({\frac {\rho V^{2}}{kp}}-1\right)={\frac {dA}{A}}}$$ または、マッハ数で表すと次のようになります。 $${\displaystyle {\frac {dV}{V}}\cdot \left(M^{2}-1\right)={\frac {dA}{A}}}$$

この方程式は、定常的で均一な等エントロピー流に適用されます。式（9.26）の解析から、いくつかの観察結果が得られます。それらは以下のとおりです。

• 拡大管路内の亜音速流（M < 1かつdA > 0）の場合、流れは減速している（dV < 0）。
• 収束管路内の亜音速流（M < 1かつdA < 0）の場合、流れは加速している（dV > 0）。
• 膨張する導管内の超音速流（M > 1かつdA > 0）の場合、流れは加速している（dV > 0）。
• 収束管路内の超音速流（M > 1かつdA < 0）の場合、流れは減速している（dV < 0）。
• dA = 0となる喉部では、M = 1またはdV = 0のいずれかになります(流れはM = 1で加速している可能性があり、またはdV = 0となるような速度に達する可能性があります)。

超音速流

超音速流用のノズルは流れの方向に断面積が大きくなり、ディフューザーは流れの方向に断面積が小さくなる必要があり、これは亜音速流用のノズルとディフューザーとは逆の構造です。したがって、速度がゼロの貯水槽から超音速流が発生するためには、まず亜音速流が収束領域を通過してスロート部まで加速し、その後、拡大領域を通過して加速し続ける必要があります。

衛星を軌道に乗せるために設計されたロケットのノズルは、このような収束・発散形状を用いて構築されています。エネルギー方程式と連続方程式は、ノズルを通る定常的で均一な等エントロピー流に対して特に有用な形をとることができます。リザーバーとノズル内のどこかの位置の間でQ、W _S = 0のエネルギー方程式を適用すると、次の式が得られます。$${\displaystyle c_{p}\cdot T_{0}={\frac {V^{2}}{2}}+c_{p}\cdot T}$$

添え字がゼロの量は、貯水池のように速度がゼロになる停滞点を表します。いくつかの熱力学的関係式を用いると、方程式は次の形式になります。

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {T_{0}}{T}}&=1+{\frac {k-1}{2}}M^{2}\\{\frac {p_{0}}{p}}&=\left(1+{\frac {k-1}{2}}M^{2}\right)^{\frac {k}{k-1}}\\{\frac {\rho _{0}}{\rho }}&=\left(1+{\frac {k-1}{2}}M^{2}\right)^{\frac {1}{k-1}}\end{aligned}}}$$

上記の式をスロート部（上付き文字アスタリスク(*)で示される臨界領域、M = 1）に適用すると、エネルギー方程式は次の形式になる。

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {T^{*}}{T_{0}}}&={\frac {2}{k+1}}\\{\frac {p^{*}}{p_{0}}}&=\left({\frac {2}{k+1}}\right)^{\frac {k}{k-1}}\\{\frac {\rho ^{*}}{\rho _{0}}}&=\left({\frac {2}{k+1}}\right)^{\frac {1}{k-1}}\end{aligned}}}$$

スロートが存在しない場合でも、臨界領域が参照されることが多い。k = 1.4の空気の場合、上記の式は次のようになる 。$${\displaystyle {\begin{aligned}T^{*}&=0.833333\cdot T_{0}\\p^{*}&=0.528282\cdot p_{0}\\\rho ^{*}&=0.633938\cdot \rho _{0}\end{aligned}}}$$

ノズルを通過する質量流量は重要であり、次式で与え られる。$${\displaystyle {\dot {m}}=\rho AV={\frac {p}{RT}}\cdot A\cdot M{\sqrt {kR_{specific}T}}=p{\sqrt {kM_{m} \over RT}}AM}$$

式（9.28）を用いると、代数計算を適用した後、質量流量は次のように表すことができる。 $${\displaystyle {\dot {m}}=p_{0}MA{\sqrt {\frac {kM_{m}}{RT_{0}}}}\left(1+{\frac {k-1}{2}}M^{2}\right)^{\frac {k+1}{-2(k-1)}}}$$

臨界領域がM = 1で選択される場合、これは次の形式になります。 $${\displaystyle {\dot {m}}=p_{0}A^{*}{\sqrt {\frac {kM_{m}}{RT_{0}}}}\left(1+{\frac {k-1}{2}}\right)^{\frac {k+1}{-2(k-1)}}}$$ これは、前述の内容と組み合わせることで、以下のものを提供する。 $${\displaystyle {\frac {A}{A^{*}}}={\frac {1}{M}}\left({\frac {k+1}{2+(k-1)\cdot M^{2}}}\right)^{\frac {k+1}{-2(k-1)}}}$$

収束ノズル

貯槽と受容器を接続する収束ノズルを考えます。貯槽の圧力を一定に保ち、受容器の圧力を下げると、ノズル出口のマッハ数は、図 2 の左側の曲線で示されるように、M _e = 1に達するまで増加します。ノズル出口でp _r = 0.5283 p _{0のときに}M _e = 1に達すると、チョーク流れの状態になり、ノズル全体の速度はp _rのさらなる減少によって変化しません。これは、出口下流の圧力変化が上流に伝わって流れの状態を変化させることができないためです。

図2の右側の曲線は、貯留層圧力を上昇させ、受圧器圧力を一定に保った場合を表しています。M e = 1 の場合もチョークフローの状態になりますが、式(1)は、 p ₀が増加するにつれて質量流量が増加し続けることを示しています。これは_、ガス管が破裂した場合の状況です。

出口圧力p _{e が}受容器圧力p _rより大きくなる可能性があるのは興味深い。自然界では、ガスの流れ線が出口で急激に方向を変え、はるかに広い面積に拡大することで、圧力がp _eからp _rに低下するようになっている。収束・発散ノズルの場合、受容器圧力が十分に低いと超音速流が発生する。これは、受容器圧力が減少する一定のリザーバー圧力を仮定した図 3 に示されている。受容器圧力がリザーバー圧力と等しい場合、流れは発生せず、曲線 A で表される。p _{r が}p 0よりわずかに小さい場合、流れは全体的に亜音速で、スロートで最小圧力となり、曲線 B で表される_{。圧力がさらに低下すると、スロートで}M = 1となり、ノズルの残りの部分全体で亜音速流となる圧力に達する。

曲線 C よりもかなり低い別の受容器圧力が存在し、これもノズル全体で等エントロピー流をもたらします。これは曲線 D で表されます。スロートの後は流れは超音速です。受容器内の圧力が曲線 C と曲線 D の間の場合、非等エントロピー流になります (流れの中に衝撃波が発生します)。p r が曲線 D よりも低い場合、_出口圧力p _{e は}p _rよりも大きくなります。ここでも、受容器圧力が曲線 C よりも低い場合、スロートの状態は変わらないため、質量流量は一定のままです。超音速流はノズルから剥離する傾向があるように見えるかもしれませんが、実際はその逆です。超音速流は、亜音速流には存在しない膨張ファンが自然に存在するため、非常に鋭角に曲がることができます。亜音速ノズルでの剥離を避けるには、膨張角は 10° を超えないようにする必要があります。より大きな角度の場合は、ベーンを使用して、ベーン間の角度が 10° を超えないようにします。

• 圧縮性流体
• ド・ラバルノズル
• ファンノフロー
• 超音速ガス分離

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• Benson, Tom. "等エントロピー流". NASA.gov . アメリカ航空宇宙局. 2014年6月21日. 2014年7月15日アクセス.
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