ファーリーの定理

量子電気力学におけるファーリーの定理は、ファインマン図が奇数の頂点を持つフェルミオン線の閉ループで構成されている場合、振幅への寄与はゼロになることを述べています。結果として、単一の光子は真空から発生することも、真空に吸収されることもありません。 この定理は、エネルギー保存則と電荷共役対称性の直接的な結果として、1937年にウェンデル・H・ファーリーによって初めて導き出されました^[1]。

量子電気力学には多数の対称性があり、その1つが電荷共役の離散対称性である。これは、光子場と反交換するユニタリー電荷共役演算子を介して場に作用し、真空状態は不変である。単一光子演算子の 相関関数の最も単純なケースを考えると、次のようになる。${\displaystyle C}$${\displaystyle A_{\mu}(x)}$${\displaystyle CA^{\mu }(x)C^{\dagger }=-A^{\mu }(x)}$${\displaystyle C|\Omega \rangle =|\Omega \rangle }$

${\displaystyle \langle \Omega |A^{\mu }(x)|\Omega \rangle =\langle \Omega |C^{\dagger }CA^{\mu }(x)C^{\dagger }C |\オメガ \rangle =-\langle \オメガ |A^{\mu }(x)|\オメガ \rangle ,}$

したがって、この相関関数はゼロになるはずです。^[2]光子演算子の場合、この議論は、電荷共役の下でこれが の係数を取り、したがって が奇数のときにゼロになることを示しています。より一般的には、電荷共役演算子はベクトル電流 と反交換するため、Furry の定理によれば、任意の奇数のオンシェルまたはオフシェルの光子場および/または電流の相関関数は量子電気力学ではゼロになるはずです。 ${\displaystyle n}$${\displaystyle (-1)^{n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle j^{\mu }(x)}$

この定理は非摂動論レベルで成立するため、摂動論の各次数でも成立するはずである。^[3]主次数では、これは、奇数個の頂点を持つフェルミオンループはいずれも振幅への寄与がゼロになるはずであることを意味する。これらの図を明示的に計算すると、ループの周りを時計回りに回るフェルミオンの図が、フェルミオンが反時計回りに回る2番目の図と打ち消されるためであることがわかる。3頂点ループの消失は、量子電磁力学の再正規化可能性の結果として見ることもできる。なぜなら、裸のラグランジアンには3つの光子を含む反対項がないからである。^[4]

ファーリーの定理は、量子電気力学における多くの振幅計算の簡略化を可能にする。^[5]特に、この結果は光子がオフシェルの場合でも成り立つため、少なくとも 1 つの内部フェルミオンループを持ち、頂点数が奇数であるすべてのファインマン図は、振幅への寄与がゼロであり、無視できる。歴史的に、この定理は、デルブリュック散乱として知られる外部場による光子の散乱が三角図を経由せず、ボックス図を経由する必要があることを示す上で重要であった。^[1]

背景電荷密度または非ゼロの化学ポテンシャルが存在する場合、ファーリーの定理は破綻するが、これらの両方が消滅する場合は、非ゼロ温度でもゼロ温度でも成立する。^[6]また、光子分裂相互作用が許される強い背景磁場が存在する場合、この定理は適用されない。このプロセスは、中性子星の周りなどの天体物理学的設定で検出されることがある。^{[7]また、ループに}ディラック粒子ではなくワイル粒子が関与している場合、この定理は成立せず、奇数頂点数ダイアグラムが消滅しない。特に、ワイル粒子を含む三角形ダイアグラムが消滅しないことにより、カイラル異常が生じ、量子論が整合するためには、これらの合計が打ち消される必要がある。 ${\displaystyle \gamma \rightarrow \gamma \gamma }$

この定理は量子電気力学で定式化されているが、そのバージョンはより一般的に成り立つ。例えば、標準モデルは弱い相互作用のために電荷共役不変ではないが、奇数個の光子が付加されたフェルミオンループダイアグラムは、純粋に量子電気力学的なダイアグラムと同等であるため、やはり消える。同様に、そのようなループをサブダイアグラムとして含むダイアグラムも消える。しかし、すべての奇数光子ダイアグラムが消える必要があるというのはもはや真実ではない。例えば、弱い相互作用が含まれる場合に起こるように、量子電気力学の電荷共役とパリティ不変性の要件を緩和すると、3光子頂点項が可能になる。^[8]この項は相互作用を生じさせるが、相互作用は2つの光子が仮想である場合にのみ起こる。そのような相互作用の探索は、電子陽電子衝突による制動放射線実験などを通じて間接的に行う必要がある。^[9]${\displaystyle \gamma \rightarrow \gamma \gamma }$

非可換ヤン＝ミルズ理論では、カラー電荷が非可換であるため、ファーリーの定理は成立しない。例えば、3つの外部グルーオンを持つクォークの三角形の図は、2つの異なる生成 トレース に比例するため、打ち消されない。^{[10] [11]}しかし、電荷共役の議論は、カラー中性スピンボソンの三角形の図が消えることを推論するなど、限られたケースでは依然として適用できる。[ ^12]${\displaystyle {\text{tr}}[T^{a}T^{b}T^{c}]\neq {\text{tr}}[T^{a}T^{c}T^{b}]}$${\displaystyle gg\rightarrow X}$ ${\displaystyle 1^{-}}$

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