2本の平行線間の距離

平面上の2 本の平行線間の距離は 、任意の 2 点間の最小距離です。

線は平行なので、それらの間の垂直距離は一定であり、どの点を距離の測定に選択するかは問題ではありません。2本の非垂直な平行線の方程式を考えると、

${\displaystyle y=mx+b_{1}\,}$

${\displaystyle y=mx+b_{2}\,,}$

2本の線の間の距離は、これらの線と垂線との2つの交点間の距離である。

${\displaystyle y=-x/m\,.}$

この距離は、まず線形方程式を解くことによって求められる。

${\displaystyle {\begin{cases}y=mx+b_{1}\\y=-x/m\,,\end{cases}}}$

そして

${\displaystyle {\begin{cases}y=mx+b_{2}\\y=-x/m\,,\end{cases}}}$

交点の座標を得る。線形システムの解は、点である。

${\displaystyle \left(x_{1},y_{1}\right)\ =\left({\frac {-b_{1}m}{m^{2}+1}},{\frac {b_{1}}{m^{2}+1}}\right)\,,}$

そして

${\displaystyle \left(x_{2},y_{2}\right)\ =\left({\frac {-b_{2}m}{m^{2}+1}},{\frac {b_{2}}{m^{2}+1}}\right)\,.}$

点間の距離は

${\displaystyle d={\sqrt {\left({\frac {b_{1}m-b_{2}m}{m^{2}+1}}\right)^{2}+\left({\frac {b_{2}-b_{1}}{m^{2}+1}}\right)^{2}}}\,,}$

これは

${\displaystyle d={\frac {|b_{2}-b_{1}|}{\sqrt {m^{2}+1}}}\,.}$

線が次のように与えられるとき

${\displaystyle ax+by+c_{1}=0\,}$

${\displaystyle ax+by+c_{2}=0,\,}$

それらの間の距離は次のように表される。

${\displaystyle d={\frac {|c_{2}-c_{1}|}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}.}$

• 点から線までの距離

• 欠席: Schülerduden – Mathematik II。 Bibliographisches Institut & FA Brockhaus、2004、ISBN  3-411-04275-3、pp. 17-19 (ドイツ語)
• Hardt Krämer、Rolf Höwelmann、Ingo Klemisch: Analytische Geometrie und Lineare Akgebra。 Diesterweg、1988、ISBN 3-425-05301-9、p. 298 (ドイツ語) 

• Florian Modler: Vektorprodukte、Abstandsaufgaben、Lagebeziehungen、Winkelberechnung – Wann welche Formel?、pp. 44-59 (ドイツ語)
• AJ ホブソン: 「JUST THE MATHS」 - ユニット番号 8.5 - ベクトル 5 (直線のベクトル方程式)、pp. 8-9