シャウダー不動点定理

シャウダーの不動点定理は、無限次元になる可能性のある位相ベクトル空間へのブラウワーの不動点定理の拡張です。シャウダーの不動点定理は、 がハウスドルフ位相ベクトル空間の空でない凸閉部分集合であり、が の連続写像でが のコンパクト部分集合に含まれる場合、 には不動点 が存在することを主張しています。 ${\displaystyle K}$${\displaystyle V}$${\displaystyle f}$${\displaystyle K}$${\displaystyle f(K)}$${\displaystyle K}$${\displaystyle f}$

シェーファーの不動点定理と呼ばれる帰結は、非線形 偏微分方程式の解の存在を証明するのに特に役立ちます。シェーファーの定理は、実は、以前にジュリアス・シャウダーとジャン・ルレイによって証明された広範囲にわたるルレイ・シャウダー定理の特殊なケースです 。その主張は次のとおりです。

をバナッハ空間の連続かつコンパクトな写像とし、集合 ${\displaystyle f}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle \{x\in X:x=\lambda f(x){\mbox{ ある }}0\leq \lambda \leq 1\}}$

は有界です。すると不動点を持ちます。(この文脈におけるコンパクト写像とは、あらゆる有界集合の像が相対的にコンパクトである写像のことです。) ${\displaystyle f}$

この定理は、1930年にユリウス・シャウダーによってバナッハ空間などの特殊なケースについて予想され、証明された。彼の一般の場合の予想は、スコットランドの書籍に掲載された。1934年に、ティコノフは、Kが局所凸空間のコンパクトな凸部分集合である場合の定理を証明した。このバージョンは、シャウダー–ティコノフの不動点定理として知られている。BV シングバルは、 K がコンパクトでない可能性のあるより一般的なケースの定理を証明した。証明はボンソールの本の付録に記載されている（参考文献を参照）。

• 不動点定理
• バナッハの不動点定理
• 角谷不動点定理

• J. Schauder、Der Fixpunktsatz in Funktionalräumen、Studia Math。 2 (1930)、171–180
• A. ティコノフ、Ein Fixpunktsatz、Mathematische Annalen 111 (1935)、767–776
• FF ボンソール、関数解析の不動点定理に関する講義、ボンベイ 1962
• D. Gilbarg、N. Trudinger、「2次楕円偏微分方程式」。ISBN 3-540-41160-7 。
• E. ザイドラー、非線形関数解析とその応用、 I - 不動点定理

• 「シャウダーの定理」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]
• 「シャウダー不動点定理」。PlanetMath。
• 「シャウダー不動点定理の証明」。PlanetMath。。