カリスティ不動点定理

数学において、カリスティの不動点定理（カリスティ・カークの不動点定理とも呼ばれる）は、バナッハの不動点定理を、完全な 計量空間のそれ自身への写像に対して一般化したものである。カリスティの不動点定理は、エケランド（1974、1979）の変分原理を修正したものである。 ^{[1] [2]}カリスティの定理の結論は、ウェストン（1977）によって証明された計量完全性と同等である。^{[3]元々の結果は、数学者ジェームズ・カリスティと}ウィリアム・アーサー・カーク によるものである。^[4]${\displaystyle \epsilon }$

カリスティの不動点定理は、他の古典的な不動点の結果を導き出すためにも、関数方程式の有界解の存在を証明するためにも適用できる。^[5]

を完全な計量空間とする。と を非負の実数から への下半連続関数とする。のすべての点について、${\displaystyle (X,d)}$${\displaystyle T:X\to X}$${\displaystyle f:X\to [0,+\infty )}$${\displaystyle X}$${\displaystyle x}$${\displaystyle X,}$ $${\displaystyle d(x,T(x))\leq f(x)-f(T(x)).}$$

すると、には不動点、つまり となる点が存在します。この結果の証明では、ゾルンの補題を利用して、望ましい不動点となる最小要素の存在を保証します。 ^[6]${\displaystyle T}$${\displaystyle X;}$${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle T(x_{0})=x_{0}.}$