ニールセン理論

ニールセン理論は、位相 不動点理論に起源を持つ数学研究の一分野です。その中心的なアイデアはデンマークの数学者ヤコブ・ニールセンによって開発され、彼の名前が付けられています。

コンパクト空間 fからそれ自身への写像fのいわゆる最小数を研究する理論で、 MF [ f ] と表記される。これは次のように定義される。

${\displaystyle {\mathit {MF}}[f]=\min\{\#\mathrm {修正} (g)\,|\,g\sim f\},}$

ここで、~ は写像のホモトピーを示し、 #Fix( g ) はgの不動点の数を示します。最小数を計算するのはニールセンの時代でも非常に困難でしたが、現在でもそれは変わりません。ニールセンのアプローチは、不動点セットをクラスにグループ化し、ホモトピーによって「削除」できるかどうかに応じて「必須」または「非必須」と判断するというものです。

ニールセンの元の定式化は、次と同等です。空間X上の自己写像fの不動点の集合に同値関係を定義します。x がyと同値であるとは、xからyへのパスc が存在し、 f ( c )がパスとしてcに同相である場合に限ります。この関係に関する同値類はfのニールセン類と呼ばれ、ニールセン数N ( f ) は、固定点インデックスの合計がゼロでないニールセン類の数として定義されます。

ニールセンはそれを証明した

${\displaystyle N(f)\leq {\mathit {MF}}[f],}$

彼の不変量は、はるかに難しいMF [ f ]を推定するための優れたツールになります。これは、現在ニールセンの不動点定理として知られている定理にすぐにつながります。つまり、 任意のマップ f には少なくとも N(f) 個の不動点があるということです。

ニールセン数は、固定小数点指数で定義されているため、レフシェッツ数と密接に関連しています。実際、ニールセンの最初の研究の直後に、ウェッケンとライデマイスターによって、2 つの不変量が 1 つの「一般化レフシェッツ数」(最近ではライデマイスター トレースと呼ばれる) に統合されました。

• ヴェルナー・フェンケル;ニールセン、ヤコブ(2003)。アスムス L. シュミット (編)。双曲面内のアイソメトリの不連続なグループ。デ・グリュイター 数学を研究。 Vol. 29. ベルリン: Walter de Gruyter & Co.

• ロバート・F・ブラウンによるニールセン理論の調査記事（Topology Atlas）