オイラー方程式（剛体力学）

古典力学において、オイラーの回転方程式は、軸が物体に固定された角速度ωの回転基準フレームを使用して、剛体の回転を記述するベクトル準線型1階常微分方程式である。その一般的なベクトル形式は、

${\displaystyle \mathbf {I} {\dot {\boldsymbol {\omega }}}+{\boldsymbol {\omega }}\times \left(\mathbf {I} {\boldsymbol {\omega }}\right)=\mathbf {M} .}$

ここで、Mは適用されたトルク、I は慣性行列です。ベクトルは角加速度です。ここでも、すべての量は回転基準フレームで定義されることに注意してください。 ${\displaystyle {\dot {\boldsymbol {\omega }}}}$

慣性座標の直交主軸では、方程式は

${\displaystyle {\begin{aligned}I_{1}\,{\dot {\omega }}_{1}+(I_{3}-I_{2})\,\omega _{2}\,\omega _{3}&=M_{1}\\I_{2}\,{\dot {\omega }}_{2}+(I_{1}-I_{3})\,\omega _{3}\,\omega _{1}&=M_{2}\\I_{3}\,{\dot {\omega }}_{3}+(I_{2}-I_{1})\,\omega _{1}\,\omega _{2}&=M_{3}\end{aligned}}}$

ここで、M _{k は}適用されたトルクの成分、I _kは主慣性モーメント、ω _{k は}角速度の成分です。

トルクが適用されていない場合は、オイラートップが得られます。トルクが重力によるものである場合、トップの動きが積分可能な特別なケースがあります。

慣性系（下付き文字「in」）では、オイラーの第 2 法則によれば、角運動量Lの時間微分は適用されたトルクに等しいとされています。

${\displaystyle {\frac {d\mathbf {L} _{\text{in}}}{dt}}=\mathbf {M} _{\text{in}}}$

内部力が中心力である点粒子の場合、これはニュートンの第2法則を使って導かれる。剛体の場合、角運動量と慣性モーメント Iの関係は次のよう _{に与えられる。}

${\displaystyle \mathbf {L} _{\text{in}}=\mathbf {I} _{\text{in}}{\boldsymbol {\omega }}}$

慣性系では、微分方程式は、一般的な回転剛体の運動を解くのに必ずしも役立つとは限りません。なぜなら、運動中にI _inとω の両方が変化する可能性があるからです。代わりに、回転体に固定された座標系に変更することができます。この座標系では、慣性モーメントテンソルは一定です。質量中心などの基準系を使用すると、フレームの位置は方程式から除外されます。回転する基準系では、時間微分を置き換えて、方程式が次のようになる必要があります。

${\displaystyle \left({\frac {d\mathbf {L} }{dt}}\right)_{\mathrm {rot} }+{\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {L} =\mathbf {M} }$

そして、外積が生じます。回転基準フレームにおける時間微分を参照してください。慣性フレームと回転フレームにおけるトルクのベクトル成分は 、回転テンソル（回転行列ではない）によって関連付けられます。これは、 任意のベクトルuに対して、角速度ベクトルに関連付けられた 直交テンソルです。ここで が代入され、回転フレームで時間微分が取られますが、粒子の位置と慣性テンソルは時間に依存しないことに注意してください。これにより、このようなフレームで有効なオイラー方程式の一般的なベクトル形式が導かれます。 ${\displaystyle \mathbf {M} _{\text{in}}=\mathbf {Q} \mathbf {M} ,}$${\displaystyle \mathbf {Q} }$${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {u}}={\dot {\mathbf {Q} }}\mathbf {Q} ^{-1}{\boldsymbol {u}}}$${\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {I} {\boldsymbol {\omega }}}$

${\displaystyle \mathbf {I} {\dot {\boldsymbol {\omega }}}+{\boldsymbol {\omega }}\times \left(\mathbf {I} {\boldsymbol {\omega }}\right)=\mathbf {M} .}$

合成トルクの議論では、ニュートンの法則からも方程式が導出されます。

より一般的には、テンソル変換規則により、任意の階数2のテンソルは時間微分を持ち、任意のベクトルに対して となる。これを代入するとオイラー方程式が得られる。${\displaystyle \mathbf {T} }$${\displaystyle \mathbf {\dot {T}} }$${\displaystyle \mathbf {u} }$${\displaystyle \mathbf {\dot {T}} \mathbf {u} ={\boldsymbol {\omega }}\times (\mathbf {T} \mathbf {u} )-\mathbf {T} ({\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {u} )}$${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left(\mathbf {I} {\boldsymbol {\omega }}\right)=\mathbf {M} .}$

慣性テンソルの主軸と軸が一直線になるようにフレームを選択すると、その成分行列は対角になり、計算がさらに簡単になります。慣性モーメントの記事で説明したように、角運動量Lは次のように表すことができます。

${\displaystyle \mathbf {L} =L_{1}\mathbf {e} _{1}+L_{2}\mathbf {e} _{2}+L_{3}\mathbf {e} _{3}=\sum _{i=1}^{3}I_{i}\omega _{i}\mathbf {e} _{i}}$

また、物体に結び付けられていないいくつかのフレームでは、角運動量の変化率に関するこのような単純な（対角テンソル）方程式を取得できる場合があります。その場合、ω は、物体の回転ではなく、そのフレームの軸の回転の角速度でなければなりません。ただし、選択された軸が慣性の主軸であることは依然として必要です。オイラー回転方程式の結果の形式は、回転の主軸のいくつかを自由に選択できる回転対称オブジェクトに役立ちます。

トルクのない歳差運動は、右側のトルクがゼロである状況では、自明ではない解です。外部参照フレームでI が一定でない場合（つまり、物体が動いていて、その慣性テンソルが常に対角ではない場合）、I はLに作用する微分演算子によって引き寄せられません。この場合、I ( t ) とω ( t ) は、それらの積の微分が依然としてゼロであるように一緒に変化します。この動きは、ポアンソの構成によって視覚化できます。

オイラー方程式は、任意の単純リー代数に一般化できます。^[1]元のオイラー方程式は、リー代数を に固定し、生成元が関係 を満たすことから生じます。次に、(ここで は時間座標であり、基底ベクトル と混同しないでください) が時間の - 値関数であり、(リー代数の基底に関して) である場合、(トルクのない) 元のオイラー方程式は次のように書き表すことができます。^[2]基底に依存しない方法で 定義するには、上の不変双線形形式に関するリー代数上の自己随伴写像でなければなりません。この表現は、たとえば単純リー代数の標準分類における任意の単純リー代数に容易に一般化されます。 ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}$${\displaystyle {t_{1},t_{2},t_{3}}}$${\displaystyle [t_{a},t_{b}]=\epsilon _{abc}t_{c}}$${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}(t)=\sum _{a}\omega _{a}(t)t_{a}}$${\displaystyle t}$${\displaystyle t_{a}}$${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}$${\displaystyle \mathbf {I} =\mathrm {diag} (I_{1},I_{2},I_{3})}$ $${\displaystyle \mathbf {I} {\dot {\boldsymbol {\omega }}}=[\mathbf {I} {\boldsymbol {\omega }},{\boldsymbol {\omega }}].}$$${\displaystyle \mathbf {I} }$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

これは、一般化オイラー方程式の Lax 対定式化として見ることもでき、積分可能性を示唆しています。

• オイラー角
• ジャニベコフ効果
• 慣性モーメント
• ポアンソの楕円体
• 剛性ローター

• CA Truesdell, III ( 1991) A First Course in Rational Continuum Mechanics. 第 1 巻: 一般概念、第 2 版、Academic Press。ISBN 0-12-701300-8。セクション I.8-10。 
• CA Truesdell, III および RA Toupin (1960) 「古典場の理論」、S. Flügge (編)『物理学百科事典。第 III/1 巻: 古典力学と場の理論の原理』、Springer-Verlag。セクション 166–168、196–197、および 294。
• Landau LD および Lifshitz EM (1976) Mechanics、第 3 版、Pergamon Press。ISBN 0-08-021022-8 (ハードカバー) およびISBN 0-08-029141-4 (ソフトカバー)。  
• ゴールドスタイン H. (1980)古典力学、第 2版、アディソン・ウェズレー。ISBN 0-201-02918-9 
• Symon KR. (1971) Mechanics、第3版、Addison- Wesley。ISBN 0-201-07392-7