アーンショーの定理

アーンショーの定理は、電荷の静電相互作用のみでは、点電荷の集合を安定した定常平衡構成に維持することはできないというものです。これは、1842 年にイギリスの数学者サミュエル アーンショーによって初めて証明されました。この定理は、通常、磁場に関して引用されますが、最初に静電場に適用されました。

アーンショウの定理は、古典的な逆二乗の法則の 力（電気と重力）に適用され、また、磁石が硬い場合（磁石の強度が外部磁場によって変化しない）には永久磁石の磁力にも適用されます。アーンショウの定理は、多くの一般的な状況で 磁気浮上を禁止します。

物質が硬くない場合、ヴェルナー・ブラウンベックの拡張によれば、相対透磁率が1 より大きい物質 (常磁性) はさらに不安定化しますが、透磁率が 1 未満の物質 (反磁性物質) は安定した構成を可能にします。

非公式には、任意の静電場における点電荷のケースは、ガウスの法則の単純な帰結です。粒子が安定した平衡状態にあるためには、粒子に対する任意の方向の小さな摂動 (「押す」) によって平衡状態が崩れてはなりません。粒子は以前の位置に「戻る」必要があります。これは、粒子の平衡位置の周囲の力場の線がすべて内側、つまりその位置に向かっている必要があることを意味します。周囲の力場の線がすべて平衡点に向かっている場合、その点における場の発散は負でなければなりません (つまり、その点はシンクとして機能します)。ただし、ガウスの法則では、自由空間では、あらゆる電気力場の発散はゼロであるとされています。数学的表記では、電位U ( r )から生じる電気力F ( r ) は常に発散しません (ラプラス方程式を満たします)。

$${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} =\nabla \cdot (-\nabla U)=-\nabla ^{2}U=0.}$$

したがって、自由空間における場のポテンシャルには極小値や極大値は存在せず、鞍点のみが存在する。粒子の安定した平衡は存在できず、何らかの方向に不安定性が存在するはずである。この議論は、 Uの2次導関数がすべてゼロである場合は不十分である可能性がある。^[1]

厳密に言えば、安定点が存在するためには、すべての隣接する力のベクトルが安定点に正確に向いている必要はありません。たとえば、力のベクトルは安定点に向かって螺旋を描くことができます。これに対処する方法の 1 つは、発散に加えて、自由空間内の電場の回転もゼロであるという事実 (磁流がない場合) を利用することです。

この定理は、静的磁気双極子の力/エネルギー方程式から直接証明することもできます(下記)。しかし、直感的には、定理が単一の点電荷に当てはまる場合は、互いに接続された 2 つの反対の点電荷にも当てはまると考えられます。特に、双極子モーメントを維持しながら電荷間の距離がゼロに減少する極限では、定理が当てはまります。つまり、電気双極子に当てはまります。しかし、定理が電気双極子に当てはまる場合は、磁気双極子にも当てはまります。これは、(静的) 力/エネルギー方程式が電気双極子と磁気双極子の両方で同じ形になるためです。

実際的な結果として、この定理は、磁力が重力よりも強い場合でも、重力に逆らって物体を 安定して浮上させることができる強磁性体の静的構成は存在しないことも述べています。

アーンショウの定理は拡張された物体の一般的なケースでも証明されており、たとえ物体が柔軟で導電性であっても、反磁性でない限り、これは当てはまります。 ^{[2] [3]}反磁性は（小さな）反発力を構成しますが、引力は構成しません。

しかし、この規則の仮定には磁気浮上を可能にするいくつかの例外があります。

アーンショーの定理は静的重力場に適用されます。

アーンショウの定理は慣性座標系に適用されます。しかし、アーンショウの定理の仮定に反する架空の遠心力を含む回転座標系で作業する方が自然な場合もあります。回転座標系で静止している点 (慣性座標系では動いている点) は、絶対的に安定している場合もあれば、絶対的に不安定な場合もあります。たとえば、制限 3 体問題では、架空の遠心力による有効ポテンシャルにより、ラグランジュ点L4 と L5 は、それらの場所に無視できる質量しかない場合でも、有効ポテンシャル場の極大値に位置することができます。(これらのラグランジュ点はポテンシャル場の極小値ではなく極大値に位置しますが、スカラー ポテンシャル場によって捕捉されない、速度に依存する架空のコリオリの力により、特定のパラメーター領域では絶対的に安定しています。)

アーンショウの定理は、静電荷構成の不安定性が証明されているにもかかわらず、物質が電磁的にまとまっているという証拠が多数見つかっていることから、長い間、物質が安定してまとまっている理由という驚くべき疑問を提起していた。アーンショウの定理は静止電荷にのみ適用されるため、長岡の土星モデル(1904) やラザフォードの惑星モデル(1911) など、点状の電子が中心の正の点電荷の周りを回る惑星モデルを使用して原子の安定性を説明する試みがあった。しかし、このような惑星モデルの安定性はすぐに疑問視された。電子は円に沿って動くときにゼロではない加速度を持ち、したがって非定常の電磁場を介してエネルギーを放射することになる。1913年のボーアのモデルは、この放射が存在しない理由を説明することなく、正式にはこの放射を禁止した。

一方、アーンショウの定理は点電荷にのみ適用され、分布電荷には適用されません。これにより、JJ トムソンは1904 年にプラム プディング モデルを考案しました。このモデルでは、負の点電荷 (電子、または「プラム」) が分布正電荷「プディング」に埋め込まれており、そこでは静止しているか円に沿って動いています。これは、アーンショウの定理ではカバーされていない、非点正電荷 (および非定常負電荷) の構成です。最終的に、これは1926 年のシュレーディンガー モデルにつながり、電子が点ではなく分布電荷密度である非放射状態の存在により、上記の難問が基本的なレベルで解決されました。アーンショウの定理に矛盾がないだけでなく、結果として生じる電荷密度と電流密度も定常であり、対応する電磁場も定常であり、エネルギーを無限に放射しなくなりました。これにより、原子の安定性が 量子力学的に説明されました。

より実用的なレベルでは、パウリの排他原理と離散的な電子軌道の存在がバルク物質を硬くする原因である と言えます。

より一般的な証明も可能かもしれませんが、ここでは 3 つの具体的なケースについて検討します。最初のケースは、一定の大きさで、方向が速い (固定された) 磁気双極子です。2 番目と 3 番目のケースは、方向が変化して外部磁場の磁力線と平行または反平行に揃う磁気双極子です。常磁性体と反磁性体では、双極子は磁力線とそれぞれ平行または反平行に揃います。

ここで検討する証明は、以下の原則に基づいています。

外部磁場Bにおける磁気双極子モーメントMを持つ磁気双極子のエネルギーUは次のように与えられる。 $${\displaystyle U=-\mathbf {M} \cdot \mathbf {B} =-(M_{x}B_{x}+M_{y}B_{y}+M_{z}B_{z}).}$$

双極子はエネルギーが最小値を持つ点でのみ安定して浮上します。エネルギーが最小値を持つのは、エネルギーのラプラシアンがゼロより大きい点のみです。つまり、 $${\displaystyle \nabla ^{2}U={\frac {\partial ^{2}U}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}U}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}U}{\partial z^{2}}}>0.}$$

最後に、磁場の発散と回転は両方ともゼロであるため（電流がない場合や電場が変化していない場合）、磁場の個々の成分のラプラシアンはゼロです。つまり、 $${\displaystyle \nabla ^{2}B_{x}=\nabla ^{2}B_{y}=\nabla ^{2}B_{z}=0.}$$

これは、全体的な証明を理解する上で中心的な役割を果たすため、この記事の最後で証明されています。

固定方向（および一定の大きさ）の磁気双極子の場合、エネルギーは次のように表されます 。 ここで、 M _x、M _y、およびM _zは定数です。この場合、エネルギーのラプラシアンは常にゼロな ので、双極子はエネルギーの最小値も最大値も持ちません。つまり、自由空間では、双極子がすべての方向で安定しているか、すべての方向で不安定であるかのどちらかになる点は存在しません。 $${\displaystyle U=-\mathbf {M} \cdot \mathbf {B} =-(M_{x}B_{x}+M_{y}B_{y}+M_{z}B_{z}),}$$$${\displaystyle \nabla ^{2}U=0,}$$

外部磁場と平行または反平行に整列し、その大きさが外部磁場に比例する磁気双極子は、それぞれ常磁性体と反磁性体に対応します。これらの場合、エネルギーは次のように表されます。 ここで、k は常磁性体の場合は 0 より大きい定数、反磁性体の場合は 0 未満の定数です。 $${\displaystyle U=-\mathbf {M} \cdot \mathbf {B} =-k\mathbf {B} \cdot \mathbf {B} =-k\left(B_{x}^{2}+B_{y}^{2}+B_{z}^{2}\right),}$$

この場合、 定数kと組み合わせると、常磁性材料はエネルギー最大値を持つことができるがエネルギー最小値を持つことはできないこと、また反磁性材料はエネルギー最小値を持つことができるがエネルギー最大値を持つことはできないことが示されます。つまり、常磁性材料はすべての方向で不安定になることができますがすべての方向で安定しているわけではなく、反磁性材料はすべての方向で安定になることができますがすべての方向で不安定であるわけではありません。もちろん、両方の材料に鞍点が存在する可能性があります。 $${\displaystyle \nabla ^{2}\left(B_{x}^{2}+B_{y}^{2}+B_{z}^{2}\right)\geq 0,}$$

最後に、磁場に対して平行または反平行に整列した強磁性体（永久磁石）の磁気双極子は次のように表される。 $${\displaystyle \mathbf {M} =k{\mathbf {B} \over |\mathbf {B} |},}$$

エネルギーは次のように与えられる。 $${\displaystyle U=-\mathbf {M} \cdot \mathbf {B} =-k{\frac {\mathbf {B} \cdot \mathbf {B} }{|\mathbf {B} |}}=-k{\frac {|\mathbf {B} |^{2}}{|\mathbf {B} |}}=-k\left(B_{x}^{2}+B_{y}^{2}+B_{z}^{2}\right)^{\frac {1}{2}};}$$

しかし、これは上で説明した常磁性および反磁性の場合のエネルギーの平方根にすぎず、平方根関数は単調に増加するため、常磁性および反磁性の場合の最小値または最大値は、ここでも最小値または最大値になります。ただし、安定して浮上する永久磁石の構成は知られていないため、永久磁石を磁場と反平行の方向に維持できない (少なくとも回転なしでは不可能な、スピン安定化磁気浮上を参照) 理由として、ここでは説明していない別の理由がある可能性があります。

アーンショーの定理は、もともと静電気（点電荷）のために定式化され、点電荷の集合には安定した構成がないことを示すものでした。ここで個々の双極子について提示された証明は、加算的なエネルギーの観点から定式化されているため、磁気双極子の集合に一般化できるはずです。ただし、このトピックの厳密な取り扱いは、現時点ではこの記事の範囲を超えています。

自由空間のあらゆる点において $${\displaystyle \nabla \cdot (\nabla U)=\nabla ^{2}U={\partial ^{2}U \over {\partial x}^{2}}+{\partial ^{2}U \over {\partial y}^{2}}+{\partial ^{2}U \over {\partial z}^{2}}=0.}$$

外部磁場Bにおける磁気双極子MのエネルギーUは次のように表される。 $${\displaystyle U=-\mathbf {M} \cdot \mathbf {B} =-M_{x}B_{x}-M_{y}B_{y}-M_{z}B_{z}.}$$

ラプラシアンは $${\displaystyle \nabla ^{2}U=-{\frac {\partial ^{2}}{{\partial x}^{2}}}\left(M_{x}B_{x}+M_{y}B_{y}+M_{z}B_{z}\right)-{\frac {\partial ^{2}}{{\partial y}^{2}}}\left(M_{x}B_{x}+M_{y}B_{y}+M_{z}B_{z}\right)-{\frac {\partial ^{2}}{{\partial z}^{2}}}\left(M_{x}B_{x}+M_{y}B_{y}+M_{z}B_{z}\right)}$$

項を展開して並べ替えると（双極子Mは定数であることに注意）、 $${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla ^{2}U&=-M_{x}\left({\partial ^{2}B_{x} \over {\partial x}^{2}}+{\partial ^{2}B_{x} \over {\partial y}^{2}}+{\partial ^{2}B_{x} \over {\partial z}^{2}}\right)-M_{y}\left({\partial ^{2}B_{y} \over {\partial x}^{2}}+{\partial ^{2}B_{y} \over {\partial y}^{2}}+{\partial ^{2}B_{y} \over {\partial z}^{2}}\right)-M_{z}\left({\partial ^{2}B_{z} \over {\partial x}^{2}}+{\partial ^{2}B_{z} \over {\partial y}^{2}}+{\partial ^{2}B_{z} \over {\partial z}^{2}}\right)\\[3pt]&=-M_{x}\nabla ^{2}B_{x}-M_{y}\nabla ^{2}B_{y}-M_{z}\nabla ^{2}B_{z}\end{aligned}}}$$

しかし、磁場の個々の成分のラプラシアンは自由空間ではゼロである（電磁放射は除く）ので、 $${\displaystyle \nabla ^{2}U=-M_{x}0-M_{y}0-M_{z}0=0,}$$

これで証明は完了です。

まず常磁性または反磁性双極子の場合を考える。エネルギーは次のように与えられる。 $${\displaystyle U=-k|\mathbf {B} |^{2}=-k\left(B_{x}^{2}+B_{y}^{2}+B_{z}^{2}\right).}$$

用語の拡張と並べ替え、 $${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla ^{2}|\mathbf {B} |^{2}&=\nabla ^{2}\left(B_{x}^{2}+B_{y}^{2}+B_{z}^{2}\right)\\&=2\left(|\nabla B_{x}|^{2}+|\nabla B_{y}|^{2}+|\nabla B_{z}|^{2}+B_{x}\nabla ^{2}B_{x}+B_{y}\nabla ^{2}B_{y}+B_{z}\nabla ^{2}B_{z}\right)\end{aligned}}}$$

しかし、磁場の各成分のラプラシアンはゼロなので、 $${\displaystyle \nabla ^{2}|\mathbf {B} |^{2}=2\left(|\nabla B_{x}|^{2}+|\nabla B_{y}|^{2}+|\nabla B_{z}|^{2}\right);}$$

そして大きさの二乗は常に正なので、 $${\displaystyle \nabla ^{2}|\mathbf {B} |^{2}\geq 0.}$$

上で説明したように、これは常磁性体のエネルギーのラプラシアンが正になることは決してなく（安定した浮上がない）、反磁性体のエネルギーのラプラシアンが負になることは決してない（すべての方向で不安定性がない）ことを意味します。

さらに、外部フィールドと一直線に並んだ一定の大きさの双極子のエネルギーは上記のエネルギーの平方根となるため、同じ分析が適用されます。

ここでは、磁場の各成分のラプラシアンがゼロであることが証明されています。これは、磁場の発散は常にゼロであり、自由空間では磁場の回転はゼロであるという磁場の特性を援用する必要があることを示しています。(つまり、電流や変化する電場がない場合)磁場のこれらの特性の詳細な説明については、 マクスウェル方程式を参照してください。

磁場のx成分のラプラシアンを考える $${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla ^{2}B_{x}&={\frac {\partial ^{2}B_{x}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}B_{x}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}B_{x}}{\partial z^{2}}}\\&={\frac {\partial }{\partial x}}{\frac {\partial B_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial }{\partial y}}{\frac {\partial B_{x}}{\partial y}}+{\frac {\partial }{\partial z}}{\frac {\partial B_{x}}{\partial z}}\end{aligned}}}$$

Bの回転はゼロ な ので 、 $${\displaystyle {\frac {\partial B_{x}}{\partial y}}={\frac {\partial B_{y}}{\partial x}},}$$$${\displaystyle {\frac {\partial B_{x}}{\partial z}}={\frac {\partial B_{z}}{\partial x}},}$$$${\displaystyle \nabla ^{2}B_{x}={\frac {\partial }{\partial x}}{\frac {\partial B_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial }{\partial y}}{\frac {\partial B_{y}}{\partial x}}+{\frac {\partial }{\partial z}}{\frac {\partial B_{z}}{\partial x}}.}$$

しかし、B _xは連続なので、微分順序は関係なく、 $${\displaystyle \nabla ^{2}B_{x}={\partial \over \partial x}\left({\partial B_{x} \over \partial x}+{\partial B_{y} \over \partial y}+{\partial B_{z} \over \partial z}\right)={\partial \over \partial x}(\nabla \cdot \mathbf {B} ).}$$

Bの発散はゼロ なので 、 $${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {B} =0,}$$$${\displaystyle \nabla ^{2}B_{x}={\partial \over \partial x}(\nabla \cdot \mathbf {B} )=0.}$$

磁場B _yのy成分のラプラシアンと磁場B _zのz成分のラプラシアンも同様に計算できます。あるいは、 括弧内の両方の項が消える 恒等式を使用することもできます。 $${\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {B} =\nabla \left(\nabla \cdot \mathbf {B} \right)-\nabla \times \left(\nabla \times \mathbf {B} \right),}$$

アーンショウの定理は、動かない永久強磁性体に対しては例外がありません。しかし、動く強磁性体、 ^[4]、特定の電磁気システム、疑似浮上、反磁性体には、アーンショウの定理は必ずしも適用されません。これらは例外のように見えますが、実際には定理の制約を利用しています。

スピン安定化磁気浮上: 回転する強磁性体（レビトロンなど）は、回転しながら永久強磁性体のみを使用して磁気浮上することができ、システムはジャイロ力を追加します。^[4]（回転する強磁性体は「動かない強磁性体」ではありません）。

電磁石または電磁石システムの極性を切り替えると、エネルギーを継続的に消費してシステムを浮上させることができます。磁気浮上式鉄道は、その応用例の 1 つです。

擬似浮上は、通常、何らかの形のテザーまたは壁を使用して磁石の動きを制限します。この定理は、不安定になる方向があることを示しているだけなので、これが機能します。その方向の動きを制限すると、移動に使用できる 3 次元全体よりも少ない次元で浮上が可能になります (定理は 1D や 2D ではなく 3 次元で証明されていることに注意してください)。

反磁性体は磁場に対して反発力しか示さないため除外されますが、定理では反発力と引力の両方を持つ物質を必要とします。この例としては、有名な空中浮遊するカエルが挙げられます(反磁性を参照)。

• 静電浮上
• 磁気浮上

• スコット、WT (1959)。「アーンショウとは誰か?」アメリカ物理学誌。27 (6): 418–419。Bibcode :1959AmJPh..27..418S。doi : 10.1119 / 1.1934886。

• 「浮上は可能」、アーンショーの定理とそれが浮上に与える影響、および電磁場を使って浮上するいくつかの方法についての議論