ワイエルシュトラスの準備定理

数学において、ワイエルシュトラスの準備定理は、与えられた点Pにおける複数の複素変数の解析関数を扱うためのツールです。これは、そのような関数は、Pでゼロでない関数による乗算を除けば、固定された 1 つの変数zの多項式であり、そのモニック多項式であり、その低次の項の係数は、残りの変数では解析関数であり、Pではゼロであると述べています。

この定理には、環 Rの因数分解の考え方をu · wに拡張した変種も数多く存在する。ここでuは単位元、w はある種の著名なワイエルシュトラス多項式である。カール・シーゲルは、この定理がワイエルシュトラスに帰属することに異議を唱え、19世紀後半のTraités d'analyseの一部で現在の名前で登場したが、根拠がないと述べている。

1変数の場合、解析関数f ( z ) の 0 付近の局所形はz ^k h ( z ) で、h (0) は 0 ではなく、k は0 におけるfの零点の位数です。これは準備定理を一般化した結果です。1つの変数zを取り出し、これが第 1 であると仮定し、複素変数を ( z , z ₂ , ..., z _n ) と書きます。ワイエルシュトラス多項式W ( z ) は

z ^k + g _{k −1} z ^{k −1} + ... + g ₀

ここでg _i ( z ₂ , ..., z _n )は解析的であり、g _i (0, ..., 0) = 0である。

すると、定理は解析関数fに対して、

f (0, ...,0) = 0,

そして

f ( z , z ₂ , ..., z _n )

冪級数はzのみを含む項を持つので、(局所的に (0, ..., 0) の近く) と書くことができる。

f ( z , z ₂ , ..., z _n ) = W ( z ) h ( z , z ₂ , ..., z _n )

h は解析的であり、h (0, ..., 0) は 0 ではなく、W はワイエルシュトラス多項式です。

このことから、 (0, ..., 0) 付近のfの零点集合は、 z ₂ , ..., z _nの任意の小さな値を固定し、方程式W(z)=0 を解くことで見つけられるという直接的な帰結が得られます。対応するzの値は、zにおけるWの次数に等しい数の連続的に変化する枝を形成します。特に、f は孤立した零点を持つことはできません。

関連する結果にワイエルシュトラスの除算定理がある。これは、fとgが解析関数で、g がN次ワイエルシュトラス多項式である場合、 f = gh + j（jはN 次未満の多項式）となる唯一のhとjのペアが存在することを述べている。実際、多くの著者がワイエルシュトラスの準備定理を除算定理の系として証明している。また、準備定理から除算定理を証明して、2つの定理が実際に同等であることを証明することもできる。^[1]

ワイエルシュトラスの準備定理は、 n変数の解析関数の芽の環がネーター環であることを示すために使用することができ、これはリュッケルト基底定理とも呼ばれる。^[2]

滑らかな関数に対するより深い準備定理は、ベルナール・マルグランジュによるもので、マルグランジュ準備定理と呼ばれています。また、これには、ジョン・マザーにちなんで名付けられた、関連する除算定理もあります。

完全な局所環A上の形式的冪級数の環についても、ワイエルシュトラスの準備定理と呼ばれる類似の結果がある。^[3] Aの最大イデアルに含まれない冪級数に対しては、一意の単位uと、次のような形式の多項式F（いわゆる区別多項式） が存在する。 ${\displaystyle f=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}t^{n}\in A[[t]]}$${\displaystyle a_{n}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ ${\displaystyle A[[t]]}$${\displaystyle F=t^{s}+b_{s-1}t^{s-1}+\dots +b_{0}}$${\displaystyle b_{i}\in {\mathfrak {m}}}$

${\displaystyle f=uF.}$

は再び完全な局所環である ため、結果は反復可能であり、したがって、複数の変数の形式的な冪級数に対して同様の因数分解結果が得られます。${\displaystyle A[[t]]}$

たとえば、これはp 進体の整数環に適用されます。この場合、定理によれば、べき級数f ( z ) は常に π ⁿ · u ( z ) · p ( z )として一意に因数分解できます。ここで、u ( z ) はべき級数環の単位、p ( z ) は特別な多項式(モニック、主要でない項の係数がそれぞれ最大イデアルに含まれる)、 π は固定された均一化子です。

環（岩澤代数とも呼ばれる）に対するワイエルシュトラスの準備定理と除算定理の応用は、この環上の有限生成加群の記述における岩澤理論で起こる。 ^[4]${\displaystyle \mathbf {Z} _{p}[[t]]}$

ワイエルシュトラスの除算と準備の非可換版が存在する。Aは必ずしも可換環ではなく、形式冪級数の代わりに形式歪冪級数を用いる。^[5]

テイト代数に対するワイエルシュトラスの準備定理もある。

${\displaystyle T_{n}(k)=\left\{\sum _{\nu _{1},\dots ,\nu _{n}\geq 0}a_{\nu _{1},\dots ,\nu _{n}}X_{1}^{\nu _{1}}\cdots X_{n}^{\nu _{n}},|a_{\nu _{1},\dots ,\nu _{n}}|\to 0{\text{ for }}\nu _{1}+\dots +\nu _{n}\to \infty \right\}}$

完全な非アルキメデス体 k上の環。^{[6]これらの代数は}剛体幾何学 の基本的な構成要素です。ワイエルシュトラスの準備定理のこの形式の応用の 1 つは、環がノイザンであるという事実です。 ${\displaystyle T_{n}(k)}$

• 岡のコヒーレンス定理

• ルイス、アンドリュー、グローバル分析に関するノート
• Siegel, CL (1969)、「Zu den Beweisen des Vorbereitungssatzes von Weierstrass」、数理論と分析 (エドモンド・ランドーに敬意を表した論文)、ニューヨーク: プレナム、297 ～ 306 ページ、MR  0268402、 Siegel、Carl Ludwig (1979)、Chandrasekharan、Kに再版。 Maass., H. (編)、Gesammelte Abhandlungen。 Band IV、ベルリン-ニューヨーク: Springer-Verlag、1 ～ 8 ページ、ISBN 0-387-09374-5、MR  0543842
• Solomentsev, ED (2001) [1994]、「ワイエルシュトラスの定理」、数学百科事典、EMS Press
• Stickelberger, L. (1887)、「Ueber einen Satz des Herrn Neether」、Mathematische Annalen、30 (3): 401–409、doi :10.1007/BF01443952、S2CID  121360367
• Weierstrass, K. (1895)、Mathematische Werke。 II. Abhandlungen 2、ベルリン: Mayer & Müller、135–142 ページ1967年にジョンソン社（ニューヨーク）から再版。

• Lebl, Jiří (2021年7月6日). 「ワイエルシュトラスの準備と除算定理。 (2021年9月5日)」. LibreTexts .