マルグランジュ準備定理

数学において、マルグランジュ準備定理は、滑らかな関数に対するワイエルシュトラス準備定理の類似物である。これはルネ・トムによって予想され、B. マルグランジュ (1962–1963、1964、1967) によって証明された。

f ( t , x ) が原点付近のt ∈ Rとx ∈ R ⁿの滑らかな複素関数であるとし 、k を次の式を満たす最小の整数と する。

${\displaystyle f(0,0)=0,{\partial f \over \partial t}(0,0)=0,\dots ,{\partial ^{k-1}f \over \partial t^{k-1}}(0,0)=0,{\partial ^{k}f \over \partial t^{k}}(0,0)\neq 0.}$

すると、準備定理の1つの形式は、原点付近でf は、原点で非ゼロである滑らかな関数cと、 tの関数として次数kの多項式となる滑らかな関数との積として表すことができる、というものである。言い換えれば、

${\displaystyle f(t,x)=c(t,x)\left(t^{k}+a_{k-1}(x)t^{k-1}+\cdots +a_{0}(x)\right)}$

ここで関数cとa は滑らかであり、c は原点でゼロではありません。

定理の2番目の形式は、マザー除算定理と呼ばれることもあり、一種の「剰余除算」定理である。これは、fとkが 上記の条件を満たし、gが原点付近の滑らかな関数である場合、次のように書けるということ を述べている。

${\displaystyle g=qf+r}$

ここでqとr は滑らかで、tの関数としてr はk未満の次数の多項式です。これは、

${\displaystyle r(x)=\sum _{0\leq j<k}t^{j}r_{j}(x)}$

いくつかの滑らかな関数r _j ( x )に対して。

定理の 2 つの形式は簡単に互いを暗示します。最初の形式は、gがt ^kである「剰余割り算」形式の特殊なケースであり、 tの関数としてのf がk次多項式であると仮定できるため、剰余割り算形式は定理の最初の形式から生じます。

関数fとgが実数であれば、関数c、a、q、rも実数とみなすことができます。ワイエルシュトラスの準備定理の場合、これらの関数はfとgによって一意に決定されますが、マルグランジュの準備定理では一意性は保持されなくなります。

マルグランジュ準備定理はワイエルシュトラス準備定理から演繹できる。これを行う明白な方法はうまくいかない。滑らかな関数は原点で形式的な冪級数展開を持ち、ワイエルシュトラス準備定理は形式的な冪級数に適用できるが、形式的な冪級数は原点付近で滑らかな関数に収束しないのが普通である。代わりに、滑らかな関数をフーリエ変換に 1 の分割を適用して解析関数の和として分解するという考え方を使用できる。この方向の証明については、(Mather 1968) または (Hörmander 1983a、セクション 7.5) を参照のこと。

マルグランジュ準備定理は、滑らかな実数値の芽の環上の加群に関する定理として言い換えることができます。Xが多様体で、p ∈ Xである場合、C ^∞ _p ( X ) がX上のpにおける滑らかな関数の実数値の芽の環を表すものとします。M _p ( X ) が、 p で消える芽からなるC ^∞ _p ( X )の唯一の最大イデアルを表すものとします。 AをC ^∞ _p ( X )-加群とし、f​​ : X  →  Y を多様体間の滑らかな関数とします。q = f ( p ) とします。 f は、 fとの右側の合成により、環準同型f ^* : C ^∞ _q (Y) →  C ^∞ _p ( X ) を誘導します。したがって、 A をC ^∞ _q ( Y )-加群と見なすことができます。すると、マルグランジュ準備定理によれば、Aが有限生成C ^∞ _p ( X )-加群である場合、 A / M _q ( Y )A が有限次元実ベクトル空間である場合に限り、Aは有限生成C ^∞ _q ( Y )-加群となります。

• ゴルビツキー、マーティン、ギユマン、ヴィクター（1973）、安定マッピングとその特異点、数学の大学院テキスト14、シュプリンガー・フェアラーク、ISBN 0-387-90073-X
• Hörmander、L. (1983a)、線形偏微分演算子 I の分析、Grundl。数学。 Wissenschaft.、vol. 256、シュプリンガー、ISBN 978-3-540-00662-6
• Malgrange、Bernard (1962–1963)、Le théorème de préparation en géométrie différentiable I–IV、Séminaire Henri Cartan、1962/63、vol. 11–14、Secretariat mathématique、パリ、MR  0160234
• マルグランジュ、バーナード(1964)、微分可能関数の準備定理。1964 微分解析、ボンベイ・コロク、ロンドン：オックスフォード大学出版局、pp. 203–208、MR  0182695
• マルグランジュ、バーナード(1967)、「微分可能関数のイデアル」、タタ数学基礎研究所、第 3 巻、ロンドン: オックスフォード大学出版局、pp. vii+106、MR  0212575
• マザー、ジョン N. (1968)、「C ^∞マッピングの安定性。I. 除算定理」、Ann. of Math.、2、87 (1)、The Annals of Mathematics、Vol. 87、No. 1: 89–104、doi : 10.2307/1970595、JSTOR  1970595、MR  0232401