連続変数または離散変数

数学と統計学では、量的変数は連続または離散的である可能性があります。 2 つの実数値とそれらの間のすべての値をとることができる場合、その変数はその区間で連続です。^[¹^]変数がとることができる値があり、その両側に変数がとることができる値を含まない非無限小のギャップがある場合、その変数はその値の周りで離散的です。^[²^]文脈によっては、変数は数直線のある範囲では離散的で、他の範囲では連続である場合があります。統計学では、連続変数と離散変数は、異なる確率分布で記述される、異なる統計的データタイプです。

連続変数

連続変数とは、任意の2つの値の間に複数の値を取り得る変数のことである。

例えば、実数の空でない範囲における変数は、その範囲内の任意の値をとることができる場合、連続である。^{[ 3 ]}

微積分法は、変数が連続的な問題、例えば連続最適化問題などでよく用いられる。^{[ 4 ]}

統計理論では、連続変数の確率分布は確率密度関数で表すことができる。^{[ 5 ]}

連続時間ダイナミクスでは、変数時間は連続として扱われ、ある変数の時間的変化を記述する方程式は微分方程式です。^{[ 6 ]}瞬間変化率は、特定の瞬間における従属変数の変化と独立変数の変化の比率を取る、明確に定義された概念です。

離散変数

対照的に、変数が離散変数であるのは、この変数とサブセットとの間に一対一の対応関係が存在する場合に限る。 $\mathbb {N}$ 、自然数の集合。^{[ 7 ]}言い換えれば、実数値の特定の区間における離散変数とは、その変数が取り得る範囲内の任意の値に対して、最も近い他の許容値までの正の最小距離が存在する変数のことである。許容値の数は有限または可算無限である。一般的な例としては、整数、非負整数、正の整数、または整数0と1のみである変数などがある。^{[ 8 ]}

微積分法は離散変数を含む問題には容易には適用できません。特に多変数微積分では、多くのモデルが連続性の仮定に依存しています。^{[ 9 ]}離散変数を含む問題の例としては、整数計画問題などがあります。

統計学では、離散変数の確率分布は確率質量関数で表すことができる。^{[ 5 ]}

離散時間ダイナミクスでは、変数時間は離散的に扱われ、ある変数の時間的変化を表す方程式は差分方程式と呼ばれます。^{[ 10 ]}特定の離散時間動的システムでは、差分方程式を解いて解析解を求めることで、システムの応答をモデル化できます。

計量経済学、より一般的には回帰分析において、経験的に互いに関連している変数の中には、 0-1変数、つまりその2つの値しかとれない変数が存在することがあります。 ^{[ 11 ]} 0と1の離散値の目的は、方程式内の異なるパラメータに2つの値を割り当てることで、「オン」と「オフ」に切り替えられる「スイッチ」としてダミー変数を使用することです。このタイプの変数はダミー変数と呼ばれます。従属変数がダミー変数である場合、ロジスティック回帰またはプロビット回帰が一般的に用いられます。回帰分析の場合、ダミー変数は研究におけるサンプルのサブグループを表すために使用できます（例えば、0の値は対照群の構成要素に対応します）。^{[ 12 ]}

連続変数と離散変数の混合

混合多変量モデルには、離散変数と連続変数の両方を含めることができます。たとえば、単純な混合多変量モデルには、離散変数が含まれる場合があります。 $x$ 0または1の値のみをとる連続変数 $y$ ^{[ 13 ]}混合モデルの例としては、精神症状の二値尺度と認知機能の連続尺度に基づく心理障害のリスクに関する研究が挙げられる。[ ^{14 ]混合}モデルには、数直線のある範囲では離散的で、別の範囲では連続的な単一の変数が含まれる場合もある。

確率論と統計学において、混合型確率変数の確率分布は、離散成分と連続成分の両方から構成されます。混合型確率変数は、離散的または全連続的な累積分布関数を持ちません。混合型確率変数の例として、行列における待ち時間の確率が挙げられます。顧客が待ち時間をゼロとする可能性は離散的ですが、ゼロでない待ち時間は連続的な時間スケールで評価されます。^{[ 15 ]}物理学（特に、このような分布が頻繁に現れる量子力学）では、連続成分と離散成分を統一的に扱うために、ディラックのデルタ関数がよく用いられます。例えば、前述の例は、確率密度関数によって記述される可能性があります。 $p(t)=\alpha \delta (t)+g(t)$ 、したがって $P(t>0)=\int _{0}^{\infty }g(t)=1-\alpha$ 、そして $P(t=0)=\alpha$ 。

参考文献

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14 ]混合

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連続変数

離散変数

連続変数と離散変数の混合

関連項目

参考文献