降下（数学）

数学において、降下の概念は位相幾何学における「接着」という直感的な概念を拡張したものです。位相学者の接着は位相空間における同値関係の使用であるため、理論は同一視に関するいくつかの概念から始まります。

位相空間の互いに素な和集合のデータからベクトル束を構築するケースは、出発点として簡単です。

X が開集合X _iで覆われた位相空間であるとする。YをX _iの非結合和集合とすると、自然な写像が存在する。

${\displaystyle p:Y\rightarrow X.}$

Y はXの「上」にあり、X _{i の}射影はXに「下」にあると考えます。この言語では、降下はY上のベクトル束（つまり、各X _iに与えられた束）を意味し、ここでの関心事はそれらの束V _{i を}「接着」して X 上の単一の束V を作ることです。つまり、V はX _iに制限されている場合、束同型になるまで V i を返す必要があるという_ことです。

必要なデータは次のようになります。各重複部分

${\displaystyle X_{ij},}$

X _iとX _jの共通部分については、マッピングが必要となる。

${\displaystyle f_{ij}:V_{i}\rightarrow V_{j}}$

繊維ごとにV _iとV _{j を}識別するために使用します。さらに、 fij_は同値関係の反射的、対称的、推移的特性に基づく条件（接着条件）を満たす必要があります。たとえば、

${\displaystyle f_{jk}\circ f_{ij}=f_{ik}}$

推移性のため（そして適切な表記法を選択するため）。f _{ii は}恒等写像であるはずなので、対称性は（ファイバーごとに同型になるように） なります。${\displaystyle f_{ij}=f_{ji}^{-1}}$

これらは、ファイバー束理論における標準的な条件です(遷移マップを参照)。注目すべき重要な応用の 1 つは、ファイバーの変更です。束を作るのに必要なのはf _ijだけであれば、関連する束を作る方法は多数あります。つまり、基本的に同じf _{ij を}、さまざまなファイバーに作用させることができます。

もう一つの重要な点は連鎖律との関係です。テンソル場を構築する方法に関する議論は、 「推移性がヤコビアン連鎖律である接線バンドルを下降することを学べば、残りは単に「テンソル構築の自然さ」です」と要約できます。

抽象理論に近づくためには、

${\displaystyle X_{ij}}$

今では

${\displaystyle Y\times _{X}Y,}$

射影 p の 2 つのコピーのファイバー積 (ここではイコライザー )。制御する必要がある X ij 上のバンドルはV ′とV " であり、_これらはXへの2 つの異なる射影マップを介したVのファイバーへのプルバックです。

したがって、より抽象的なレベルに進むことで、組み合わせの側面を排除し (つまり、インデックスを省略し)、最初に使用した特殊な形式の被覆ではなく、 pにとって意味のあるものを得ることができます。これにより、カテゴリ理論のアプローチが可能になります。残っているのは、接着条件を再表現することです。

これらのアイデアは 1955 年から 1965 年にかけて発展しました (この頃は代数位相幾何学の要件は満たされていましたが、代数幾何学の要件は満たされていませんでした)。抽象圏理論の観点から見ると、ベックのコモナドの研究はこれらのアイデアの集大成でした。 ベックのモナド性定理を参照してください。

商への通過を伴う代数幾何学の困難さは深刻です。幾何学者にとってのこの問題の緊急性（このように言うと）は、1959 年のグロタンディークセミナーのタイトル「下降の定理と存在の技法」（FGA を参照）が、下降の問題と、代数幾何学一般、特に モジュライの問題を結び付けるものである理由です。

とする。X上の各層Fは降下データを生成する 。${\displaystyle p:X'\to X}$

${\displaystyle (F'=p^{*}F,\alpha :p_{0}^{*}F'\simeq p_{1}^{*}F'),\,p_{i}:X''=X'\times _{X}X'\to X'}$、

ここで、コサイクル条件を満たす^[1]${\displaystyle \alpha}$

${\displaystyle p_{02}^{*}\alpha =p_{12}^{*}\alpha \circ p_{01}^{*}\alpha ,\,p_{ij}:X'\times _{X}X'\times _{X}X'\to X'\times _{X}X'}$。

完全に忠実な降下は、関数が完全に忠実であることを意味します。降下理論は、完全に忠実な降下が存在する条件と、この関数がカテゴリの同値である場合を示します。 ${\displaystyle F\mapsto (F',\alpha )}$

• グロタンディーク接続
• スタック（数学）
• ガロア降下
• グロタンディーク位相
• ファイバーカテゴリー
• ベックのモナディシティ定理
• コホモロジー的降下

• SGA 1、第8章 – これが主な参考文献です
• ジークフリート・ボッシュ。ヴェルナー・リュトケボーメルト;ミシェル・レイノー (1990)。ネロンモデル。 Ergebnisse der Mathematik および Ihrer Grenzgebiete。 3.フォルゲ。 Vol. 21.シュプリンガー・フェルラークISBN 3540505873。 降下理論に関する章は SGA よりも理解しやすいです。
• Pedicchio, Maria Cristina; Tholen, Walter 編 (2004)。圏論的基礎。順序、位相、代数、層理論に関する特別なトピック。数学とその応用百科事典。第 97 巻。ケンブリッジ:ケンブリッジ大学出版局。ISBN 0-521-83414-7.ZBL1034.18001  。​

その他の考えられるソースとしては、次のものがあります。

• アンジェロ・ヴィストーリ、グロタンディーク位相、ファイバーカテゴリ、降下理論に関するノートarXiv :math.AG/0412512
• Mattieu Romagny、代数スタックへの直行

• 降下理論とは何ですか?