共範疇的用語

論理学および言語学において、ある式が共範疇的であるとは、その式自体には指示対象が存在しないが、それを含むより大きな式の指示対象に影響を与えることができる場合をいう。共範疇的式は、それ自体に指示対象を持つ範疇的式とは対照的である。

例えば、プラス記号の解釈に関する以下の規則を考えてみましょう。最初の規則は、プラス記号を含む式には解釈を与えますが、プラス記号自体には解釈を与えないため、同期カテゴリ的規則です。一方、2番目の規則はプラス記号自体にも解釈を与えるため、カテゴリ的規則です。

1. 同期カテゴリ的: 任意の数字記号「${\displaystyle n}$" そして "${\displaystyle m}$「、表現${\displaystyle n+m}$「 」は「 」で表される数の合計を表します。${\displaystyle n}$" そして "${\displaystyle m}$「。
2. カテゴリー的: プラス記号「${\displaystyle +}$「」は加算演算を表します。

共範疇性は中世哲学の研究テーマであった。なぜなら、共範疇的表現は命題を形成する役割を担っているにもかかわらず、アリストテレスの範疇のいずれをも表すことができないからである。中世の論理学者や文法学者は、量化子と論理結合子は必然的に共範疇的であると考えていた。現代の形式意味論の研究では、一般化された量化子を表すこれらの表現に対して範疇的定義を与えることができることが示されているが、共範疇性が自然言語において何らかの役割を果たしているかどうかは未解決の問題である。範疇的定義と共範疇的定義はどちらも現代の論理学や数学で一般的に使用されている。^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ]}

カテゴリー語と共カテゴリー語の区別は、古代ギリシア語の文法で確立されました。自己完結的な実体（名詞や形容詞など）を表す語はカテゴリー語と呼ばれ、それ自体では意味を持たない語は共カテゴリー語（前置詞、論理的接続詞など）と呼ばれました。プリスキアヌスは『文法学概論』^{[ 5 ]}でこの語をconsignificantiaと訳しています。スコラ学派はこの区別を保持し、13世紀の論理学復興後には論文のテーマとなりました。用語主義の代表者であるウィリアム・オブ・シャーウッドは『 Syncategoremata』という論文を著しました。後に彼の弟子であるペトロ・デ・スペインも『 Syncategoreumata』という同様の著作を著しました。^{[ 6 ]}

現代の概念では、同期カテゴリレマティシティは形式的な特徴とみなされ、言語における表現の定義方法や導入方法によって決定されます。命題論理の標準的な意味論では、論理結合子は同期カテゴリレマティシティ的に扱われます。結合子を例にとってみましょう。${\displaystyle \land }$例えば、その意味規則は次のとおりです。

${\displaystyle \lVert \phi \land \psi \rVert =1}$もし${\displaystyle \lVert \phi \rVert =\lVert \psi \rVert =1}$

したがって、その意味は、2つの公式と組み合わさって現れる場合に定義される。${\displaystyle \phi }$そして${\displaystyle \psi }$単独では意味をなさない、つまり${\displaystyle \lVert \land \rVert }$定義されていません。

しかし、 λ抽象化を用いて同等の範疇論的解釈を与えることもできる。${\displaystyle (\lambda b.(\lambda vb(v)(b)))}$これは、ブール値の引数のペア、つまりTRUEまたはFALSEのいずれかである引数を期待します。${\displaystyle (\lambda x.(\lambda yx))}$そして${\displaystyle (\lambda x.(\lambda yy))}$それぞれ。これは型の式です${\displaystyle \langle \langle t,t\rangle ,t\rangle }$したがって、その意味は、真理値型のエンティティのペアから真理値型のエンティティへの二項関数です。この定義の下では、それは非同期カテゴリ的、またはカテゴリ的になります。この定義は形式的には${\displaystyle \land }$機能には、以下の使用が必要です。${\displaystyle \lambda }$-抽象化の場合、${\displaystyle \lambda }$それ自体は同期カテゴリー的に導入されるため、単に問題を別の抽象レベルに引き上げるだけである。

• 構成性
• 一般化量化子
• ジョン・ペイガス
• ラムダ計算
• 論理結合子
• 仮説理論
• シャーウッドのウィリアム

• グラント、エドワード、『中世における神と理性』、ケンブリッジ大学出版局（2001年7月30日）、ISBN 978-0-521-00337-7。