ド・ブランジュの定理

複素解析学において、ド・ブランジュの定理、またはビーベルバッハ予想は、複素平面の開単位円を複素平面に単射的に写像するために正則関数に必要な条件を与える定理である。これはルートヴィヒ・ビーベルバッハ (1916)によって提起され、最終的にルイ・ド・ブランジュ (1985) によって証明された。

このステートメントは、単葉関数、つまり単位円板を複素平面に写像する 1 対 1 の正則関数のテイラー係数 に関するもので、および となるように常に正規化されています。つまり、開単位円板上で定義され、正則かつ 単射 (単葉) で、テイラー級数が次の形式である 関数を考えます。${\displaystyle a_{n}}$${\displaystyle a_{0}=0}$${\displaystyle a_{1}=1}$

${\displaystyle f(z)=z+\sum _{n\geq 2}a_{n}z^{n}.}$

このような関数はシュリヒトと呼ばれる。定理は次のように述べている。

${\displaystyle |a_{n}|\leq n\quad {\text{すべてのnに対して}\geq 2.}$

Koebe関数(下記参照) は、すべての に対してとなる関数であり、schlicht であるため、番目の係数の絶対値に対してより厳密な制限を見つけることはできません。 ${\displaystyle a_{n}=n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$

正規化

${\displaystyle a_{0}=0\ {\text{and}}\ a_{1}=1}$

つまり

${\displaystyle f(0)=0\ {\text{and}}\ f'(0)=1.}$

これは常にアフィン変換によって得ることができる。つまり、任意の単射正則関数を開単位円上に定義し、 ${\displaystyle g}$

${\displaystyle f(z)={\frac {g(z)-g(0)}{g'(0)}}.}$

このような関数はリーマン写像定理に現れるため興味深いものです 。 ${\displaystyle g}$

シュリヒト関数は、1対1でかつを満たす解析関数として定義されます。シュリヒト関数の族は、回転ケーベ関数です。${\displaystyle f}$${\displaystyle f(0)=0}$${\displaystyle f'(0)=1}$

${\displaystyle f_{\alpha }(z)={\frac {z}{(1-\alpha z)^{2}}}=\sum _{n=1}^{\infty }n\alpha ^ {n-1}z^{n}}$

絶対値の複素数を持つ。 がシュリヒト関数であり、ある に対して は回転 Koebe 関数である。 ${\displaystyle \alpha}$ ${\displaystyle 1}$${\displaystyle f}$${\displaystyle |a_{n}|=n}$${\displaystyle n\geq 2}$${\displaystyle f}$

ド・ブランジュの定理の条件は、関数がschlichtであることを示すのに十分ではない。関数

${\displaystyle f(z)=z+z^{2}=(z+1/2)^{2}-1/4}$

は、単位円上で正則であり、すべての に対して を満たしますが、 であるため単射ではありません 。 ${\displaystyle |a_{n}|\leq n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle f(-1/2+z)=f(-1/2-z)}$

歴史の概要はKoepf (2007)によって示されています。

Bieberbach (1916) は を証明し、 という予想を述べた。Löwner (1917) と Nevanlinna (1921) は独立に星状関数に対する予想を証明した。その後Charles Loewner (Löwner (1923)) は、 Löwner 方程式を用いて を証明した。彼の研究はその後のほとんどの試みで利用され、 Schramm–Loewner 進化論にも応用されている。 ${\displaystyle |a_{2}|\leq 2}$${\displaystyle |a_{n}|\leq n}$${\displaystyle |a_{3}|\leq 3}$

Littlewood (1925、定理 20) は、すべての に対して であることを証明し、ビーバーバッハの予想が の因数まで成り立つことを示しました。後に数人の著者が不等式の定数を 以下に簡約しました。 ${\displaystyle |a_{n}|\leq en}$${\displaystyle n}$${\displaystyle e=2.718\ldots }$${\displaystyle e}$

がシュリヒト関数である場合、 は奇シュリヒト関数です。Paley とLittlewood  (1932) は、 のテイラー係数がすべての に対して を満たすことを示し、ビーベルバッハ予想の自然な一般化としてを に置き換えることができると予想しました。リトルウッド–ペイリー予想は、コーシー不等式を使用してビーベルバッハ予想を容易に導きますが、すぐにフェケテとセゲ (1933) によって反証され、 となる奇シュリヒト関数が存在し、これが の可能な最大値であることが示されました。後にイサク・ミリンはを に置き換えることができることを示しました。またヘイマンは、 がケーベ関数 ( の場合、 はすべて)でない場合、数がより小さい極限を持つことを示しました。したがって、極限は常に より小さいか等しく、リトルウッドとペイリーの予想は有限個の係数を除いてすべてに当てはまることを意味します。リトルウッドとペイリーの予想のより弱い形はロバートソン (1936) によって発見されました。 ${\displaystyle f(z)=z+\cdots }$${\displaystyle \varphi (z)=z(f(z^{2})/z^{2})^{1/2}}$${\displaystyle b_{k}\leq 14}$${\displaystyle k}$${\displaystyle 14}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle b_{5}=1/2+\exp(-2/3)=1.013\ldots }$${\displaystyle b_{5}}$${\displaystyle 14}$${\displaystyle 1.14}$${\displaystyle b_{k}}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle f}$${\displaystyle b_{2k+1}}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle 1}$

ロバートソン予想によれば、

${\displaystyle \phi (z)=b_{1}z+b_{3}z^{3}+b_{5}z^{5}+\cdots }$

は単位円上の奇シュリヒト関数であり、すべての正の整数に対して、 ${\displaystyle b_{1}=1}$${\displaystyle n}$

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}|b_{2k+1}|^{2}\leq n.}$

ロバートソンは、彼の予想がまだビーベルバッハ予想を示唆するのに十分強力であることに注目し、 についてそれを証明しました。この予想は、係数自体ではなく係数のさまざまな二次関数を境界付けるという重要なアイデアを導入しました。これは、シュリヒト関数の特定のヒルベルト空間の要素のノルムを境界付けることに相当します。 ${\displaystyle n=3}$

の特定のより高い値に対するビーバーバッハ予想の証明は複数ありましたが、特に Garabedian & Schiffer (1955) は を証明し、Ozawa (1969) と Pederson (1968) は を証明し、Pederson & Schiffer (1972) は を証明しました。 ${\displaystyle n}$${\displaystyle |a_{4}|\leq 4}$${\displaystyle |a_{6}|\leq 6}$${\displaystyle |a_{5}|\leq 5}$

ヘイマン (1955) は、 の極限が存在し、 がケーベ関数でない限り の絶対値が より小さいことを証明しました。特に、これは任意の に対して、ビーベルバッハ予想に対する例外が最大でも有限個存在できることを示しました。 ${\displaystyle a_{n}/n}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$

ミリン予想は、単位円上の各シュリヒト関数とすべての正の整数に対して、 ${\displaystyle n}$

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}(n-k+1)(k|\gamma _{k}|^{2}-1/k)\leq 0}$

ここでの対数係数は 次のように与えられる。 ${\displaystyle \gamma _{n}}$${\displaystyle f}$

${\displaystyle \log(f(z)/z)=2\sum _{n=1}^{\infty }\gamma _{n}z^{n}.}$

ミラン (1977) は、レベデフ・ミラン不等式を用いて、ミラン予想 (後にド・ブランジュによって証明された) がロバートソン予想を、そしてビーベルバッハ予想を意味することを示した。

最終的にde Branges (1987)はすべての に対して を証明しました。 ${\displaystyle |a_{n}|\leq n}$${\displaystyle n}$

証明には、整関数のヒルベルト空間の一種が用いられる。これらの空間の研究は複素解析のサブ分野にまで発展し、これらの空間はド・ブランジュ空間と呼ばれるようになった。ド・ブランジュは、対数係数に関するより強いミラン予想 (Milin 1977) を証明した。これは、奇単葉関数に関するロバートソン予想 (Robertson 1936) を意味することが既に知られており、ロバートソン予想は、シュリヒト関数に関するビーベルバッハ予想 (Bieberbach 1916) を意味することが知られていた。彼の証明には、ローヴナー方程式、ヤコビ多項式に関するアスケイ・ガスパー不等式、および指数級数に関する レベデフ・ミラン不等式が用いられる。

ド・ブランジュは、この予想をヤコビ多項式のいくつかの不等式に簡約し、最初のいくつかを手作業で検証した。ウォルター・ガウチは、ド・ブランジュのために、これらの不等式をさらにコンピュータで検証し（最初の30個ほどの係数についてビーベルバッハ予想を証明）、次にリチャード・アスキーに同様の不等式を知っているかどうか尋ねた。アスキーは、必要な不等式は8年前にアスキーとガスパー（1976）が証明しており、そのおかげでド・ブランジュは証明を完了できたと指摘した。最初のバージョンは非常に長く、いくつかの小さな間違いがあったため懐疑的な見方もあったが、1984年にド・ブランジュが訪れた際に、レニングラード幾何関数論セミナー（ステクロフ数学研究所レニングラード部門）のメンバーの協力を得て修正された。

ド・ブランジュは、ミラン予想（したがってビーベルバッハ予想）を意味する次の結果を証明した。 と が、極限と を満たす 正の整数の実数であると仮定し、${\displaystyle \nu =0}$${\displaystyle \nu >-3/2}$${\displaystyle \sigma _{n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle 0}$

${\displaystyle \rho _{n}={\frac {\Gamma (2\nu +n+1)}{\Gamma (n+1)}}(\sigma _{n}-\sigma _{n+1})}$

は非負、非増加であり、極限 を持つ。すると、単位円板上で一価な すべてのリーマン写像関数に対して、${\displaystyle 0}$${\displaystyle F(z)=z+\cdots }$

${\displaystyle {\frac {F(z)^{\nu }-z^{\nu }}{\nu }}=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}z^{\nu +n}}$

最大値

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }(\nu +n)\sigma _{n}|a_{n}|^{2}}$

Koebe関数によって実現されます。 ${\displaystyle z/(1-z)^{2}}$

証明の簡略版は 1985 年に Carl FitzGerald とChristian Pommerenkeによって出版され(FitzGerald & Pommerenke (1985))、さらに短い説明はJacob Korevaarによって出版されました(Korevaar (1986))。

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