ローナー微分方程式

数学において、レーヴナー微分方程式（レーヴナーきょうりつほうてい、英: Loewner Differential equation ）は、 1923 年にチャールズ レーヴナーが複素解析学と幾何関数論の分野で発見した常微分方程式である。もともとスリット写像（0 と ∞ を結ぶ曲線を除いた複素平面への開円板の等角写像）の研究のために導入されたレーヴナー法は、後に 1943 年にロシアの数学者パベル パルフェネヴィチ クファレフ（Pavel Parfenevich Kufarev、1909 年 - 1968 年）によって発展させられた。複素平面内の、カラテオドリーの意味で平面全体へ連続的に拡大する任意の領域の族は、レーヴナー連鎖と呼ばれる 1 パラメータの等角写像族と、レーヴナー半群と呼ばれる単位円板の2 パラメータの正則一価自己写像族につながる。この半群は、円板上の時間依存の正則ベクトル場に対応し、これは正の実部を持つ円板上の 1 パラメータの正則関数族によって与えられる。ローナー半群は、単葉半群の概念を一般化します。

ローナー微分方程式は、1985年にルイ・ド・ブランジュがビーベルバッハ予想を解く際に重要な役割を果たした単葉関数の不等式につながった。ローナー自身も1923年にこの手法を使って第3係数の予想を証明した。1990年代後半にオデッド・シュラムが発見したローナー微分方程式の確率論的一般化であるシュラム・ローナー方程式は、確率論と共形場理論で広く発展してきた。

およびを単位円、上の正則一価関数とし、 とする。 ${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$ ${\displaystyle D}$${\displaystyle |z|<1}$${\displaystyle f(0)=0=g(0)}$

${\displaystyle f}$が従属的であるとは、その写像がそれ自身に一価写像され、 ${\displaystyle g}$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle D}$${\displaystyle 0}$

${\displaystyle \displaystyle {f(z)=g(\varphi (z))}}$

のために。 ${\displaystyle |z|<1}$

このようなマッピングが存在するための必要かつ十分な条件は、 ${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle f(D)\subseteq g(D).}$

必要性は即時です。

逆に定義する必要がある ${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle \displaystyle {\varphi (z)=g^{-1}(f(z)).}}$

定義により、φは の単価正則自己写像です。 ${\displaystyle D}$${\displaystyle \varphi (0)=0}$

このような写像は、各円板 をで満たし、をそれ自身に取り込むので、 ${\displaystyle 0<|\varphi '(0)|\leq 1}$${\displaystyle D_{r}}$${\displaystyle |z|<r}$${\displaystyle 0<r<1}$

${\displaystyle \displaystyle {|f^{\prime }(0)|\leq |g^{\prime }(0)|}}$

そして

${\displaystyle \displaystyle {f(D_{r})\subseteq g(D_{r}).}}$

をを含むの開連結かつ単連結な部分集合の族とし、 ${\displaystyle 0\leq t\leq \infty }$${\displaystyle U(t)}$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle 0}$

${\displaystyle U(s)\subsetneq U(t)}$

もし、 ${\displaystyle s<t}$

${\displaystyle U(t)=\bigcup _{s<t}U(s)}$

そして

${\displaystyle U(\infty )=\mathbb {C} .}$

したがって、 ${\displaystyle s_{n}\uparrow t}$

${\displaystyle U(s_{n})\rightarrow U(t)}$

カラテオドリ核定理の意味で。

が の単位円を表す場合、この定理は、一意の単葉写像${\displaystyle D}$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle f_{t}(z)}$

${\displaystyle f_{t}(D)=U(t),\,\,\,f_{t}(0)=0,\,\,\,\partial _{z}f_{t}(0)=1}$

リーマン写像定理によって与えられたものは、のコンパクト部分集合上で一様連続である。 ${\displaystyle [0,\infty )\times D}$

さらに、この関数は正、連続、厳密に増加、かつ連続です。 ${\displaystyle a(t)=f_{t}^{\prime }(0)}$

再パラメータ化により、

${\displaystyle f_{t}^{\prime }(0)=e^{t}.}$

したがって

${\displaystyle f_{t}(z)=e^{t}z+a_{2}(t)z^{2}+\cdots }$

一価写像はLoewner連鎖と呼ばれます。 ${\displaystyle f_{t}(z)}$

ケーベの歪み定理は、連鎖の知識が開集合の特性と同等であることを示しています。 ${\displaystyle U(t)}$

がLoewner連鎖である 場合、${\displaystyle f_{t}(z)}$

${\displaystyle \displaystyle {f_{s}(D)\subsetneq f_{t}(D)}}$

円板固定の一意な一価自己写像が存在し、 ${\displaystyle s<t}$${\displaystyle \varphi _{s,t}(z)}$${\displaystyle 0}$

${\displaystyle \displaystyle {f_{s}(z)=f_{t}(\varphi _{s,t}(z)).}}$

一意性により、マッピングは次の半群プロパティを持ちます。 ${\displaystyle \varphi _{s,t}}$

${\displaystyle \displaystyle {\varphi _{t,r}\circ \varphi _{s,t}=\varphi _{s,r}}}$

のために。 ${\displaystyle s\leq t\leq r}$

それらはLoewner 半群を構成します。

自己写像は連続的におよびに依存し、 ${\displaystyle s}$${\displaystyle t}$

${\displaystyle \displaystyle {\varphi _{t,t}(z)=z.}}$

ローナー微分方程式は、ローナー半群に対しても、同等にローナー鎖に対しても導出できます。

半群については、

${\displaystyle \displaystyle {w_{s}(z)=\partial _{t}\varphi _{s,t}(z)|_{t=s}}}$

それから

${\displaystyle \displaystyle {w_{s}(z)=-zp_{s}(z)}}$

と

${\displaystyle \displaystyle {\Re \,p_{s}(z)>0}}$

のために。 ${\displaystyle |z|<1}$

すると常微分方程式を満たす${\displaystyle w(t)=\varphi _{s,t}(z)}$

${\displaystyle \displaystyle {{dw \over dt}=-wp_{t}(w)}}$

初期条件は です。 ${\displaystyle w(s)=z}$

ローナー連鎖が満たす微分方程式を得るには、次のことに注意する。 ${\displaystyle f_{t}(z)}$

${\displaystyle \displaystyle {f_{t}(z)=f_{s}(\varphi _{s,t}(z))}}$

微分方程式を 満たす${\displaystyle f_{t}(z)}$

${\displaystyle \displaystyle {\partial _{t}f_{t}(z)=zp_{t}(z)\partial _{z}f_{t}(z)}}$

初期条件付き

${\displaystyle \displaystyle {f_{t}(z)|_{t=0}=f_{0}(z).}}$

常微分方程式のピカール・リンデレーフの定理は、これらの方程式が解けることと、その解が において正則であることを保証します。 ${\displaystyle z}$

Loewner 連鎖は、Loewner 半群から極限まで渡すことで復元できます。

${\displaystyle \displaystyle {f_{s}(z)=\lim _{t\rightarrow \infty }e^{t}\phi _{s,t}(z).}}$

最後に、の任意の一価自己写像が与えられ、 を固定すると、次のようなロウナー半群を構成することが可能である 。 ${\displaystyle \psi (z)}$${\displaystyle D}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle \varphi _{s,t}(z)}$

${\displaystyle \displaystyle {\varphi _{0,1}(z)=\psi (z).}}$

同様に、上の単葉関数で、 が閉単位円板を含むものを考えると、次のような ロウナー連鎖が存在する。${\displaystyle g}$${\displaystyle D}$${\displaystyle g(0)=0}$${\displaystyle g(D)}$${\displaystyle f_{t}(z)}$

${\displaystyle \displaystyle {f_{0}(z)=z,\,\,\,f_{1}(z)=g(z).}}$

このタイプの結果は、 または がまで連続的に拡張される場合、即時に得られます。一般に、マッピングを近似に置き換えてから 、標準的なコンパクト性の議論を使用することで得られます。^[1]${\displaystyle \psi }$${\displaystyle g}$${\displaystyle \partial D}$${\displaystyle f(z)}$${\displaystyle f(rz)/r}$

実部が正で正規化された上の正則関数は、ヘルグロッツの表現定理によって記述されます 。 ${\displaystyle p(z)}$${\displaystyle D}$${\displaystyle p(0)=1}$

${\displaystyle \displaystyle {p(z)=\int _{0}^{2\pi }{1+e^{-i\theta }z \over 1-e^{-i\theta }z}\,d\mu (\theta ),}}$

ここで、円上の確率測度である。点測度を取ると関数が特定される。 ${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle \displaystyle {p_{t}(z)={1+\kappa (t)z \over 1-\kappa (t)z}}}$

これらはLoewner (1923)によって最初に検討されたものである。 ${\displaystyle |\kappa (t)|=1}$

単位円板上の一価関数の不等式は、スリット写像のコンパクト部分集合上の一様収束の密度を使って証明できる。これらは、有限点を∞に接続するジョルダン弧を省略した複素平面上への単位円板の等角写像である。密度はカラテオドリ核定理を適用することで得られる。実際、任意の一価関数は次の関数で近似される。 ${\displaystyle f(z)}$

${\displaystyle \displaystyle {g(z)=f(rz)/r}}$

は単位円を解析曲線上に写す。その曲線上の点は、ジョルダン弧によって無限大に接続できる。解析曲線の選択された点の片側への小さな線分を省略することによって得られる領域は に収束するため、これらの領域への の対応する一価写像はコンパクト集合上で一様に に収束する。^[2]${\displaystyle g(D)}$${\displaystyle D}$${\displaystyle g}$

ロウナー微分方程式をスリット関数に適用するには、有限点からへの省略されたジョルダン弧をでパラメータ化して、から への写像の一価写像が次の 形式になる ようにすることができる。${\displaystyle f}$${\displaystyle c(t)}$${\displaystyle \infty }$${\displaystyle [0,\infty )}$${\displaystyle f_{t}}$${\displaystyle D}$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle c([t,\infty ))}$

${\displaystyle \displaystyle {f_{t}(z)=e^{t}(z+b_{2}(t)z^{2}+b_{3}(t)z^{3}+\cdots )}}$

継続的。特に ${\displaystyle b_{n}}$

${\displaystyle \displaystyle {f_{0}(z)=f(z).}}$

については、 ${\displaystyle s\leq t}$

${\displaystyle \displaystyle {\varphi _{s,t}(z)=f_{t}^{-1}\circ f_{s}(z)=e^{s-t}(z+a_{2}(s,t)z^{2}+a_{3}(s,t)z^{3}+\cdots )}}$

継続して。 ${\displaystyle a_{n}}$

これにより、Loewner連鎖とLoewner半群が得られる。

${\displaystyle \displaystyle {p_{t}(z)={1+\kappa (t)z \over 1-\kappa (t)z}}}$

ここで はから単位円への連続写像である。 ^[3]${\displaystyle \kappa }$${\displaystyle [0,\infty )}$

を決定するには、が単位円を、内部の点から境界までのジョルダン弧を削除した単位円にマッピングすることに注目してください。境界に接する点は から独立しており、から 単位円までの連続関数を定義します。は の複素共役（または逆）です。 ${\displaystyle \kappa }$${\displaystyle \varphi _{s,t}}$${\displaystyle s}$${\displaystyle \lambda (t)}$${\displaystyle [0,\infty )}$${\displaystyle \kappa (t)}$${\displaystyle \lambda (t)}$

${\displaystyle \displaystyle {\kappa (t)=\lambda (t)^{-1}.}}$

同様に、カラテオドリの定理 により、閉単位円への連続拡張が認められ、 駆動関数と呼ばれることもある は、次のように指定される。 ${\displaystyle f_{t}}$${\displaystyle \lambda (t)}$

${\displaystyle \displaystyle {f_{t}(\lambda (t))=c(t).}}$

すべての連続関数がスリット写像から得られるわけではありませんが、Kufarev は、 が連続導関数を持つ場合にこれが当てはまることを示しました。 ${\displaystyle \kappa }$${\displaystyle \kappa }$

ローナー（1923）はスリット写像の微分方程式を用いてビーベルバッハ予想を証明した。

${\displaystyle \displaystyle {|a_{3}|\leq 3}}$

一価関数の3番目の係数

${\displaystyle \displaystyle {f(z)=z+a_{2}z^{2}+a_{3}z^{3}+\cdots }}$

この場合、必要に応じて回転すると、が負でないと想定できます。 ${\displaystyle a_{3}}$

それから

${\displaystyle \displaystyle {\varphi _{0,t}(z)=e^{-t}(z+a_{2}(t)z^{2}+a_{3}(t)z^{3}+\cdots )}}$

連続的に。それらは満たす ${\displaystyle a_{n}}$

${\displaystyle \displaystyle {a_{n}(0)=0,\,\,a_{n}(\infty )=a_{n}.}}$

もし

${\displaystyle \displaystyle {\alpha (t)=e^{-t}\kappa (t),}}$

ローナー微分方程式は

${\displaystyle \displaystyle {{\dot {a}}_{2}=-2\alpha }}$

そして

${\displaystyle \displaystyle {{\dot {a}}_{3}=-2\alpha ^{2}-4\alpha \,a_{2}.}}$

それで

${\displaystyle \displaystyle {a_{2}=-2\int _{0}^{\infty }\alpha (t)\,dt}}$

これは直ちにビーベルバッハの不等式を意味する。

${\displaystyle \displaystyle {|a_{2}|\leq 2.}}$

同様に

${\displaystyle \displaystyle {a_{3}=-2\int _{0}^{\infty }\alpha (t)^{2}\,dt+4\left(\int _{0}^{\infty }\alpha (t)\,dt\right)^{2}}}$

は非負であり、なので、 ${\displaystyle a_{3}}$${\displaystyle |\kappa (t)|=1}$

${\displaystyle \displaystyle {|a_{3}|=2\int _{0}^{\infty }|\Re \alpha (t)^{2}|\,dt+4\left(\int _{0}^{\infty }\Re \alpha (t)\,dt\right)^{2}}\leq 2\int _{0}^{\infty }|\Re \alpha (t)^{2}|\,dt+4\left(\int _{0}^{\infty }e^{-t}\,dt\right)\left(\int _{0}^{\infty }e^{t}(\Re \alpha (t))^{2}\,dt\right)=1+4\int _{0}^{\infty }(e^{-t}-e^{-2t})(\Re \kappa (t))^{2}\,dt\leq 3,}$

コーシー・シュワルツの不等式を使用します。

• ローエナジー

• Duren, PL (1983)、Univalent Functions、Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften、vol. 259、シュプリンガー・フェルラーク、ISBN 0-387-90795-5
• Kufarev, PP (1943)、「解析関数の1パラメータ族について」、Mat. Sbornik、13 : 87–118
• Lawler, GF (2005)、「平面における共形不変過程」、数学調査とモノグラフ、第114巻、アメリカ数学会、ISBN 0-8218-3677-3
• Loewner、C. (1923)、「Untersuchungen über schlichte konforme Abbildungen des Einheitskreises、I」、Math。アン。、89 : 103–121、土井:10.1007/BF01448091
• Pommerenke, C. (1975)、Gerd Jensen による二次微分に関する章を含む Univalent Functions、Studia Mathematica/Mathematische Lehrbücher、vol. 15、ヴァンデンフック＆ルプレヒト