デ・ブランジュスペース

数学において、ド・ブランジュ空間（ド・ブランジュ空間と書かれることもある）は関数解析の概念であり、ド・ブランジュ関数から構築されます。

この概念は、これらの空間、特にヒルベルト空間に関する数多くの結果を証明し、その結果を使ってビーベルバッハ予想を証明したルイ・ド・ブランジュにちなんで名付けられました。

エルミート-ビーラー関数は、ド・ブランジュ関数とも呼ばれ、複素平面の上半分のすべてのzに対して不等式 を満たす、からまでの整関数 Eです。 ${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle |E(z)|>|E({\bar {z}})|}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{+}=\{z\in \mathbb {C} \mid \operatorname {Im} (z)>0\}}$

エルミート-ビーラー関数Eが与えられたとき、ド・ブランジュ空間B ( E )は、次の式を満たす すべての完全関数 Fの集合として定義されます 。 $${\displaystyle F/E,F^{\#}/E\in H_{2}(\mathbb {C} ^{+})}$$

• ${\displaystyle \mathbb {C} ^{+}=\{z\in \mathbb {C} \mid \operatorname {Im} (z)>0\}}$複素平面の上半分が開いた部分です。
• ${\displaystyle F^{\#}(z)={\overline {F({\bar {z}})}}}$。
• ${\displaystyle H_{2}(\mathbb {C} ^{+})}$開いた上半平面上の通常のハーディ空間です。

ド・ブランジュ空間は、以下の条件をすべて満たす すべての整関数Fとして定義することもできます。

• ${\displaystyle \int _{\mathbb {R} }|(F/E)(\lambda )|^{2}d\lambda <\infty }$
• ${\displaystyle |(F/E)(z)|,|(F^{\#}/E)(z)|\leq C_{F}(\operatorname {Im} (z))^{(-1/2)},\forall z\in \mathbb {C} ^{+}}$

演算子理論に役立つ公理的な記述も存在します。

ド・ブランジュ空間B ( E )が与えられます。スカラー積を定義します。 $${\displaystyle [F,G]={\frac {1}{\pi }}\int _{\mathbb {R} }{\overline {F(\lambda )}}G(\lambda ){\frac {d\lambda }{|E(\lambda )|^{2}}}.}$$

このようなスカラー積を持つド・ブランジュ空間はヒルベルト空間であることが証明できます。

• Christian Remling (2003). 「1次元シュレディンガー演算子の逆スペクトル理論：A関数」. Math. Z. 245 ( 3): 597–617. doi :10.1007/s00209-003-0559-2.