ピクセル接続

画像処理において、ピクセルの接続性とは、2 次元画像 (またはn 次元画像のハイパーボクセル) 内のピクセルが隣接するピクセルとどのように関係しているかを指します。

接続のセットを指定するには、次元Nと近傍の幅nを指定する必要があります。近傍の次元はどの次元でも有効です。共通の幅は 3 で、これは各次元に沿って、中央のセルがすべての次元で両側の 1 つのセルに隣接することを意味します。 ${\displaystyle n\geq 1}$

各次元のサイズが${\displaystyle M_{N}^{n}}$${\displaystyle n=2k+1,k\in \mathbb {Z} }$

を中心構造要素から境界上の点への第1直交座標上の離散ベクトルとします。これは、各要素と少なくとも1つの成分が${\displaystyle {\vec {q}}}$${\displaystyle M_{N}^{n}}$${\displaystyle q_{i}\in \{0,1,...,k\},\forall i\in \{1,2,...,N\}}$${\displaystyle q_{i}=k}$

半径 のN 次元超球面を表します。 ${\displaystyle S_{N}^{d}}$${\displaystyle d=\left\Vert {\vec {q}}\right\Vert }$

近傍内の超球面上の要素の数をEと定義します。与えられた に対して、E はの順列の数にオルサントの数を掛けた ものに等しくなります。${\displaystyle S_{N}^{d}}$${\displaystyle M_{N}^{n}}$${\displaystyle {\vec {q}}}$${\displaystyle {\vec {q}}}$

値jを取るベクトルの要素の数を表すとします。${\displaystyle n_{j}}$${\displaystyle {\vec {q}}}$${\displaystyle n_{j}=\sum _{i=1}^{N}(q_{i}=j)}$

の順列の総数は多項式で表すことができる。${\displaystyle {\vec {q}}}$${\displaystyle {\frac {N!}{\prod _{j=0}^{k}n_{j}!}}}$

のいずれかの場合、ベクトルはオルトラント間で共有されます。このため、順列の乗数はからに調整する必要があります。${\displaystyle q_{i}=0}$${\displaystyle {\vec {q}}}$${\displaystyle 2^{N}}$${\displaystyle 2^{N-n_{0}}}$

順列の数に調整されたオルサント量を掛けると、

${\displaystyle E={\frac {N!}{\prod _{j=0}^{k}n_{j}!}}2^{N-n_{0}}}$

V を近傍内の超球面の内側の要素の数とします。Vは、超球面上の要素の数と内側の殻上のすべての要素の合計に等しくなります。殻は の昇順で順序付けられる必要があります。順序付けられたベクトルには、順序を表す係数pが割り当てられているとします。すべてのrが一意である場合、順序付けられたベクトルになります。したがって、V は次のように反復的に定義できます。 ${\displaystyle S_{N}^{d}}$${\displaystyle M_{N}^{n}}$${\displaystyle \left\Vert {\vec {q}}\right\Vert =r}$${\displaystyle {\vec {q}}}$${\displaystyle {\vec {q}}_{p},p\in \left\{1,2,...,\sum _{x=1}^{k}(x+1)\right\}}$

${\displaystyle V_{{\vec {q}}_{p}}=V_{{\vec {q}}_{p-1}}+E_{{\vec {q}}_{p}}, V_{{\vec {q}}_{0}}=0}$、

または

${\displaystyle V_{{\vec {q}}_{p}}=\sum _{x=1}^{p}E_{{\vec {q}}_{x}}}$

いずれかの の場合、両方のベクトルは同じpとみなされ、 各近傍には次に小さい近傍の値が加算される必要があることに注意してください。例: ${\displaystyle \left\Vert {\vec {q}}_{x}\right\Vert =\left\Vert {\vec {q}}_{y}\right\Vert }$$${\displaystyle V_{{\vec {q}}_{p}}=V_{{\vec {q}}_{p-1}}+E_{{\vec {q}}_{p,1} }+E_{{\vec {q}}_{p,2}},V_{{\vec {q}}_{0}}=0}$$${\displaystyle V_{{\vec {q}}=(0,2)}=V_{{\vec {q}}=(1,1)}+E_{{\vec {q}}=(0, 2)}}$

Vには中心のハイパーボクセルが含まれていますが、これは接続には含まれません。1を引くと近傍の接続性Gが得られます。

${\displaystyle G=V-1}$^[1]

解決方法を検討する${\displaystyle G|{\vec {q}}=(0,1,1)}$

このシナリオでは、ベクトルは3次元なので、が1つあります。同様に、が1つあります。近傍は であり、超球面は${\displaystyle N=3}$${\displaystyle n_{0}=1}$${\displaystyle q_{i}=0}$${\displaystyle n_{1}=2}$${\displaystyle k=1,n=3}$${\displaystyle \max q_{i}=1}$${\displaystyle d={\sqrt {0^{2}+1^{2}+1^{2}}}={\sqrt {2}}}$${\displaystyle M_{3}^{3}}$${\displaystyle S_{3}^{\sqrt {2}}}$

${\displaystyle E={\frac {3!}{1!*2!*0!}}2^{3-1}={\frac {6}{2}}4=12}$

近傍の基本ベクトルはです。私たちのベクトルと基本ベクトルの間のマンハッタン距離は なので、です。したがって、 ${\displaystyle {\vec {q}}}$${\displaystyle N_{3}^{3}}$${\displaystyle {\vec {q}}_{1}=(0,0,0)}$${\displaystyle \left\Vert {\vec {q}}-{\vec {q}}_{0}\right\Vert _{1}=2}$${\displaystyle {\vec {q}}={\vec {q}}_{3}}$

${\displaystyle G_{{\vec {q}}_{3}}=V_{{\vec {q}}_{3}}-1=E_{{\vec {q}}_{1}}+ E_{{\vec {q}}_{2}}+E_{{\vec {q}}_{3}}-1=E_{{\vec {q}}=(0,0,0)}+E_{{\vec {q}}=(0,0,1)}+E_{{\vec {q}}=(0,1,1) }}$

${\displaystyle E_{{\vec {q}}=(0,0,0)}={\frac {3!}{3!*0!*0!}}2^{3-3}={\フラク{6}{6}}1=1}$

${\displaystyle E_{{\vec {q}}=(0,0,1)}={\frac {3!}{2!*1!}}2^{3-2}={\frac {6}{2}}2=6}$

${\displaystyle G=1+6+12-1=18}$

提供されたテーブルと一致する

すべてが一意であるという仮定は、k と N の値がより大きい場合には成り立ちません。ベクトル 、 を考えてみましょう。は に位置しますが、 の値は ですが、はより小さい空間にありますが、 と同等の値を持ちます。ただし、の最小ベクトルよりもの値が高くなります。 ${\displaystyle \left\Vert {\vec {q}}_{p}\right\Vert =r}$${\displaystyle N=2,k=5}$${\displaystyle {\vec {q}}_{A}=(0,5),{\vec {q}}_{B}=(3,4)}$${\displaystyle {\vec {q}}_{A}}$${\displaystyle M_{2}^{5}}$${\displaystyle r=25}$${\displaystyle {\vec {q}}_{B}}$${\displaystyle M_{2}^{4}}$${\displaystyle r=25}$${\displaystyle {\vec {q}}_{C}=(4,4)\in M_{2}^{4}}$${\displaystyle r=32}$${\displaystyle M_{2}^{5}}$

この仮定が成り立つためには、${\displaystyle {\begin{cases}N=2,k\leq 4\\N=3,k\leq 2\\N=4,k\leq 1\end{cases}}}$

kとNの値が大きくなると、 dの値は曖昧になります。つまり、特定のdの指定が複数の を参照する可能性があります。 ${\displaystyle {\vec {q}}_{p}\in M_{n}^{N}}$

4連結ピクセルは、その辺に接するすべてのピクセルと隣接しています。これらのピクセルは水平方向と垂直方向に連結されています。ピクセル座標では、座標を持つすべてのピクセルは

${\displaystyle \textstyle (x\pm 1,y)}$または${\displaystyle \textstyle (x,y\pm 1)}$

は のピクセルに接続されます。 ${\displaystyle \textstyle (x,y)}$

6 接続ピクセルは、六角形グリッドまたはストレッチャー ボンド長方形グリッド内のいずれかのコーナーに接するすべてのピクセル (いずれかのエッジに接するピクセルを含む) に隣接します。

六角形のタイルを整数ピクセル座標にマッピングする方法はいくつかあります。 1 つの方法では、4 つの連結ピクセルに加えて、座標 と の 2 つのピクセルがのピクセルに接続されます。 ${\displaystyle \textstyle (x+1,y+1)}$${\displaystyle \textstyle (x-1,y-1)}$${\displaystyle \textstyle (x,y)}$

8 連結ピクセルは、その端または角に接するすべてのピクセルに隣接しています。これらのピクセルは、水平、垂直、および対角線で連結されています。4 連結ピクセルに加えて、座標を持つ各ピクセルは、 のピクセルに連結されています。 ${\displaystyle \textstyle (x\pm 1,y\pm 1)}$${\displaystyle \textstyle (x,y)}$

6 連結ピクセルは、その面の 1 つに接するすべてのピクセルと隣接しています。これらのピクセルは、主軸の 1 つに沿って連結されています。座標、、またはの各ピクセルは、 のピクセルと連結されています。 ${\displaystyle \textstyle (x\pm 1,y,z)}$${\displaystyle \textstyle (x,y\pm 1,z)}$${\displaystyle \textstyle (x,y,z\pm 1)}$${\displaystyle \textstyle (x,y,z)}$

18 連結ピクセルは、その面または辺に接するすべてのピクセルの隣接ピクセルです。これらのピクセルは、主軸の 1 つまたは 2 つに沿って連結されています。6 連結ピクセルに加えて、座標、、、、、の各ピクセルはのピクセルに連結されています。 ${\displaystyle \textstyle (x\pm 1,y\pm 1,z)}$${\displaystyle \textstyle (x\pm 1,y\mp 1,z)}$${\displaystyle \textstyle (x\pm 1,y,z\pm 1)}$${\displaystyle \textstyle (x\pm 1,y,z\mp 1)}$${\displaystyle \textstyle (x,y\pm 1,z\pm 1)}$${\displaystyle \textstyle (x,y\pm 1,z\mp 1)}$${\displaystyle \textstyle (x,y,z)}$

26 連結ピクセルは、面、辺、または角のいずれかに接するすべてのピクセルの隣接ピクセルです。これらのピクセルは、主軸の 1 つ、2 つ、または 3 つすべてに沿って連結されています。18 連結ピクセルに加えて、座標、、、またはの各ピクセルはのピクセルに連結されています。 ${\displaystyle \textstyle (x\pm 1,y\pm 1,z\pm 1)}$${\displaystyle \textstyle (x\pm 1,y\pm 1,z\mp 1)}$${\displaystyle \textstyle (x\pm 1,y\mp 1,z\pm 1)}$${\displaystyle \textstyle (x\mp 1,y\pm 1,z\pm 1)}$${\displaystyle \textstyle (x,y,z)}$

• グリッドセルトポロジ
• ムーア地区

• A. Rosenfeld、AC Kak (1982)、デジタル画像処理、Academic Press、Inc.、ISBN 0-12-597302-0
• Cheng, CC; Peng, GJ; Hwang, WL (2009)、「3-D ウェーブレット コーディングのためのピクセル接続によるサブバンド重み付け」、IEEE Transactions on Image Processing、18 (1): 52–62、Bibcode :2009ITIP... 18 ...52C、doi :10.1109/TIP.2008.2007067、PMID  19095518、2009-02-16取得
• Cheng, CC; Peng, GJ; Hwang, WL (2009)、「3-D ウェーブレット コーディングのためのピクセル接続によるサブバンド重み付け」、IEEE Transactions on Image Processing、18 (1): 52–62、Bibcode :2009ITIP... 18 ...52C、doi :10.1109/TIP.2008.2007067、PMID  19095518、2009-02-16取得