量子LC回路

LC 回路は、量子調和振動子と同じ方法を使用して量子化できます。LC回路は共振回路の一種で、文字 L で表されるインダクタと文字 C で表されるコンデンサで構成されます。これらを接続すると、回路の共振周波数で電流が交互に流れます。

${\displaystyle \omega ={\sqrt {1 \over LC}}}$

ここで、Lはヘンリー単位のインダクタンス、C はファラッド単位の静電容量です。角周波数の単位はラジアン/秒 です。コンデンサはプレート間の電界にエネルギーを蓄えます。これは次のように表すことができます。 ${\displaystyle \omega \,}$

${\displaystyle U_{C}={\frac {1}{2}}CV^{2}={\frac {Q^{2}}{2C}}}$

ここでQはコンデンサの正味電荷であり、次のように計算される。

${\displaystyle Q(t)=\int _{-\infty }^{t}I(\tau )d\tau }$

同様に、インダクタは電流に応じて磁場にエネルギーを蓄えます。これは次のように表すことができます。

${\displaystyle U_{L}={\frac {1}{2}}LI^{2}={\frac {\phi ^{2}}{2L}}}$

分岐フラックスは 次のように定義されます${\displaystyle \phi}$

${\displaystyle \phi (t)\equiv \int _{-\infty }^{t}V(\tau )d\tau }$

電荷と磁束は正準共役変数なので、正準量子化を用いて古典ハミルトニアンを量子形式で書き直すことができる。

${\displaystyle \phi \rightarrow {\hat {\phi }}}$

${\displaystyle q\rightarrow {\hat {q}}}$

${\displaystyle H\rightarrow {\hat {H}}={\frac {{\hat {\phi }}^{2}}{2L}}+{\frac {{\hat {q}}^{2}}{2C}}}$

そして、標準的な交換関係を強制する

${\displaystyle \left[{\hat {\phi }},{\hat {q}}\right]=i\hbar }$

1 次元の調和振動子の問題と同様に、LC 回路は、シュレーディンガー方程式を解くか、生成消滅演算子を使用することで量子化できます。インダクタに蓄えられたエネルギーは「運動エネルギー項」として考えることができ、コンデンサに蓄えられたエネルギーは「位置エネルギー項」として考えることができます。

このようなシステムのハミルトニアンは次のようになります。

${\displaystyle H={\frac {\phi ^{2}}{2L}}+{\frac {1}{2}}L\omega ^{2}Q^{2}}$

ここで、Qは電荷演算子、は磁束演算子です。最初の項はインダクタに蓄えられたエネルギーを表し、2番目の項はコンデンサに蓄えられたエネルギーを表します。エネルギーレベルとそれに対応するエネルギー固有状態を見つけるには、時間に依存しないシュレーディンガー方程式を解く必要があります。 ${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle H|\psi \rangle =E|\psi \rangle \ }$

${\displaystyle E\psi =-{\frac {\hbar ^{2}}{2L}}\nabla ^{2}\psi +{\frac {1}{2}}L\omega ^{2}Q^{2}\psi }$

LC 回路は実際には調和振動子の電気的類似物であるため、シュレーディンガー方程式を解くと、解の族 (エルミート多項式) が得られます。

${\displaystyle \left\langle Q|\psi _{n}\right\rangle ={\sqrt {\frac {1}{2^{n}\,n!}}}\cdot \left({\frac {L\omega }{\pi \hbar }}\right)^{1/4}\cdot \exp \left(-{\frac {L\omega Q^{2}}{2\hbar }}\right)\cdot H_{n}\left({\sqrt {\frac {L\omega }{\hbar }}}Q\right)}$

${\displaystyle n=0,1,2,\ldots }$

磁束を共役変数として使用すると、完全に同等の解が見つかります。共役「運動量」は、静電容量と磁束の時間微分を掛け合わせたものに等しくなります。共役「運動量」は実際には電荷です。

${\displaystyle \pi =C{\frac {d\phi }{dt}}}$

キルヒホッフの接合則を使用すると、次の関係が得られます。

${\displaystyle C{\frac {dV}{dt}}+{\frac {1}{L}}\int _{0}^{t}V\,dt\,=0}$

なので、上記の式は次のように書くことができます。 ${\displaystyle V={\frac {d\phi }{dt}}}$

${\displaystyle C{\frac {d^{2}\phi }{dt^{2}}}+{\frac {1}{L}}\phi \,=0}$

これをハミルトニアンに変換すると、次のようなシュレーディンガー方程式を展開できます。

${\displaystyle i\hbar {\frac {d\psi }{dt}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2C}}\nabla ^{2}\psi +{\frac {\phi ^{2}}{2L}}\psi }$ここで磁束の関数である${\displaystyle \psi }$

誘導結合された 2 つの LC 回路の相互インダクタンスはゼロではありません。これは、運動結合項を持つ 1 組の調和振動子と同等です。

誘導結合された LC 回路のラグランジアンは次のとおりです。

${\displaystyle L={\frac {1}{2}}L_{1}{\frac {dQ_{1}}{dt}}^{2}+{\frac {1}{2}}L_{2}{\frac {dQ_{2}}{dt}}^{2}+m{\frac {dQ_{1}}{dt}}{\frac {dQ_{2}}{dt}}-{\frac {Q_{1}^{2}}{2C_{1}}}-{\frac {Q_{2}^{2}}{2C_{2}}}}$

通常どおり、ハミルトニアンはラグランジアンに対するルジャンドル変換によって得られます。

${\displaystyle H={\frac {1}{2}}L_{1}{\frac {dQ_{1}}{dt}}^{2}+{\frac {1}{2}}L_{2}{\frac {dQ_{2}}{dt}}^{2}+m{\frac {dQ_{1}}{dt}}{\frac {dQ_{2}}{dt}}+{\frac {Q_{1}^{2}}{2C_{1}}}+{\frac {Q_{2}^{2}}{2C_{2}}}}$

観測可能なものを量子力学演算子に昇格すると、次のシュレーディンガー方程式が得られます。

${\displaystyle E\psi =-{\frac {\hbar ^{2}}{2L_{1}}}{\frac {d^{2}\psi }{dQ_{1}^{2}}}-{\frac {\hbar ^{2}}{2L_{2}}}{\frac {d^{2}\psi }{dQ_{2}^{2}}}-{\frac {\hbar ^{2}}{m}}{\frac {d^{2}\psi }{dQ_{1}dQ_{2}}}+{\frac {1}{2}}L_{1}\omega ^{2}Q_{1}^{2}\psi +{\frac {1}{2}}L_{2}\omega ^{2}Q_{2}^{2}\psi }$

結合項があるため、上記の座標を使用してさらに先に進むことはできません。ただし、両方の電荷の関数としての波動関数から電荷差の関数としての波動関数への座標変換（ここで、 と座標（「質量中心」に多少類似））を使用すると、変数分離法を使用して上記のハミルトニアンは解くことができます。 ${\displaystyle Q_{d}}$${\displaystyle Q_{d}=Q_{1}-Q_{2}}$${\displaystyle Q_{c}}$

CM 座標は以下のとおりです。

${\displaystyle Q_{c}={\frac {L_{1}Q_{1}+L_{2}Q_{2}}{L_{1}+L_{2}}}}$

新しい座標系でのハミルトニアンは次のようになります。

${\displaystyle E\psi =-{\frac {\hbar ^{2}(1-\lambda )}{2(L_{1}+L_{2})}}{\frac {d^{2}\psi }{dQ_{c}^{2}}}-{\frac {\hbar ^{2}(1-\lambda )}{2\mu }}{\frac {d^{2}\psi }{dQ_{d}^{2}}}+{\frac {1}{2}}\mu \omega ^{2}Q_{d}^{2}\psi }$

上記の式ではは に等しく、 は低減されたインダクタンスに等しくなります。 ${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle {\frac {2m}{L_{1}+L_{2}}}}$${\displaystyle \mu }$

変数分離法では、2 つの方程式が生成されます。1 つは自由粒子の微分方程式である「CM」座標の方程式で、もう 1 つは調和振動子のシュレーディンガー方程式である電荷差座標の方程式です。

${\displaystyle E\psi _{c}=-{\frac {\hbar ^{2}(1-\lambda )}{2(L_{1}+L_{2})}}{\frac {d^{2}\psi _{c}}{dQ_{c}^{2}}}}$

${\displaystyle E\psi _{d}=-{\frac {\hbar ^{2}(1-\lambda )}{2\mu }}{\frac {d^{2}\psi _{d}}{dQ_{d}^{2}}}+{\frac {1}{2}}\mu \omega ^{2}Q_{d}^{2}\psi _{d}}$

時間依存性が追加された最初の微分方程式の解は平面波に似ていますが、2 番目の微分方程式の解は上記のようになります。

古典的なLC回路の蓄積エネルギー（ハミルトニアン）:

${\displaystyle {\mathcal {H}}={\frac {q^{2}(t)}{2C}}+{\frac {p^{2}(t)}{2L}}\ }$

ハミルトニアン方程式:

${\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {H}}(q,p)}{\partial q}}={\frac {q(t)}{C}}=-{\dot {p}}(t)\ }$

${\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {H}}(q,p)}{\partial p}}={\frac {p(t)}{L}}=-{\dot {q}}(t)\ }$、

ここで、蓄えられたコンデンサの電荷（または電束）と磁気運動量（磁束）、 コンデンサの電圧とインダクタンス電流、時間は可変です。 ${\displaystyle q(t)=Cv(t)\ }$${\displaystyle p(t)=Li(t)\ }$${\displaystyle v(t)-\ }$${\displaystyle i(t)-\ }$${\displaystyle t-\ }$

非ゼロ初期条件: では振動周波数は次のようになります: ${\displaystyle q(0),p(0)\ }$

${\displaystyle \omega ={\frac {1}{\sqrt {LC}}}\ }$、

LC回路の波動インピーダンス（損失なし）:

${\displaystyle \rho ={\sqrt {\frac {L}{C}}}\ }$

ハミルトニアン方程式の解: では、電荷、磁束、エネルギーの値が次のようになります。 ${\displaystyle t\geq 0\ }$

${\displaystyle \mathbf {q} =q(0)+j{\frac {p(0)}{\omega L}}\ }$

${\displaystyle <q(t)=Re[\mathbf {q} e^{-j\omega t}]\ }$

${\displaystyle p(t)=Im[\omega L\mathbf {q} e^{-j\omega t}]\ }$

${\displaystyle {\mathcal {H}}={\frac {|\mathbf {q} |^{2}}{2C}}=constant\ }$

一般的な場合、波の振幅は複素空間で定義できる。

${\displaystyle a(t)=a_{1}(t)+ja_{2}(t)\ }$

どこ。 ${\displaystyle j={\sqrt {-1}}\ }$

${\displaystyle a_{1}(t)={\frac {q(t)}{q(0)}}\ }$、

ここで、ゼロ時間の電荷、静電容量領域。 ${\displaystyle q(0)=D(0)S_{C}={\sqrt {\frac {2\hbar }{\rho }}}\ }$${\displaystyle S_{C}-\ }$

${\displaystyle a_{2}(t)={\frac {p(t)}{p(0)}}\ }$、

ここで、ゼロ時の磁束、 インダクタンス面積。等面積要素では、 ${\displaystyle p(0)={\sqrt {2\hbar \rho }}\ }$${\displaystyle S_{L}-\ }$

${\displaystyle S_{C}=S_{L}=S_{q}\ }$

波動インピーダンスについては次の関係が成り立ちます。

${\displaystyle \rho ={\sqrt {\frac {L}{C}}}={\frac {q(0)}{p(0)}}}$。

波の振幅とエネルギーは次のように定義できます。

${\displaystyle a(t)=ae^{-j\omega t}\ }$

${\displaystyle {\mathcal {H}}=\hbar \omega [a_{1}^{2}(t)+a_{2}^{2}(t)]=\hbar \omega |a|^{2}\ }$。

量子の場合、運動量演算子は次のように定義されます。

${\displaystyle {\hat {p}}=-j\hbar {\frac {\partial }{\partial q}}}$

運動量演算子と電荷演算子は次の交換子を生成します。

${\displaystyle [{\hat {q}},{\hat {p}}]=j\hbar \ }$。

振幅演算子は次のように定義できます。

${\displaystyle {\hat {a}}={\hat {a_{1}}}+j{\hat {a_{2}}}={\frac {\hat {q}}{q_{0}}}+j{\frac {\hat {p}}{p_{0}}}\ }$、

そしてフェイザー:

${\displaystyle {\hat {a(t)}}={\hat {a}}e^{-j\omega t}\ }$。

ハミルトンの演算子は次のようになります。

${\displaystyle {\hat {\mathcal {H}}}\hbar \omega [{\hat {a}}_{1}^{2}(t)+{\hat {a}}_{2}^{2}(t)]=\hbar \omega [{\hat {a}}{\hat {a}}^{\dagger }+1/2]\ }$

振幅整流子:

${\displaystyle [{\hat {a}}_{1}(t),{\hat {a}}_{2}(t)]=j/2\ }$

${\displaystyle [{\hat {a}}(t),{\hat {a}}^{\dagger }(t)]=1\ }$。

ハイゼンベルクの不確定性原理:

${\displaystyle \langle \Delta {\hat {a}}_{1}^{2}(t)\rangle \langle \Delta {\hat {a}}_{2}^{2}(t)\rangle \geq {\frac {1}{16}}\ }$。

量子LC回路の波動インピーダンスが自由空間の値をとるとき

${\displaystyle \rho _{0}={\sqrt {\frac {L_{0}}{C_{0}}}}={\sqrt {\frac {\mu _{0}}{\epsilon _{0}}}}=2\alpha {\frac {h}{e^{2}}}=2\alpha R_{H}}$、

ここで、電子電荷、微細構造定数、フォン・クリッツィング定数 の場合、ゼロ時点における「電気」フラックスと「磁気」フラックスは次のようになります。 ${\displaystyle e-\ }$${\displaystyle \alpha -\ }$ ${\displaystyle R_{H}-\ }$

${\displaystyle q_{0}={\sqrt {\frac {2\hbar }{\rho _{0}}}}={\frac {e}{\sqrt {2\pi \alpha }}}\ }$

${\displaystyle p_{0}={\sqrt {2\hbar \rho _{0}}}=\phi _{0}{\sqrt {\frac {2\alpha }{\pi }}}\ }$、

ここで磁束量子。 ${\displaystyle \phi _{0}={\frac {h}{e}}-\ }$

古典的なケースでは、LC 回路のエネルギーは次のようになります。

${\displaystyle W_{LC}=W_{C}+W_{L},\ }$

ここで、静電容量エネルギーと インダクタンスエネルギーです。さらに、電荷（電気または磁気）と電圧または電流の間には次の関係があります。 ${\displaystyle W_{C}=0.5CV_{C}^{2}-\ }$${\displaystyle W_{L}=0.5LI_{L}^{2}-\ }$

${\displaystyle Q_{C}=CV_{C}\ }$

${\displaystyle \Phi _{L}=LI_{L}.\ }$

したがって、静電容量とインダクタンスエネルギーの最大値は次のようになります。

${\displaystyle W_{max}=W_{LC}={\frac {Q_{C0}^{2}}{2C}}+{\frac {\Phi _{L0}^{2}}{2L}}.\ }$

共鳴周波数は古典的な場合にはエネルギーとは何の関係もないことに注意してください。しかし、量子的な場合にはエネルギーと次のような関係があります。 ${\displaystyle \omega _{0}=1/{\sqrt {LC}}\ }$

${\displaystyle W_{0}={\frac {\hbar \omega _{0}}{2}}={\frac {\hbar }{2{\sqrt {LC}}}}.\ }$

したがって、量子の場合、静電容量を 1 つの電子電荷で満たすと、次のようになります。

${\displaystyle Q_{C0}=e=CV_{C}\ }$そして${\displaystyle W_{C}={\frac {e^{2}}{2C}}.\ }$

静電容量エネルギーと基底状態振動子エネルギーの関係は次のようになります。

${\displaystyle \xi _{C}={\frac {W_{C}}{W_{0}}}={\frac {2\pi }{R_{H}}}{\sqrt {\frac {L}{C}}}=2\pi \cdot {\frac {\rho _{q}}{R_{H}}}.\ }$

ここで、LC回路の量子インピーダンス。量子LC回路の量子インピーダンスは実際には2つのタイプに分けられる：^{[説明が必要]}${\displaystyle \rho _{q}={\sqrt {L/C}}\ }$

${\displaystyle \rho _{q}={\sqrt {\frac {L}{C}}}={\begin{cases}\rho _{w}=2\alpha R_{H},&{\mbox{ – wave impedance }}\\\rho _{DOS}=R_{H},&{\mbox{ – DOS impedance }}\end{cases}}}$

したがって、エネルギー関係は次のようになります。

${\displaystyle \xi _{C}={\frac {W_{C}}{W_{0}}}=2\pi {\frac {\rho _{q}}{R_{H}}}={\begin{cases}4\pi \alpha ,&{\mbox{at }}\rho _{w}\\2\pi ,&{\mbox{at }}\rho _{DOS}\end{cases}}}$

これが量子LC回路の主な問題です。静電容量とインダクタンスに蓄えられたエネルギーは量子発振器の基底状態エネルギーと等しくありません。このエネルギー問題により量子LC回路パラドックス（QLCCP）が発生します。^[要出典]

QLCCPの簡単な解は次のようにして見つけることができる。Yakymakha(1989) ^[1]  (式30)は、次のDOS量子インピーダンス定義を提案した。

${\displaystyle \rho _{DOS}^{ij}={\frac {\Delta \Phi _{j}}{\Delta Q_{i}}}={\frac {i}{j}}R_{H},\ }$

磁束と 電束は、${\displaystyle \Delta \Phi _{j}=j\Phi _{0}-\ }$${\displaystyle \Delta Q_{i}=ie-\ }$${\displaystyle i,j=integer.}$

したがって、量子 LC 回路には電荷も磁気電荷もなく、電束と磁束のみがあります。したがって、DOS LC 回路だけでなく、他の LC 回路にも、電磁波のみがあります。したがって、量子 LC 回路は、電荷も磁気電荷もなく、電磁波のみがある量子導波路の最小の幾何学的位相値です。ここで、量子 LC 回路を「ブラック ウェーブ ボックス」(BWB) と見なす必要があります。このボックスは電荷も磁気電荷もなく、波があります。さらに、この BWB は「閉じている」(ボーア原子内または光子の真空内) ことも、「開いている」(QHE およびジョセフソン接合の場合) こともあります。したがって、量子 LC 回路には BWB と「入力 - 出力」の補足が必要です。総エネルギー バランスは、「入力」デバイスと「出力」デバイスを考慮して計算する必要があります。 「入力 - 出力」デバイスがない場合、静電容量とインダクタンスに「保存」されたエネルギーは、特性インピーダンス（散逸なし）の場合と同様に、仮想または「特性」です。現在このアプローチに非常に近いのは、量子インダクタンスを持つジョセフソン接合を考慮したDevoret（2004）^[2]、シュレーディンガー波のDattaインピーダンス（2008）、および量子導波路を考慮した Tsu（2008） ^[3]です。

以下に示すように、QHE の共振周波数は次のとおりです。

${\displaystyle \omega _{Q}={\sqrt {\frac {1}{L_{QA}C_{QA}}}}={\frac {\omega _{B}}{2\pi }},\ }$

ここでサイクロトロン周波数、 QHE のスケーリング電流は次のようになります。 ${\displaystyle \omega _{B}=eB/m-\ }$${\displaystyle L_{QA}={\frac {4\pi R_{H}}{\omega _{B}}}\ }$${\displaystyle C_{QA}={\frac {4\pi }{R_{H}\omega _{B}}}.\ }$

${\displaystyle I_{B}={\frac {e\omega _{B}}{4\pi }}.\ }$

したがって、インダクタンスエネルギーは次のようになります。

${\displaystyle W_{L}={\frac {L_{QA}I_{B}^{2}}{2}}={\frac {\hbar \omega _{B}}{4}}.\ }$

したがって、量子磁束の場合、インダクタンス エネルギーは基底状態振動エネルギーの半分になります。これは電子のスピンによるものです (同じ量子領域要素のランダウ レベルには 2 つの電子があります)。したがって、インダクタンス/容量エネルギーは、スピンあたりのランダウ レベル エネルギーの合計を考慮します。 ${\displaystyle \Phi _{0}=h/e\ }$

DOS LC回路と類似して、

${\displaystyle W_{0}={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {W_{C}}{2\pi \alpha }}={\frac {\gamma _{BY}W_{C}}{2}}\ }$

スピンにより 2 倍小さい値になります。しかし、ここには新しい無次元の基本定数があります。

${\displaystyle \gamma _{BY}={\frac {1}{2\pi \alpha }}\ }$

これは量子LC回路の位相特性を考慮した定数である。この基本定数はボーア原子のボーア半径で初めて登場した。

${\displaystyle a_{B}=\gamma _{BY}\cdot \lambda _{0},\ }$

ここで、電子のコンプトン波長。 ${\displaystyle \lambda _{0}=h/m_{0}c-\ }$

したがって、波量子 LC 回路には電荷はなく、電磁波のみがあります。したがって、静電容量またはインダクタンスの「特性エネルギー」は、 発振器の総エネルギーの何分の 1 かです。言い換えると、電荷は波 LC 回路の「入力」で「消失」し、「出力」で「生成」され、バランスを保つためにエネルギーが追加されます。 ${\displaystyle \gamma _{BY}-\ }$

量子容量に蓄えられたエネルギー:

${\displaystyle W_{C}={\frac {Q_{C}^{2}}{2C}}=2\pi \alpha W_{LC}.\ }$

量子インダクタンスに蓄えられたエネルギー:

${\displaystyle W_{L}={\frac {\Phi _{L}^{2}}{2L}}=2\pi \alpha W_{LC}.\ }$

量子LC回路の共鳴エネルギー:

${\displaystyle W_{LC}=\hbar \omega _{LC}={\frac {\hbar }{\sqrt {LC}}}.\ }$

したがって、量子 LC 回路の総エネルギーは次のようになります。

${\displaystyle W_{tot}=W_{LC}+W_{C}+W_{L}.\ }$

一般的なケースでは、共鳴エネルギーは、電子の「静止質量」、ボーア原子のエネルギーギャップなどによるものです。ただし、静電容量に蓄えられたエネルギーは電荷によるものです。実際、自由電子とボーア原子の LC 回路では、電子電荷に等しい量子化された電束があります 。 ${\displaystyle W_{LC}\ }$${\displaystyle W_{C}\ }$${\displaystyle e\ }$

さらに、インダクタンスに蓄えられたエネルギーは磁気運動量によるものです。実際、ボーア原子にはボーア磁子があります。 ${\displaystyle W_{L}\ }$

${\displaystyle \mu _{B}={\frac {e\hbar }{2m_{0}}}=0.5e\nu _{B}S_{B}={\frac {ea_{B}^{2}}{\sqrt {L_{B}C_{B}}}}.\ }$

自由電子の場合、ボーア磁子は次のようになります。

${\displaystyle \mu _{e}=0.5e\nu _{e}S_{e}=0.5e{\frac {m_{0}c^{2}}{h}}{\frac {\lambda _{0}^{2}}{2\pi }}={\frac {e\hbar }{2m_{0}}},\ }$

ボーア原子の場合も同様です。

電子容量は球状コンデンサとして表すことができます。

${\displaystyle C_{e}={\frac {4\pi \epsilon _{0}}{{\frac {1}{r_{e}}}-{\frac {1}{r_{e}+\lambda _{0}}}}}={\frac {\epsilon _{0}\lambda _{0}}{2\pi }},\ }$

ここで、電子半径とコンプトン波長です。 ${\displaystyle r_{e}={\frac {\lambda _{0}}{2{\sqrt {2}}\pi }}-\ }$${\displaystyle \lambda _{0}-\ }$

この電子半径はスピンの標準的な定義と一致していることに注意してください。実際、電子の回転運動量は次のようになります。

${\displaystyle l_{e}=m_{0}\omega _{e}r_{e}^{2}=\hbar /2,\ }$

が考慮される場所です。 ${\displaystyle \omega _{e}=m_{0}c^{2}/\hbar \ }$

電子の球状インダクタンス:

${\displaystyle L_{e}={\frac {\mu _{0}\lambda _{0}}{2\pi }}.\ }$

電子の特性インピーダンス:

${\displaystyle \rho _{e}={\sqrt {\frac {L_{e}}{C_{e}}}}={\sqrt {\frac {\mu _{0}}{\epsilon _{0}}}}=\rho _{0}=2\alpha R_{H}.\ }$

電子LC回路の共振周波数:

${\displaystyle \omega _{e}={\sqrt {\frac {1}{L_{e}C_{e}}}}={\frac {2\pi c}{\lambda _{0}}}={\frac {m_{0}c^{2}}{\hbar }}.\ }$

電子容量に誘起される電束:

${\displaystyle Q_{e}=C_{e}V_{e}.\ }$

電子容量に蓄えられたエネルギー:

${\displaystyle W_{Ce}={\frac {C_{e}V_{e}^{2}}{2}}={\frac {Q_{e}^{2}}{2C_{e}}}=2\pi \alpha W_{0},\ }$

ここで、電子の「静止エネルギー」です。したがって、誘導された電気束は次のようになります。 ${\displaystyle W_{0}=m_{0}c^{2}-\ }$

${\displaystyle Q_{e}={\sqrt {2\alpha m_{0}c^{2}\epsilon _{0}\lambda _{0}}}=e.\ }$

したがって、電子の静電容量を通じて、電子の電荷に等しい量子化された電束が得られます。

インダクタンスを通る磁束:

${\displaystyle \Phi _{e}=L_{e}I_{e}.\ }$

インダクタンスに蓄えられた磁気エネルギー:

${\displaystyle W_{Le}={\frac {L_{e}I_{e}^{2}}{2}}={\frac {\Phi _{e}^{2}}{2L_{e}}}=2\pi \alpha W_{0}.\ }$

したがって、誘導磁束は次のようになります。

${\displaystyle \Phi _{e}={\sqrt {2\mu _{0}hc\alpha }}=2\alpha \Phi _{0}.\ }$

ここで磁束は量子です。したがって、電子インダクタンスを通じて磁束の量子化は起こりません。 ${\displaystyle \Phi _{0}=h/e-\ }$

ボーア半径:

${\displaystyle a_{B}={\frac {\lambda _{0}}{2\pi \alpha }}\ }$

ここで、電子のコンプトン波長、 微細構造定数。 ${\displaystyle \lambda _{0}={\frac {h}{m_{0}c}}-\ }$${\displaystyle \alpha -\ }$

ボーア原子表面:

${\displaystyle S_{B}=4\pi a_{B}^{2}\ }$。

ボーアインダクタンス:

${\displaystyle L_{B}={\frac {\mu _{0}}{\lambda _{0}}}\cdot S_{B}\ }$。

ボーア容量:

${\displaystyle C_{B}={\frac {\epsilon _{0}}{\lambda _{0}}}\cdot S_{B}\ }$。

ボーア波インピーダンス:

${\displaystyle \rho _{B}={\sqrt {\frac {L_{B}}{C_{B}}}}={\sqrt {\frac {\mu _{0}}{\epsilon _{0}}}}=\rho _{0}.\ }$

ボーア角周波数:

${\displaystyle \omega _{B}={\sqrt {\frac {1}{L_{B}C_{B}}}}={\frac {\alpha ^{2}}{2}}\cdot {\frac {m_{0}c^{2}}{\hbar }}={\frac {2\pi c}{\lambda _{B}}},\ }$

ここで、ボーア波長は最初のエネルギーレベルのものです。 ${\displaystyle \lambda _{B}={\frac {4\pi a_{B}}{\alpha }}-\ }$

ボーア第一エネルギー準位の誘導電束:

${\displaystyle Q_{B}=C_{B}V_{B}.\ }$

ボーア容量に蓄えられるエネルギー:

${\displaystyle W_{C}B={\frac {C_{B}V_{B}^{2}}{2}}={\frac {Q_{B}^{2}}{2C_{B}}}=2\pi \alpha W_{B},\ }$

ここでボーアエネルギーです。したがって、誘導電気束は次のようになります。 ${\displaystyle W_{B}=\hbar \omega _{B}-\ }$

${\displaystyle Q_{B}={\sqrt {2\pi \alpha ^{3}m_{0}c^{2}C_{B}}}=e.\ }$

したがって、ボーア容量を通じて、電子電荷に等しい量子化された電束が得られます。

ボーアインダクタンスを通る磁束:

${\displaystyle W_{L}B={\frac {L_{B}I_{B}^{2}}{2}}={\frac {\Phi _{B}^{2}}{2L_{B}}}=2\pi \alpha W_{0}.\ }$

したがって、誘導磁束は次のようになります。

${\displaystyle \Phi _{B}={\frac {\pi \alpha ^{2}ec}{\lambda _{0}}}L_{B}=2\alpha \Phi _{0}.\ }$

したがって、ボーアインダクタンスを通じて磁束の量子化は起こりません。

光子の「共鳴角周波数」：

${\displaystyle \omega _{w}={\sqrt {\frac {1}{L_{w}C_{w}}}}.\ }$

光子の「波動インピーダンス」:

${\displaystyle \rho _{w}={\sqrt {\frac {L_{w}}{C_{w}}}}={\sqrt {\frac {\mu _{0}}{\epsilon _{0}}}}=\rho _{0}.\ }$

光子の「波の誘導」：

${\displaystyle L_{w}={\frac {\rho _{0}}{\omega _{w}}}.\ }$

光子の「波の容量」:

${\displaystyle C_{w}={\frac {1}{\rho _{0}\omega _{w}}}.\ }$

光子「磁束量子」：

${\displaystyle \phi _{w}=L_{w}I_{w}=\phi _{0}={\frac {h}{e}}.\ }$

光子「波電流」：

${\displaystyle I_{w}={\frac {h}{eL_{w}}}={\frac {e\omega _{w}}{2\alpha }}.\ }$

一般的なケースでは、固体内の 2D 状態密度 (DOS) は次のように定義されます。

${\displaystyle D_{2D}={\frac {m^{*}}{\pi \hbar ^{2}}}\ }$、

ここで、固体中の電流キャリアの有効質量、電子質量、および固体のバンド構造を考慮した無次元パラメータです。したがって、量子インダクタンスは次のように定義できます。 ${\displaystyle m^{*}=\xi m_{0}-\ }$${\displaystyle m_{0}-\ }$${\displaystyle \xi -\ }$

${\displaystyle L_{QL}=\phi _{0}^{2}\cdot D_{2D}=\xi \cdot L_{Q0}}$、

ここで、量子インダクタンスの「理想値」は であり、別の理想的な量子インダクタンスは次のようになります。 ${\displaystyle L_{Q0}8\pi \beta \cdot L_{QY}\ }$${\displaystyle \xi =1\ }$

${\displaystyle L_{QY}={\frac {\mu _{0}}{\lambda _{0}}}=H/m^{2}\ }$、（３）

ここで、磁気定数、 磁気「微細構造定数」^[1]  （p. 62）、微細構造定数、電子のコンプトン波長は、シリコンMOSFETの分光学的研究においてYakymakha（1994） ^[4]によって初めて定義されました。 ${\displaystyle \mu _{0}-\ }$ ${\displaystyle \beta ={\frac {1}{4\alpha }}-\ }$${\displaystyle \alpha -\ }$${\displaystyle \lambda _{0}-\ }$

上記で定義した量子インダクタンスは単位面積あたりなので、その絶対値はQHEモードになります。

${\displaystyle L_{QA}={\frac {L_{QL}}{n_{B}}}\ }$、

ここでキャリア濃度は次のようになります。

${\displaystyle n_{B}={\frac {eB}{h}}\ }$、

はプランク定数です。同様に、量子容量の絶対値はQHEモードでは次のようになります。 ${\displaystyle h-\ }$

${\displaystyle C_{QA}={\frac {C_{QL}}{n_{B}}}\ }$、

どこ

${\displaystyle C_{QL}=e^{2}\cdot D_{2D}=\xi \cdot C_{Q0}}$、

^{はLuryi [5]} による量子容量のDOS定義である。量子容量はにおける「理想値」であり、他の量子容量は以下のとおりである。 ${\displaystyle C_{Q0}=8\pi \alpha \cdot C_{QY}\ }$${\displaystyle \xi =1\ }$

${\displaystyle C_{QY}={\frac {\epsilon _{0}}{\lambda _{0}}}=3.6492417F/m^{2}\ }$、

ここで誘電率は、Yakymakha (1994) ^[4]がシリコンMOSFETの分光学的研究で初めて定義したものです。QHE LC回路の標準的な波動インピーダンスの定義は次のように表すことができます。 ${\displaystyle \epsilon _{0}-\ }$

${\displaystyle \rho _{Q}={\sqrt {\frac {L_{QA}}{C_{QA}}}}={\sqrt {\frac {\phi _{0}^{2}}{e^{2}}}}={\frac {h}{e^{2}}}=R_{H}\ }$、

ここで、フォン・クリッツィングは抵抗定数です。 ${\displaystyle R_{H}={\frac {h}{e^{2}}}=25.812813k\Omega \ }$

QHE LC 回路の標準的な共振周波数の定義は次のように表すことができます。

${\displaystyle \omega _{Q}={\frac {1}{\sqrt {L_{QA}C_{QA}}}}={\frac {\hbar \omega _{c}}{\phi _{0}e}}={\frac {\omega _{c}}{2\pi }}}$、

ここで、磁場 B における標準サイクロトロン周波数。 ${\displaystyle \omega _{c}={\frac {eB}{m^{*}}}-\ }$

ホールスケーリング電流量子は

${\displaystyle I_{H}={\frac {h}{eL_{QA}}}={\frac {e\omega _{B}}{4\pi }}\ }$、

ここでホール角周波数。 ${\displaystyle \omega _{B}={\frac {eB}{m^{*}}}-\ }$

電磁誘導（ファラデー）の法則：

${\displaystyle V_{ind}={\frac {\partial \Phi }{\partial t}}=-L{\frac {\partial I}{\partial t}},\ }$

ここで、磁束、ジョセフソン接合の量子インダクタンス、 ジョセフソン接合の電流。電流に関する DC ジョセフソン方程式: ${\displaystyle \Phi -\ }$${\displaystyle L-\ }$${\displaystyle I-\ }$

${\displaystyle I=I_{J}\cdot \sin \phi ,\ }$

ここで、ジョセフソンスケールは電流、 超伝導体間の位相差です。時間変数に対する電流の微分は次のようになります。 ${\displaystyle I_{J}-\ }$${\displaystyle \phi -\ }$

${\displaystyle {\frac {\partial I}{\partial t}}=I_{J}\cos \phi \cdot {\frac {\partial \phi }{\partial t}}.\ }$

ACジョセフソン方程式:

${\displaystyle {\frac {\partial \phi }{\partial t}}={\frac {q}{\hbar }}V={\frac {2\pi }{\Phi _{0}}}V,\ }$

ここで、プランク定数、ジョセフソン磁束量子、 電子電荷は減少しています。導関数の式を組み合わせると、接合電圧が得られます。 ${\displaystyle \hbar -\ }$${\displaystyle \Phi _{0}=h/2e-}$${\displaystyle q=2e\ }$${\displaystyle e-\ }$

${\displaystyle V={\frac {\Phi _{0}}{2\pi I_{J}}}\cdot {\frac {1}{\cos \phi }}\cdot {\frac {\partial I}{\partial t}}=L_{J}\cdot {\frac {\partial I}{\partial t}},\ }$

どこ

${\displaystyle L_{J}={\frac {\Phi _{0}}{2\pi I_{J}}}\cdot {\frac {1}{\cos \phi }}\ }$

は Devoret (1997) ^[6]量子インダクタンスです。

角周波数に関するACジョセフソン方程式:

${\displaystyle \omega _{J}={\frac {q}{\hbar }}\cdot V.\ }$

ジョセフソンLC回路の共振周波数:

${\displaystyle \omega _{J}={\sqrt {\frac {1}{L_{J}C_{J}}}}.\ }$

ここで、Devoret 量子容量は次のように定義されます。 ${\displaystyle C_{J}-\ }$

${\displaystyle C_{J}={\frac {1}{L_{J}\omega _{J}^{2}}}={\frac {\Phi _{0}I_{J}}{V_{0}^{2}}}\cdot {\frac {\cos \phi }{2\pi }}.\ }$

ジョセフソン接合の量子波インピーダンス:

${\displaystyle \rho _{J}={\sqrt {\frac {L_{J}}{C_{J}}}}={\frac {V_{0}}{I_{J}}}\cdot {\frac {1}{\sqrt {\cos \phi }}}.\ }$

mVとA波のインピーダンスは${\displaystyle V_{0}=0,1}$${\displaystyle I_{J}=0,2\mu }$${\displaystyle \rho _{J}=500\Omega .\ }$

フラットアトム（FA）の量子容量：

${\displaystyle C_{F0}={\frac {\epsilon _{0}}{\lambda _{0}}}\cdot S_{F0}=5.1805\cdot 10^{-7}\ }$F、

どこ。 ${\displaystyle \lambda _{0}={\frac {h}{m_{0}c}}\ }$

FAの量子インダクタンス:

${\displaystyle L_{F0}={\frac {\mu _{0}}{\lambda _{0}}}\cdot S_{F0}=7.3524\cdot 10^{-2}\ }$H.

FA の量子面積要素:

${\displaystyle S_{F0}={\frac {\lambda _{0}c}{\omega _{F0}}}={\frac {h}{m_{0}\omega _{F0}}}=1.4196\cdot 10^{-7}\ }$メートル²。

FAの共振周波数:

${\displaystyle \omega _{F0}={\sqrt {\frac {1}{L_{F0}C_{F0}}}}=5123.9\ }$rad/s。

FAの特性インピーダンス:

${\displaystyle \rho _{F0}={\sqrt {\frac {L_{F0}}{C_{F0}}}}=\rho _{0}=2\alpha R_{H},\ }$

ここで自由空間のインピーダンスです。 ${\displaystyle \rho _{0}\ }$

FA の最初のエネルギーレベルにおける総電荷:

${\displaystyle Q_{F1}=e{\sqrt {\frac {S_{F0}}{S_{B}}}}=2\cdot 10^{6}e\ }$、

ここで、ボーア量子面積要素。最初のFAは、Yakymakha (1994) ^[4]によってpチャネルMOSFETの非常に低周波の共鳴として発見されました。球状のボーア原子とは対照的に、FAはエネルギーレベルの数（n）に双曲的依存性を持っています^[7]${\displaystyle S_{B}=4\pi a_{B}^{2}-\ }$

${\displaystyle \omega _{F0n}={\frac {\omega _{F0}}{n}}.\ }$

• LC回路
• 調和振動子
• 量子調和振動子
• 量子電磁共振器

• WH ルイゼル、「放射線の量子統計特性」（ワイリー、ニューヨーク、1973 年）
• ミシェル・H・デヴォレ電気回路における量子ゆらぎ。 PDF
• ファン・ホンイー、パン・シャオイン。 Chin.Phys.Lett. No.9(1998)625. PDF
• Xu, Xing-Lei; Li, Hong-Qi; Wang, Ji-Suo 熱励起状態における相互容量インダクタンス結合を有するメソスコピック減衰二重共鳴RLC回路の量子ゆらぎ。中国物理学、第16巻、第8号、pp. 2462–2470 (2007)。[1]
• Hong-Qi Li、Xing-Lei Xu、Ji-Suo Wang。メソスコピック石英圧電結晶の熱真空状態における電流と電圧の量子ゆらぎ。[2]
• Boris Ya. Zel'dovich. インピーダンスと発振器のパラメトリック励起。UFN、2008、v. 178、no 5。PDF