合同関係

抽象代数学において、合同関係（または単に合同）とは、代数構造（群、環、ベクトル空間など）上の同値関係であり、同値な要素を用いた代数演算は同値な要素を生成するという意味で構造と互換性がある。 ^[1] すべての合同関係には対応する商構造があり、その要素は関係の同値類（または合同類）である。 ^[2]

合同の定義は、検討中の代数構造の種類によって異なります。合同の特定の定義は、群、環、ベクトル空間、モジュール、半群、格子などに対して行うことができます。共通のテーマは、合同とは、同値類上で演算が明確に定義されているという意味で、代数構造と互換性のある代数オブジェクト上の同値関係であるということです。

合同関係の一般的な概念は、すべての代数構造に共通する概念を研究する分野である普遍代数の文脈で正式に定義することができます。この設定では、与えられた代数構造上の関係が適合しているとは、 ${\displaystyle R}$

構造上で定義された各および各項演算について、および ... およびの場合は、 となります。${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \mu}$${\displaystyle a_{1}\mathrel {R} a'_{1}}$${\displaystyle a_{n}\mathrel {R} a'_{n}}$${\displaystyle \mu (a_{1},\ldots ,a_{n})\mathrel {R} \mu (a'_{1},\ldots ,a'_{n})}$

構造上の合同関係は、互換性のある同値関係として定義されます。^{[3] [4]}

合同関係の典型的な例は、整数の集合を法として合同で ある。与えられた正の整数に対して、2つの整数とがを法として合同であるといい、次のように書かれる。 ${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle n}$

${\displaystyle a\equiv b{\pmod {n}}}$

がで割り切れる場合（またはとを で割った余りが同じ場合も同様）。 ${\displaystyle ab}$${\displaystyle n}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle n}$

例えば、と は を法として合同である。 ${\displaystyle 37}$${\displaystyle 57}$${\displaystyle 10}$

${\displaystyle 37\equiv 57{\pmod {10}}}$

は 10 の倍数であるため、あるいはとを で割ったときにの余りがあるため、同じことになります。 ${\displaystyle 37-57=-20}$${\displaystyle 37}$${\displaystyle 57}$${\displaystyle 7}$${\displaystyle 10}$

を法とする合同性（固定）は、整数の加算と乗算の両方と互換性がある。つまり、 ${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$

もし

${\displaystyle a_{1}\equiv a_{2}{\pmod {n}}}$そして${\displaystyle b_{1}\equiv b_{2}{\pmod {n}}}$

それから

${\displaystyle a_{1}+b_{1}\equiv a_{2}+b_{2}{\pmod {n}}}$ そして ${\displaystyle a_{1}b_{1}\equiv a_{2}b_{2}{\pmod {n}}}$

同値類の対応する加算と乗算はモジュラ算術として知られています。抽象代数の観点からは、 を法とする合同は整数環上の合同関係であり、 を法とする算術は対応する商環上で発生します。 ${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$

例えば、群は、集合と単一の二項演算から成り、特定の公理を満たす代数的対象である。が演算 を持つ群である場合、上の合同関係はの要素上の同値関係であり、 ${\displaystyle G}$${\displaystyle \ast}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \equiv}$${\displaystyle G}$

${\displaystyle g_{1}\equiv g_{2}\ \ \,}$そして${\displaystyle \\\,h_{1}\equiv h_{2}\implies g_{1}\ast h_{1}\equiv g_{2}\ast h_{2}}$

すべての に対して成り立ちます。群の合同では、単位元を含む同値類は常に正規部分群であり、他の同値類はこの部分群の他の剰余類です。これらの同値類は合わせて商群の要素となります。 ${\displaystyle g_{1},g_{2},h_{1},h_{2}\in G}$

代数構造が複数の演算を含む場合、合同関係は各演算と互換性があることが求められる。例えば、環は加算と乗算の両方を持ち、環上の合同関係は

${\displaystyle r_{1}+s_{1}\equiv r_{2}+s_{2}}$そして${\displaystyle r_{1}s_{1}\equiv r_{2}s_{2}}$

および のときはいつでも。環上の合同性に対して、0 を含む同値類は常に両側イデアルであり、同値類の集合に対する 2 つの演算は対応する商環を定義します。 ${\displaystyle r_{1}\equiv r_{2}}$${\displaystyle s_{1}\equiv s_{2}}$

が2つの代数構造間の準同型（群の準同型や ベクトル空間間の線型写像など）である場合、${\displaystyle f:A\,\rightarrow B}$${\displaystyle R}$

${\displaystyle a_{1}\,R\,a_{2}}$ もし、もし、 ${\displaystyle f(a_{1})=f(a_{2})}$

は 上の合同関係です。第一同型定理により、によるAの像は、この合同による Aの商に同型なBの部分構造になります。${\displaystyle A}$${\displaystyle f}$

一方、合同関係は次のような 一意の準同型を誘導する。${\displaystyle R}$${\displaystyle f:A\rightarrow A/R}$

${\displaystyle f(x)=\{y\mid x\,R\,y\}}$。

したがって、任意の代数構造の合同と準同型の間には自然な対応関係があります。

群の特定のケースでは、合同関係は次のように基本的な用語で記述できます。Gが群 (単位元 eと演算 * を持つ) であり、 ~ がG上の二項関係である場合、 ~ は次の場合に合同です。

1. Gの任意の元aが与えられたとき、a ~ a (反射性) が成り立ちます。
2. Gの任意の元aとb が与えられたとき、a ~ bならばb ~ aである（対称性）。
3. Gの任意の要素a、b、c が与えられたとき、a ~ bかつb ~ cならば、a ~ cである（推移性）。
4. Gの任意の要素a、a ′、b、b ′が与えられたとき、a ~ a ′かつb ~ b ′である場合、a * b ~ a ′ * b ′である。
5. Gの任意の元aとa ′ が与えられたとき、a ~ a ′ならばa ⁻¹ ~ a ′ ⁻¹である（これは他の 4 つによって暗示されるため、^{[注 1]}厳密には冗長である）。

条件 1、2、および 3 は、~ が同値関係であることを示しています。

合同性 ~ は、単位元と合同なGの元の集合{ a ∈ G | a ~ e }によって完全に決定され、この集合は正規部分群です。具体的には、a ~ bである場合、かつその場合のみ、b ⁻¹ * a ~ eです。そのため、群の合同性について話す代わりに、通常は群の正規部分群について話されます。実際、すべての合同性は、 Gの何らかの正規部分群に一意に対応します。

同様のトリックにより、環理論では核を合同関係ではなくイデアルとして、またモジュール理論では核を合同関係ではなく サブモジュールとして扱うことができます。

このトリックが可能なより一般的な状況は、オメガ群（一般的な意味で、多重アリティを持つ演算子を許可する）の場合です。しかし、これは、たとえばモノイドでは実行できないため、合同関係の研究がモノイド理論においてより中心的な役割を果たします。

合同性の一般的な概念は普遍代数学において特に有用である。この文脈における同等の定式化は次の通りである: ^[4]

代数A上の合同関係は、直積A × Aの部分集合であり、 A上の同値関係であり、A × Aの部分代数でもあります。

準同型の核は常に合同です。実際、すべての合同は核として生じます。A上の与えられた合同 ~ に対して、同値類の集合A / ~は、自然な方法で代数の構造、つまり商代数を与えることができます。 Aのすべての要素をその同値類にマップする関数は準同型であり、この準同型の核は ~ です。

代数A上のすべての合同関係の格子Con ( A )は 代数的である。

ジョン・M・ハウィーは、半群論が普遍代数における合同関係を どのように説明するかを説明した。

群では、合同性は、単一の合同類がわかっていれば、特に単位元を含む類である正規部分群がわかっていれば、決定されます。同様に、環では、合同性は、ゼロを含む合同類であるイデアルがわかっていれば決定されます。半群では、そのような幸運な出来事は起こらないので、合同性そのものを研究する必要に迫られます。何よりも、この必要性が半群理論に特徴的な趣を与えています。半群は、実際、普遍代数の方法を適用しなければならない最初の最も単純なタイプの代数です... ^[5]

圏論では、圏C上の合同関係Rは、 C内の各オブジェクトX、Y のペアに対して、 Hom( X、Y ) 上の同値関係R _X、Yによって与えられ、同値関係は射の合成を尊重します。詳細については、 商圏 § 定義を参照してください。

• 中国剰余定理
• 合同格子問題
• 合同表

• バレンドレット、ヘンク (1990)。 「関数型プログラミングとラムダ微積分」。 Jan van Leeuwen (編)。形式モデルとセマンティクス。理論的コンピューターサイエンスのハンドブック。 Vol. B.エルゼビア。 321–364ページ。ISBN 0-444-88074-7。
• バーグマン、クリフォード（2011）、ユニバーサル代数：基礎と選択トピック、テイラー＆フランシス
• ホーン、ジョンソン（1985）、マトリックス分析、ケンブリッジ大学出版局、ISBN 0-521-38632-2（行列の合同性についてはセクション4.5で説明します。）
• Howie, JM (1975)、半群論入門、Academic Press
• ハンガーフォード、トーマス W. (1974)、代数学、Springer-Verlag
• ローゼン、ケネス H (2012)。離散数学とその応用。McGraw -Hill Education。ISBN 978-0077418939。