コモジュール

数学において、コモジュールまたはコ表現は、モジュールの双対概念です。コ代数上のコモジュールの定義は、結合代数上のモジュールの定義を双対化することによって形成されます。

K を体とし、 CをK上の余代数とする。C上の（右）余加群は、Kベクトル空間Mと線型写像

${\displaystyle \rho \colon M\to M\otimes C}$

そのような

1. ${\displaystyle (\mathrm {id} \otimes \Delta )\circ \rho =(\rho \otimes \mathrm {id} )\circ \rho }$
2. ${\displaystyle (\mathrm {id} \otimes \varepsilon )\circ \rho =\mathrm {id} }$、

ここで、 Δ はCの余乗、 ε は余単位です。

2 番目のルールではと同一視していることに注意してください。 ${\displaystyle M\otimes K}$${\displaystyle M\,}$

• 余剰代数はそれ自身の余剰加群です。
• M が有限次元K代数A上の有限次元加群である場合、AからKまでの線型関数の集合は余代数を形成し、MからKまでの線型関数の集合はその余代数上の余加群を形成します。
• 次数付きベクトル空間 Vは、コモジュールにすることができます。Iを次数付きベクトル空間のインデックス セットとし、を の基底を持つベクトル空間とします。次のように、をコ代数に変換し、V を-コモジュールに変換します。${\displaystyle C_{I}}$${\displaystyle e_{i}}$${\displaystyle i\in I}$${\displaystyle C_{I}}$${\displaystyle C_{I}}$

1. 上の共乗法を で与えることにする。${\displaystyle C_{I}}$${\displaystyle \Delta (e_{i})=e_{i}\otimes e_{i}}$
2. 上の余弦を で与えることにする。${\displaystyle C_{I}}$${\displaystyle \varepsilon (e_{i})=1\ }$
3. V上の写像を で表すものとします。ここで は のi番目の同次部分です。${\displaystyle \rho}$${\displaystyle \rho (v)=\sum v_{i}\otimes e_{i}}$${\displaystyle v_{i}}$${\displaystyle v}$

代数的位相幾何学における重要な結果の一つは、スティーンロッド代数上のホモロジーがコモジュラーを形成するという事実である。^[1]これは、スティーンロッド代数がコホモロジーに対して標準作用を持つという事実から来ている。${\displaystyle H_{*}(X)}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}^{*}}$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

${\displaystyle \mu :{\mathcal {A}}\otimes H^{*}(X)\to H^{*}(X)}$

双対スティーンロッド代数に双対化すると、コモジュール構造が得られる。

${\displaystyle \mu^{*}:H_{*}(X)\to {\mathcal {A}}^{*}\otimes H_{*}(X)}$

この結果は、複素コボルディズムなどの他のコホモロジー理論にも拡張され、そのコホモロジー環の計算に役立ちます。^[2]コホモロジー上のモジュール構造ではなくホモロジー上のコモジュール構造を考慮する主な理由は、双対スティーンロッド代数が可換環であり、可換代数の設定によりその構造を研究するためのツールがさらに提供されるという事実にあります。 ${\displaystyle \オメガ _{U}^{*}(\{pt\})}$${\displaystyle {\mathcal {A}}^{*}}$

M が余代数C上の (右) コモジュールである場合、M は双対代数C ^∗上の (左) モジュールですが、その逆は一般には成り立ちません。つまり、C ^∗上のモジュールは必ずしもC上のコモジュールではありません。有理コモジュールは、自然な方法で C上のコモジュールになるC ^∗上のモジュールです。

R を環、M 、 N 、 CをR加群、 右C余加群とします。このとき、 R線型写像は、次の場合、 (右)余加群射、または(右) C 余加群射と呼ばれます。 この概念は、ベクトル空間間の線型写像、またはより一般的には、R加群間の準同型写像の概念と双対です。^[3]$${\displaystyle \rho _{M}:M\rightarrow M\otimes C,\ \rho _{N}:N\rightarrow N\otimes C}$$${\displaystyle f:M\rightarrow N}$$${\displaystyle \rho _{N}\circ f=(f\otimes 1)\circ \rho _{M}.}$$

• 分裂した権力構造

• Gómez-Torrecillas、José (1998)、「可換環上の Coalgebras and comodules」、Revue Roumaine de Mathématiques Pures et Appliquées、43 : 591–603
• モンゴメリー、スーザン(1993)。ホップ代数と環上の作用。数学地域会議シリーズ。第 82 巻。プロビデンス、ロードアイランド州:アメリカ数学協会。ISBN 0-8218-0738-2.ZBL0793.16029  。​
• スウィードラー、モス（1969）、ホップ代数、ニューヨーク：WAベンジャミン