線形ユーティリティ

経済学と消費者理論において、線形効用関数は次の形式の関数です。

${\displaystyle u(x_{1},x_{2},\dots ,x_{m})=w_{1}x_{1}+w_{2}x_{2}+\dots w_{m}x_{m}}$

またはベクトル形式では:

${\displaystyle u({\overrightarrow {x}})={\overrightarrow {w}}\cdot {\overrightarrow {x}}}$

どこ：

• ${\displaystyle m}$経済におけるさまざまな商品の数です。
• ${\displaystyle {\overrightarrow {x}}}$はバンドルを表すサイズのベクトルです。要素はバンドル内の商品の量を表します。${\displaystyle m}$${\displaystyle x_{i}}$${\displaystyle i}$
• ${\displaystyle {\overrightarrow {w}}}$は、消費者の主観的な好みを表すサイズのベクトルです。要素は、消費者が商品に割り当てる相対的な価値を表します。の場合、これは消費者がその製品にまったく価値がないと考えていることを意味します。 が高いほど、この製品の単位は消費者にとってより価値があります。${\displaystyle m}$${\displaystyle w_{i}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle w_{i}=0}$${\displaystyle i}$${\displaystyle w_{i}}$

線形効用関数を持つ消費者には、次の特性があります。

• 選好は厳密に単調であり、単一の財であっても、その量が多いほど効用は確実に増加します。
• 優先順位は弱凸ですが、厳密に凸ではありません。つまり、2 つの同等のバンドルの混合は元のバンドルと同等ですが、それよりも優れているわけではありません。
• すべての財の限界代替率は一定です。2つの財ごとに、${\displaystyle i,j}$

${\displaystyle MRS_{i,j}=w_{i}/w_{j}}$。

• 無差別曲線は直線（財が 2 つの場合）または超平面（財が複数ある場合）になります。
• 各需要曲線（価格の関数としての需要）は階段関数です。つまり、消費者は、効用/価格比が最大値を下回る商品をゼロ単位購入したいと考え、効用/価格比が最大の商品をできるだけ多く購入したいと考えます。
• 消費者はその商品を完全な代替品とみなす。

線形経済を、すべてのエージェントが線形効用関数を持つ交換経済として 定義します。線形経済にはいくつかの特性があります。

各エージェントが初期保有資産 を持っていると仮定します。これはサイズのベクトルで、要素はエージェントが初期に所有する財の量を表します。この場合、このエージェントの初期効用は です。 ${\displaystyle A}$${\displaystyle {\overrightarrow {e_{A}}}}$${\displaystyle m}$${\displaystyle e_{A,i}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle A}$${\displaystyle {\overrightarrow {w_{A}}}\cdot {\overrightarrow {e_{A}}}}$

市場価格がベクトル（要素が財の価格であるサイズのベクトル）で表されると仮定します。この場合、エージェントの予算は です。この 価格ベクトルが有効である間、エージェントは予算制約を満たすバンドルのみを購入することができます。${\displaystyle {\overrightarrow {p}}}$${\displaystyle m}$${\displaystyle p_{i}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle A}$${\displaystyle {\overrightarrow {p}}\cdot {\overrightarrow {e_{A}}}}$${\displaystyle {\overrightarrow {x}}}$${\displaystyle {\overrightarrow {p}}\cdot {\overrightarrow {x}}\leq {\overrightarrow {p}}\cdot {\overrightarrow {e_{A}}}}$

競争均衡とは、すべてのエージェントの需要が満たされる（各財の需要がその供給に等しい）価格ベクトルと割り当てである。線形経済では、競争均衡は価格ベクトルと割り当てで構成され、各エージェントに次のようなバンドルが与えられる。 ${\displaystyle {\overrightarrow {p}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\overrightarrow {x_{A}}}}$

• ${\displaystyle \sum _{A}{\overrightarrow {x_{A}}}=\sum _{A}{\overrightarrow {e_{A}}}}$(すべての商品の合計量は最初の割り当てと同じであり、商品は生産も破壊もされません)。
• すべてのエージェント について、その割り当ては、予算制約の条件下で、エージェントの効用 を最大化します。${\displaystyle A}$${\displaystyle {\overrightarrow {x_{A}}}}$${\displaystyle {\overrightarrow {w_{A}}}\cdot {\overrightarrow {x}}}$ ${\displaystyle {\overrightarrow {p}}\cdot {\overrightarrow {x}}\leq {\overrightarrow {p}}\cdot {\overrightarrow {e_{A}}}}$

均衡状態では、各エージェントは効用/価格比が弱最大となる財のみを保有する。つまり、エージェントが均衡状態で財を保有している場合、他のすべての財については次のようになる。 ${\displaystyle A}$${\displaystyle i}$${\displaystyle j}$

${\displaystyle w_{A,i}/p_{i}\geq w_{A,j}/p_{j}}$

（そうでなければ、エージェントはいくらかの量の財を財と交換したいと考え、均衡が崩れることになる）。 ${\displaystyle i}$${\displaystyle j}$

一般性を失うことなく、すべての財は少なくとも 1 人のエージェントによって望まれていると仮定することができます (そうでない場合、この財は実用上無視できます)。この仮定の下では、財の均衡価格は厳密に正でなければなりません (そうでない場合、需要は無限大になります)。

デイヴィッド・ゲイル^[1]は、線形経済における 競争均衡の存在に必要かつ十分な条件を証明した。彼はまた、線形経済の他のいくつかの特性も証明した。

エージェントの集合が自給自足であるとは、 のすべてのメンバーが のメンバーによってのみ所有されている商品にのみ正の価値を割り当てる場合です(言い換えると、の外部のメンバーによって所有されているすべての製品に価値を割り当てる場合)。 内の誰かがのどのメンバー (自分自身を含む) からも評価されていない商品を所有している場合、その集合は超自給自足であるとされます。 ゲイルの存在定理は、次のことを述べています。 ${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle w_{i}=0}$${\displaystyle i}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$

線形経済では、いかなるエージェントの集合も超自給自足ではない場合にのみ、競争的均衡が保たれます。

「のみ」方向の証明: 経済が価格と配分で均衡していると仮定します。は自給自足のエージェントの集合であると仮定します。すると、 のすべてのメンバーは、他のエージェントが所有する商品は彼らにとって価値がないため、お互いにのみ取引します。したがって、均衡配分は次を満たします。 ${\displaystyle {\overrightarrow {p}}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$

${\displaystyle \sum _{A\in S}{\overrightarrow {x_{A}}}=\sum _{A\in S}{\overrightarrow {e_{A}}}}$。

すべての均衡配分はパレート効率的です。つまり、均衡配分では、すべての財はその財に正の価値を割り当てるエージェントによってのみ保有されます。先ほど述べた等式により、各財について、均衡配分でのメンバーによって保有されるの合計量は、初期配分でのメンバーによって保有されるの合計量に等しくなります。したがって、初期配分では、すべての財は、 の1人以上のメンバーにとって価値がある場合にのみ、 のメンバーによって保有されます。したがって、は超自給自足ではありません。 ${\displaystyle x}$${\displaystyle i}$${\displaystyle i}$${\displaystyle S}$${\displaystyle x}$${\displaystyle i}$${\displaystyle S}$${\displaystyle e}$${\displaystyle e}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$

平等所得競争均衡（CEEI）は、すべてのエージェントの予算が同じである特別な種類の競争均衡です。つまり、2 人のエージェントと に対して、次のようになります。 ${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$

${\displaystyle {\overrightarrow {p}}\cdot {\overrightarrow {x_{A}}}={\overrightarrow {p}}\cdot {\overrightarrow {x_{B}}}}$

CEEIの割り当ては、羨望の影響を受けないことが保証されているため重要です。^[2]バンドルは、同じ価格のすべてのバンドルの中でエージェントに最大の効用を与えるため、特に、バンドルと少なくとも同じだけの効用を与えます。 ${\displaystyle x_{A}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle x_{B}}$

CEEI を達成する 1 つの方法は、すべてのエージェントに同じ初期賦与を与えることです。つまり、すべてのおよびに対して次のようになります。 ${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$

${\displaystyle {\overrightarrow {e_{A}}}={\overrightarrow {e_{B}}}}$

(エージェントがいる場合、各エージェントは各商品の正確な量を受け取ります)。このような割り当てでは、エージェントのサブセットは自給自足ではありません。したがって、ゲイルの定理の帰結として、次のようになります。 ${\displaystyle n}$${\displaystyle 1/n}$

線形経済では、CEEI が常に存在します。

以下のすべての例には、2 人のエージェント (アリスとジョージ) と 2 つの商品 (リンゴ (x) とグアバ (y)) が存在します。

A.唯一の均衡: 効用関数は次のようになります。

${\displaystyle u_{A}(x,y)=3x+2y}$、

${\displaystyle u_{G}(x,y)=2x+3y}$。

総保有量は です。一般性を失うことなく、価格ベクトルを と正規化できます。は CE でどのような値を持つことができますか? の場合、両方のエージェントが x と引き換えに y のすべてを提供したいと考えています。 の場合、両方のエージェントが y と引き換えに x のすべてを提供したいと考えています。したがって、CE では です。 の場合、アリスは x と y に無差別ですが、ジョージは y だけを希望します。同様に、 の場合、ジョージは無差別ですが、アリスは x だけを希望します。 の場合、アリスは x だけを希望しますが、ジョージは y だけを希望します。したがって、CE 割り当ては [(6,0);(0,6)] でなければなりません。価格ベクトルは初期割り当てによって異なります。たとえば、初期割り当てが等しい [(3,3);(3,3)] の場合、両方のエージェントは CE で同じ予算を持ち、 になります。この CE は本質的に一意です。価格ベクトルに定数を掛けても、CE 均衡は変化しません。 ${\displaystyle T=(6,6)}$${\displaystyle P_{x}=1}$${\displaystyle P_{y}}$${\displaystyle P_{y}>3/2}$${\displaystyle P_{y}<2/3}$${\displaystyle 2/3\leq P_{y}\leq 3/2}$${\displaystyle P_{y}=2/3}$${\displaystyle P_{y}=3/2}$${\displaystyle 2/3<P_{y}<3/2}$${\displaystyle P_{y}=P_{x}=1}$

B.均衡なし: アリスはリンゴとグアバを持っているが、リンゴだけが欲しいとします。ジョージはグアバだけを持っていますが、リンゴとグアバの両方が欲しいとします。集合 {アリス} は自給自足です。なぜなら、アリスはジョージが持っているすべての商品は価値がないと考えているからです。さらに、集合 {アリス} は超自給自足です。なぜなら、アリスは自分にとって価値のないグアバを持っているからです。実際、競争均衡は存在しません。価格に関係なく、アリスはリンゴと引き換えにグアバをすべて渡したいのですが、ジョージはリンゴを持っていないので、彼女の需要は満たされません。

C.多くの均衡: 2 つの商品と 2 人のエージェントがあり、両方のエージェントが両方の商品に同じ価値を割り当てているとします (たとえば、両方に対して)。すると、均衡では、エージェントはリンゴをいくつか同数のグアバと交換することができ、結果は依然として均衡になります。たとえば、アリスがリンゴ 4 個とグアバ 2 個を持ち、ジョージがリンゴ 5 個とグアバ 3 個を持っている均衡がある場合、アリスがリンゴ 5 個とグアバ 1 個を持ち、ジョージがリンゴ 4 個とグアバ 4 個を持っている状況も均衡です。 ${\displaystyle w_{apples}=w_{guavas}=1}$

しかし、これら両方の均衡において、両エージェントの合計効用は同じです。アリスは両方の均衡において効用 6 を持ち、ジョージは両方の均衡において効用 8 を持ちます。次のセクションで示すように、これは偶然ではありません。

ゲイル^[1]は次のことを証明した。

線形経済では、すべてのエージェントはすべての均衡間で無関心です。

証明。証明はトレーダーの数についての帰納法によって行われます。トレーダーが 1 人だけの場合、主張は明白です。トレーダーが 2 人以上いて、価格ベクトルと割り当ての均衡 X と、価格ベクトルと割り当ての均衡 Y の2 つの均衡を考えてみましょう。考慮すべきケースが 2 つあります。 ${\displaystyle {\overrightarrow {p}}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle {\overrightarrow {q}}}$${\displaystyle y}$

a. 価格ベクトルは、乗法定数まで同じです。ある定数に対してです。これは、両方の均衡において、すべてのエージェントがまったく同じ予算セットを持っていることを意味します（まったく同じバンドルを購入できる）。均衡では、すべてのエージェントの効用は、予算セット内のバンドルの最大効用です。予算セットが同じであれば、そのセットの最大効用も同じです。 ${\displaystyle {\overrightarrow {p}}=C\cdot {\overrightarrow {q}}}$${\displaystyle C}$

b. 価格ベクトルは比例していません。これは、一部の商品の価格が他の商品よりも大きく変動したことを意味します。最大の価格上昇を次のように定義します。

${\displaystyle M:=\max _{i}{q_{i}/p_{i}}}$

そして、価格上昇が最も大きい商品を、最大の価格変動を経験した商品として定義します（価格ベクトルは比例しないため、これはすべての商品の適切なサブセットである必要があります）。

${\displaystyle H:=\{i|q_{i}/p_{i}=M\}}$

そして、均衡Yにおいて最大価格変動財を1つ以上保有するトレーダーを、 最高価格上昇保有者と定義します。

${\displaystyle S:=\{A|y_{A,i}>0{\text{ for some }}i\in H\}}$

均衡では、エージェントは、効用/価格比が弱最大となる財のみを保有します。そのため、 のすべてのエージェントにとって、 のすべての財の効用/価格比は、価格ベクトル の下で弱最大となります。 の財は最も高い価格上昇を経験したため、価格ベクトル が のとき、それらの効用/価格比は強最大となります。したがって、均衡 X では、 のすべてのエージェントはの財のみを保有します。均衡 X では、誰かが にない財を保有しているはずなので、はエージェントの適切なサブセットでなければなりません。 ${\displaystyle S}$${\displaystyle H}$${\displaystyle {\overrightarrow {q}}}$${\displaystyle H}$${\displaystyle {\overrightarrow {p}}}$${\displaystyle S}$${\displaystyle H}$${\displaystyle H}$${\displaystyle S}$

したがって、均衡 X では、 - エージェントは - 財のみを保有し、均衡 Y では、- エージェントはすべての-財を保有します。これにより、予算計算を行うことができます。 ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle H}$${\displaystyle S}$${\displaystyle H}$

一方、価格が である均衡 X では、-エージェントは予算のすべてを -財に費やすため、次のようになります。 ${\displaystyle {\overrightarrow {p}}}$${\displaystyle S}$${\displaystyle H}$

${\displaystyle {\overrightarrow {p}}\cdot \sum _{A\in S}{\overrightarrow {e_{A}}}\leq \sum _{i\in H}{p_{i}\cdot {\overrightarrow {e_{i}}}}}$

（ここで、 は財からの初期賦与の合計である）。 ${\displaystyle {\overrightarrow {e_{i}}}}$${\displaystyle i}$

一方、価格 の均衡 Y では、-エージェントはすべての -財を購入できるため、次のようになります。 ${\displaystyle {\overrightarrow {q}}}$${\displaystyle S}$${\displaystyle H}$

${\displaystyle {\overrightarrow {q}}\cdot \sum _{A\in S}{\overrightarrow {e_{A}}}\geq \sum _{i\in H}{q_{i}\cdot {\overrightarrow {e_{i}}}}}$

これらの方程式を組み合わせると、両方の均衡において、エージェントは互いにのみ取引する という結論が導き出されます。${\displaystyle S}$

${\displaystyle \sum _{A\in S}{y_{A}}=\sum _{A\in S}{x_{A}}=\sum _{A\in S}{e_{A}}}$。

したがって、 に属さないエージェントも、互いにのみ取引を行います。つまり、均衡 X は 2 つの均衡で構成されます。1 つは-エージェントと-商品のみを含む均衡、もう 1 つは -エージェント以外と -商品のみを含む均衡です。エージェント Y についても同様です。はエージェントの適切なサブセットであるため、帰納法の仮定を適用でき、定理が証明されます。 ${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle H}$${\displaystyle S}$${\displaystyle H}$${\displaystyle S}$

Eaves ^[3]は、競争的均衡が存在する場合に、有限数のステップで競争的均衡を見つけるアルゴリズムを提示した。

線形効用関数は、準線形効用関数の小さなサブセットです。

線形効用を持つ財は代替財の特殊なケースです。

財の集合が有限ではなく連続的であると仮定する。例えば、財は土地のような異質な資源である。その場合、効用関数は有限個の変数の関数ではなく、土地のボレル部分集合上で定義された集合関数である。線形効用関数をそのモデルに自然に一般化すると、加法的な集合関数になる。これは、公正なケーキカットの理論における一般的なケースである。この設定への Gale の結果の拡張は、Weller の定理によって与えられる。

特定の条件下では、順序選好関係は線形かつ連続的な効用関数によって表されることができる。^[4]