ハッセノルム定理

数論におけるハッセのノルム定理は、L/K が数体の巡回拡大である場合、K の非ゼロ元がどこでもローカルノルムである場合、それはグローバルノルムであると述べています。ここで、グローバルノルムであるということは、を満たす L の元lが存在するような K の元kであることを意味します。言い換えると、k は拡大体 L の何らかの元の相対ノルムです。ローカルノルムであるということは、K の何らかの素数pとK 上にある L の何らかの素数Pに対して、 kが L _Pからのノルムであることを意味します。ここで、「素数」p はアルキメデスの値である可能性があり、定理はアルキメデスと非アルキメデスのすべての値における完備化についての声明です。 ${\displaystyle \mathbf {N} _{L/K}(l)=k}$

拡張がアーベル的だが巡回的でない場合、定理は一般には成り立たなくなります。ハッセは、3 は拡張のどこでも局所ノルムですが、大域ノルムではないという反例を示しました。セールおよびテイトは、すべての有理数平方がどこでも局所ノルムですが、大域ノルムではない体によって別の反例が与えられることを示しました。 ${\displaystyle {\mathbf {Q} }({\sqrt {-3}},{\sqrt {13}})/{\mathbf {Q} }}$${\displaystyle {\mathbf {Q} }({\sqrt {13}},{\sqrt {17}})/{\mathbf {Q} }}$${\displaystyle 5^{2}}$

これは、ローカル-グローバル原理を述べた定理の例です。

完全な定理はハッセ(1931) によるものである。拡大の 次数nが 2 である特殊なケースはヒルベルト (1897) によって証明され、 nが素数である特殊なケースはフルトヴェングラーによって 1902 年に証明された。^{[引用が必要]}

ハッセのノルム定理は、ガロアコホモロジー群 H ² ( L / K )の元が局所的にどこでも自明であれば自明であるという定理から演繹でき、これはイデレ類群の最初のコホモロジーが消えるという深い定理と同等である。これは、巡回的なものだけでなく、数体のすべての有限ガロア拡大に当てはまる。巡回拡大の場合、群 H ² ( L / K ) は、どの元がノルムであるかを記述するテイトコホモロジー群H ⁰ ( L / K )と同型であるため、巡回拡大の場合、元が局所的にどこでもノルムである場合にノルムであるというハッセの定理になる。

• グルンワルド・ワンの定理、局所的にはどこでもべき乗である要素が、いつべき乗であるかに関する定理。

• Hasse, H. (1931)、「Beweis eines Satzes und Wiederlegung einer Vermutung über das allgemeine Normenrestsymbol」、Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen、数学物理学クラス: 64–69
• H. Hasse、「類体理論の歴史」、JWS CasselsおよびA. Frohlich (編)、『代数的数論』、Academic Press、1973 年、第 11 章。
• G. Janusz,代数的数体, Academic Press, 1973. 定理 V.4.5, p. 156
• David Hilbert (1897)、「Die Theorie der algebraischen Zahlkörper」、Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung (ドイツ語)、4 : 175–546、ISSN  0012-0456