方向性統計

方向統計学（円形統計学または球面統計学とも呼ばれる）は、方向（ユークリッド空間R ⁿにおける単位ベクトル）、軸（R ⁿにおける原点を通る直線）、またはR ⁿにおける回転を扱う統計学の分野である。より一般的には、方向統計学は、シュティーフェル多様体を含むコンパクトなリーマン多様体上の観測を扱う。

0度と360度が同一の角度であるため、例えば180度が2度と358度の妥当な平均値ではないという事実は、ある種のデータ（この場合は角度データ）の分析には特別な統計的手法が必要であることを示す一例である。方向性を持つデータとして考えられるその他の例としては、時間的期間（例えば、時刻、週、月、年など）、方位、分子の二面角、向き、回転などに関する統計が挙げられる。

任意の確率密度関数（pdf）${\displaystyle \ p(x)}$直線は単位半径の円周に「巻き付ける」ことができる。 ^{[ 2 ]}つまり、巻き付けられた変数の確率密度関数は $${\displaystyle \theta =x_{w}=x{\bmod {2}}\pi \ \ \in (-\pi ,\pi ]}$$ は $${\displaystyle p_{w}(\theta )=\sum _{k=-\infty }^{\infty }{p(\theta +2\pi k)}.}$$

この概念は、単純な和を複数の変数に拡張することで、多変数コンテキストに拡張できます。${\displaystyle F}$特徴空間のすべての次元を網羅する合計値： $${\displaystyle p_{w}({\boldsymbol {\theta }})=\sum _{k_{1}=-\infty }^{\infty }\cdots \sum _{k_{F}=-\infty }^{\infty }{p({\boldsymbol {\theta }}+2\pi k_{1}\mathbf {e} _{1}+\dots +2\pi k_{F}\mathbf {e} _{F})}}$$ どこ${\displaystyle \mathbf {e} _{k}=(0,\dots ,0,1,0,\dots ,0)^{\mathsf {T}}}$は${\displaystyle k}$番目のユークリッド基底ベクトル。

以下のセクションでは、関連する円形分布の例をいくつか示します。

また、 2次元球面（ケント分布^{[ 4 ]}など）、N次元球面（フォン・ミーゼス・フィッシャー分布^{[ 5 ]}）、またはトーラス（二変量フォン・ミーゼス分布^{[ 6 ]} ）上の分布も存在する。

行列フォンミーゼス・フィッシャー分布はシュティーフェル多様体上の分布であり、回転行列上の確率分布を構築するために使用できる。^{[ 7 ]}

ビンガム分布は、 N次元の軸上の分布、または同等に、対蹠点が同一視された( N  − 1) 次元球上の点上の分布です。 ^{[ 8 ]}例えば、N = 2 の場合、軸は平面内の原点を通る無向線です。この場合、各軸は平面内の単位円 (1 次元球) を、互いに対蹠点である 2 つの点で切断します。N = 4の場合、ビンガム分布は単位4 元数( versor )の空間上の分布です。 versor は回転行列に対応するため、 N = 4のビンガム分布は、Matrix-von Mises–Fisher 分布と同様に、回転の空間上の確率分布を構築するために使用できます。       

これらの分布は、例えば地質学^{[ 9 ]} 、結晶学^{[ 10 ]}、バイオインフォマティクス^{[ 1 ] [ 11 ] [ 12 ]}などで使用されています。

円形分布の生ベクトル（または三角関数）モーメントは次のように定義されます。

${\displaystyle m_{n}=\operatorname {E} (z^{n})=\int _{\Gamma }P(\theta )z^{n}\,d\theta }$

どこ${\displaystyle \Gamma }$長さの任意の区間${\displaystyle 2\pi }$、${\displaystyle P(\theta )}$は円形分布のPDFであり、${\displaystyle z=e^{i\theta }}$積分は${\displaystyle P(\theta )}$が1であり、積分区間が有限である場合、任意の円形分布のモーメントは常に有限であり、明確に定義されることがわかる。

サンプルモーメントも同様に定義される。

${\displaystyle {\overline {m}}_{n}={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}z_{i}^{n}.}$

母集団の合成ベクトル、長さ、および平均角度は、対応する標本パラメータと類似した方法で定義される。

${\displaystyle \rho =m_{1}}$

${\displaystyle R=|m_{1}|}$

${\displaystyle \theta _{n}=\operatorname {Arg} (m_{n}).}$

さらに、高次モーメントの長さは次のように定義される。

${\displaystyle R_{n}=|m_{n}|}$

高次モーメントの角度部分はちょうど${\displaystyle (n\theta _{n}){\bmod {2}}\pi }$すべてのモーメントの長さは0から1の間になります。

母集団と、その母集団から抽出された標本の両方について、中心傾向と統計的ばらつきのさまざまな尺度を定義することができる。 ^{[ 3 ]}

N個の測定値のセットが与えられた場合${\displaystyle z_{n}=e^{i\theta _{n}}}$zの平均値は次のように定義されます。

${\displaystyle {\overline {z}}={\frac {1}{N}}\sum _{n=1}^{N}z_{n}}$

これは次のように表現できます。

${\displaystyle {\overline {z}}={\overline {C}}+i{\overline {S}}}$

どこ

${\displaystyle {\overline {C}}={\frac {1}{N}}\sum _{n=1}^{N}\cos(\theta _{n}){\text{ and }}{\overline {S}}={\frac {1}{N}}\sum _{n=1}^{N}\sin(\theta _{n})}$

または、別の言い方としては：

${\displaystyle {\overline {z}}={\overline {R}}e^{i{\overline {\theta }}}}$

どこ

${\displaystyle {\overline {R}}={\sqrt {{\overline {C}}^{2}+{\overline {S}}^{2}}}{\text{ and }}{\overline {\theta }}=\arctan({\overline {S}}/{\overline {C}}).}$

平均角度の分布（${\displaystyle {\overline {\theta }}}$円形確率密度関数P ( θ ) は次のように表されます。

${\displaystyle P({\overline {C}},{\overline {S}})\,d{\overline {C}}\,d{\overline {S}}=P({\overline {R}},{\overline {\theta }})\,d{\overline {R}}\,d{\overline {\theta }}=\int _{\Gamma }\cdots \int _{\Gamma }\prod _{n=1}^{N}\left[P(\theta _{n})\,d\theta _{n}\right]}$

どこ${\displaystyle \Gamma }$長さの任意の区間にわたって${\displaystyle 2\pi }$そして、積分には以下の制約が課せられる。${\displaystyle {\overline {S}}}$そして${\displaystyle {\overline {C}}}$一定である、あるいは、${\displaystyle {\overline {R}}}$そして${\displaystyle {\overline {\theta }}}$定数である。

ほとんどの円形分布の平均の分布の計算は解析的に不可能であり、分散分析を実行するには数値的または数学的な近似が必要となる。^{[ 13 ]}

中心極限定理は標本平均の分布に適用できます。（メイン記事：方向統計のための中心極限定理）。^{[ 13 ]}分布は${\displaystyle [{\overline {C}},{\overline {S}}]}$サンプルサイズが大きくなる極限では、二変量正規分布に近づく。

周期的なデータの場合（例えば、一様分布しているかどうか） ：

• 単峰性クラスターに対するレイリー検定
• 多重峰性データの可能性を判定するためのカイパー検定。

• 円形相関係数
• 複素正規分布
• ラップ配信

• Batschelet, E. (1981).生物学における円形統計学. ロンドン: Academic Press . ISBN 0-12-081050-6。
• フィッシャー、NI （ 1993）。円形データの統計分析。ケンブリッジ大学出版局。ISBN 0-521-35018-2。
• Fisher, NI ; Lewis, T.; Embleton, BJJ (1993).球面データの統計分析. Cambridge University Press . ISBN 0-521-45699-1。
• Jammalamadaka, S. Rao; Sengupta, A. (2001). Topics in Circular Statistics . New Jersey: World Scientific. ISBN 981-02-3778-22011年5月15日に取得。
• Mardia, KV ; Jupp, P. (2000).方向性統計学（第2 版）. John Wiley and Sons Ltd. ISBN 0-471-95333-4。
• Ley, C.; Verdebout, T. (2017).現代方向統計学. CRC Press Taylor & Francis Group . ISBN 978-1-4987-0664-3。