チリアゴン

幾何学において、千角形（/ ˈkɪliəɡɒn /）または1,000角形とは、 1,000辺を持つ多角形のことである。哲学者たちは、思考、意味、そして精神的表象の本質や働きに関する考えを説明するために、千角形を用いてきた。

正千角形はシュレーフリ記号{1,000}で表され、切頂500角形t{500}、2回切頂250角形tt{250}、または3回切頂125角形ttt{125}として構成できます。

正九角形の各内角の大きさは179°38'24" です。${\displaystyle {\frac {499\pi }{500}}}$ラジアン。辺の長さがaの正千角形の面積は次のように表されます。

${\displaystyle A=250a^{2}\cot {\frac {\pi }{1000}}\simeq 79577.2\,a^{2}}$

この結果は、その外接円の面積と4ppm未満の差である。

1,000 = 2 ³ × 5 ³であるため、辺の数は異なるフェルマー素数の積でも、2 のべき乗でもありません。したがって、正 千角形は作図可能な多角形ではありません。実際、辺の数は異なるピアポント素数の積でも、2 と 3 のべき乗の積でもないため、角の三等分線を使用しても作図できません。したがって、千角形を作図するには、ヒッピアスの四分法、アルキメデス螺旋、またはその他の補助曲線などの他の手法が必要です。たとえば、まずコンパスと定規で 9° の角を作図し、次に補助曲線を使用してそれを 2 回五等分 (5 等分) することで、必要な 21'36" の内角を作成できます。

ルネ・デカルトは『第六瞑想』の中で、純粋知性と想像力の違いを説明するために、千角形を例として用いています。彼は、千角形について考えるとき、例えば三角形を想像するときのように、「千の辺を想像したり、目の前に存在するかのように見たりする」ことはないと述べています。想像力は「混乱した表象」を構築しますが、それは万角形（一万の辺を持つ多角形）について構築する表象と何ら変わりません。しかし、人は三角形が何であるかを理解するのと同様に、千角形が何であるかを明確に理解し、万角形と区別することができます。したがって、デカルトは、知性は想像力に依存しないと主張します。なぜなら、知性は、想像力ができないような明晰明瞭な観念を抱くことができるからです。^{[ 1 ]}デカルトと同時代の哲学者ピエール・ガッサンディはこの解釈を批判し、デカルトは千角形を想像することはできても、理解することはできなかったと考えていた。「『千角形』という言葉が千の角を持つ図形を意味することは認識できるが、それは単に用語の意味であって、その図形の千の角を想像以上に理解できるとは限らない」^{[ 2 ]}

千角形の例は、他の哲学者によっても言及されている。デイヴィッド・ヒュームは、「千角形の角度が1.996直角に等しいと目で判断したり、この比率に近づくような推測をしたりすることは不可能である」と指摘している。^{[ 3 ]}ゴットフリート・ライプニッツは、ジョン・ロックによる千角形の使用についてコメントし、多角形のイメージを持たなくてもその概念を持つことは可能であり、それによって概念とイメージを区別できると述べている。^{[ 4 ]}イマヌエル・カントは代わりに九十六角形（96角形）に言及しているが、デカルトが提起したのと同じ質問に答えている。^{[ 5 ]}

アンリ・ポアンカレは、千角形を「直観は必ずしも感覚の証拠に基づいているわけではない」という証拠として用いています。なぜなら、「私たちは千角形を自分自身で表現することはできないが、千角形を特殊な場合として含む多角形全般について直観によって推論する」からです。^{[ 6 ]}

デカルトの千角形の例に触発され、ロデリック・チザムをはじめとする20世紀の哲学者たちは、同様の例を用いて同様の主張を展開してきた。チザムの「斑点のある雌鶏」は、斑点の数が確定していなくても十分に想像できるものであり、おそらく最も有名な例であろう。^{[ 7 ]}

正チリゴンは Dih _{1000 の}二面対称性を持ち、次数 2000 で、1,000 本の反射線で表されます。 Dih _{1000 に}は 15 の二面体サブグループがあります: Dih ₅₀₀、 Dih ₂₅₀、 Dih ₁₂₅、 Dih ₂₀₀、Dih ₁₀₀、 Dih ₅₀、 Dih ₂₅、 Dih ₄₀、 Dih 20 、 Dih ₁₀、_{Dih 5}、 Dih ₈、 Dih ₄、 Dih ₂、および Dih ₁。また、サブグループとしてさらに 16 個の巡回対称性があります: Z ₁₀₀₀、 Z ₅₀₀、 Z ₂₅₀、 Z 125 _、 Z ₂₀₀、 Z ₁₀₀、 Z ₅₀、 Z ₂₅、 Z ₄₀、 Z ₂₀ 、 Z _{10 、 Z 5}、 Z ₈、 Z ₄、 Z ₂、および Z ₁であり、Z _nはπ / nラジアンの回転対称性を表します。

ジョン・コンウェイはこれらの低い対称性を文字でラベル付けし、対称性の順序は文字に従います。^{[ 8 ]}彼は、頂点を通る鏡線を持つd（対角線）、辺を通る鏡線を持つp（垂直）、頂点と辺の両方を通る鏡線を持つi 、回転対称性を持つgを与えています。a1は対称性がないことを示します。

これらの低い対称性により、不規則なキリアゴンを定義する際に自由度が生まれます。g1000 サブグループのみ自由度がなく、有向辺として見なすことができます。

千卦は1,000辺の星形多角形です。正則な形状は199種類あり、^それぞれ{1000/ n }の形の^{シュレーフリ記号}で表されます。ここでnは2から500までの整数で、 1,000と互いに素です。残りのケースでは、 300種類の正則な星形図形が存在します。

例えば、正多角形{1000/499}は、ほぼ放射状の1000本の辺で構成されています。各星の頂点の内角は0.36度です。^{[ b ]}

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