ポイントの力

初等平面幾何学において、点のべき乗は、与えられた点と与えられた円の相対距離を反映する実数である。これは1826年にヤコブ・シュタイナーによって導入された。 ^[1]

具体的には、中心 と半径を持つ円に対する点の 力は次のように定義されます。 ${\displaystyle \Pi (P)}$${\displaystyle P}$ ${\displaystyle c}$${\displaystyle O}$${\displaystyle r}$

${\displaystyle \Pi (P)=|PO|^{2}-r^{2}.}$

が円の​​外側にある場合は、が円の上にある 場合は、 が円の内側にある 場合はです。 ${\displaystyle P}$${\displaystyle \Pi (P)>0}$
${\displaystyle P}$${\displaystyle \Pi (P)=0}$
${\displaystyle P}$${\displaystyle \Pi (P)<0}$

ピタゴラスの定理により、この数字は図に示すような単純な幾何学的意味を持ちます。円の外側の点の場合、その点は円に対する接線距離の 2 乗です。 ${\displaystyle \Pi (P)}$${\displaystyle P}$${\displaystyle \Pi (P)}$${\displaystyle |PT|}$${\displaystyle P}$${\displaystyle c}$

等しい累乗を持つ点、つまり の等値線は、円 と同心円です。 ${\displaystyle \Pi (P)}$${\displaystyle c}$

シュタイナーは、円に関するいくつかの命題の証明に点の力を使用しました。たとえば、

• 4つの円と等しい角度で交差する円の決定。^[2]
• アポロニウスの問題の解決
• マルファッティ円の作成：^[3]与えられた三角形に対して、互いに接し、三角形の2辺にそれぞれ接する3つの円を決定します。
• マルファッティの問題の球面版: ^[4]三角形は球面状である。

円を調べるための必須ツールは、 2 つの円の根軸と3 つの円の根心です。

一連の円のべき乗図は、平面を、べき乗を最小化する円が一定である領域に分割します。

より一般的には、フランスの数学者 エドモン・ラゲールは、任意の代数曲線に対する点の累乗を同様の方法で定義しました。

リードに記載されているプロパティの他に、さらに次のプロパティがあります。

円の外側の任意の点に対して、円上には から等しい距離にある2 つの接点があります 。したがって、を中心とする円もを通り、直交します。 ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle c}$${\displaystyle T_{1},T_{2}}$${\displaystyle c}$${\displaystyle P}$${\displaystyle o}$${\displaystyle P}$${\displaystyle T_{1}}$${\displaystyle T_{2}}$${\displaystyle c}$

• 中心と半径を持つ円は円と直交します。${\displaystyle P}$${\displaystyle {\sqrt {\Pi(P)}}}$${\displaystyle c}$

を中心とする円の半径がと異なる場合、余弦定理を適用して 2 つの円の交差角度を取得します(図を参照)。 ${\displaystyle \rho}$${\displaystyle P}$${\displaystyle {\sqrt {\Pi(P)}}}$${\displaystyle \varphi}$

${\displaystyle \rho^{2}+r^{2}-2\rhor\cos\varphi =|PO|^{2}}$

${\displaystyle \rightarrow \ \cos \varphi ={\frac {\rho ^{2}+r^{2}-|PO|^{2}}{2\rho r}}={\frac {\rho ^{2}-\Pi (P)}{2\rho r}}}$

（そして円の接線に対する 法線です。）${\displaystyle PS_{1}}$${\displaystyle OS_{1}}$

が青い円の内側にある場合、 および は常にとは異なります。 ${\displaystyle P}$${\displaystyle \Pi (P)<0}$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle 90^{\circ }}$

角度が与えられれば、二次方程式を解くことで 半径が得られる。${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle \rho }$

${\displaystyle \rho ^{2}-2\rho r\cos \varphi -\Pi (P)=0}$。

交差する割線定理と弦定理では、点のべき乗は不変量の役割を果たします。

• 交差する割線の定理:円の外側の点と割線の交点に対して、次の命題が成り立ちます。、したがって積は直線に依存しません。 が接線である場合、 となり、命題は接線-割線の定理です。${\displaystyle P}$ ${\displaystyle c}$${\displaystyle S_{1},S_{2}}$${\displaystyle g}$${\displaystyle c}$${\displaystyle |PS_{1}|\cdot |PS_{2}|=\Pi (P)}$${\displaystyle g}$${\displaystyle g}$${\displaystyle S_{1}=S_{2}}$
• 交差弦定理:円内の点割線との交点について、次の命題が成り立ちます。したがって、積は直線に依存しません。${\displaystyle P}$ ${\displaystyle c}$${\displaystyle S_{1},S_{2}}$${\displaystyle g}$${\displaystyle c}$${\displaystyle |PS_{1}|\cdot |PS_{2}|=-\Pi (P)}$${\displaystyle g}$

点 と、中心、半径の 2 つの非同心円 があるとします。点 は円 に関してべき乗を持ちます。を持つすべての点の集合は根軸と呼ばれる直線です。この直線は円の可能な共通点を含み、直線 に垂直です。 ${\displaystyle P}$${\displaystyle c_{1},c_{2}}$${\displaystyle O_{1},O_{2}}$${\displaystyle r_{1},r_{2}}$${\displaystyle P}$${\displaystyle \Pi _{i}(P)}$${\displaystyle c_{i}}$${\displaystyle P}$${\displaystyle \Pi _{1}(P)=\Pi _{2}(P)}$${\displaystyle {\overline {O_{1}O_{2}}}}$

正接-正接定理を含む両方の定理は、一様に証明できます。

を点、原点を中心とした円、任意の単位ベクトルとします。直線 ( を通る) と円の可能な共通点のパラメータは 、パラメトリック方程式を円の方程式に挿入することで決定できます。 ${\displaystyle P:{\vec {p}}}$${\displaystyle c:{\vec {x}}^{2}-r^{2}=0}$${\displaystyle {\vec {v}}}$${\displaystyle t_{1},t_{2}}$${\displaystyle g:{\vec {x}}={\vec {p}}+t{\vec {v}}}$${\displaystyle P}$${\displaystyle c}$

${\displaystyle ({\vec {p}}+t{\vec {v}})^{2}-r^{2}=0\quad \rightarrow \quad t^{2}+2t\;{\vec {p}}\cdot {\vec {v}}+{\vec {p}}^{2}-r^{2}=0\ .}$

ヴィエタの定理から次のことがわかります。

${\displaystyle t_{1}\cdot t_{2}={\vec {p}}^{2}-r^{2}=\Pi (P)}$. （ とは独立して）${\displaystyle {\vec {v}}}$

${\displaystyle \Pi (P)}$は円に対するの累乗です。 ${\displaystyle P}$${\displaystyle c}$

その理由は、次の点について述べられているからです。 ${\displaystyle |{\vec {v}}|=1}$${\displaystyle S_{1},S_{2}}$

${\displaystyle |PS_{1}|\cdot |PS_{2}|=t_{1}t_{2}=\Pi (P)\ }$円の外側にある場合は、${\displaystyle P}$

${\displaystyle |PS_{1}|\cdot |PS_{2}|=-t_{1}t_{2}=-\Pi (P)\ }$が円の​​内側にある場合（符号が異なります！）。${\displaystyle P}$${\displaystyle t_{1},t_{2}}$

直線の場合は接線となり、点から円までの接線距離の二乗となります。 ${\displaystyle t_{1}=t_{2}}$${\displaystyle g}$${\displaystyle \Pi (P)}$${\displaystyle P}$${\displaystyle c}$

相似点はシュタイナーの円の研究に不可欠なツールである。^[5]

2つの円が与えられた場合

${\displaystyle \ c_{1}:({\vec {x}}-{\vec {m}}_{1})^{2}-r_{1}^{2}=0,\quad c_{2}:({\vec {x}}-{\vec {m}}_{2})^{2}-r_{2}^{2}=0\ .}$

を にマッピングする相似性(類似性)により、半径が に伸び(揺れ) 、中心が直線 上になります。これは、 のためです。中心が の間にある場合、スケール係数は です。その他の場合はです。いずれの場合も、次のようになります。 ${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle c_{1}}$${\displaystyle c_{2}}$${\displaystyle r_{1}}$${\displaystyle r_{2}}$${\displaystyle Z:{\vec {z}}}$${\displaystyle {\overline {M_{1}M_{2}}}}$${\displaystyle \sigma (M_{1})=M_{2}}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle M_{1},M_{2}}$${\displaystyle s=-{\tfrac {r_{2}}{r_{1}}}}$${\displaystyle s={\tfrac {r_{2}}{r_{1}}}}$

${\displaystyle \sigma ({\vec {m}}_{1})={\vec {z}}+s({\vec {m}}_{1}-{\vec {z}})={\vec {m}}_{2}}$。

挿入して解くと次のようになります。 ${\displaystyle s=\pm {\tfrac {r_{2}}{r_{1}}}}$${\displaystyle {\vec {z}}}$

${\displaystyle {\vec {z}}={\frac {r_{1}{\vec {m}}_{2}\mp r_{2}{\vec {m}}_{1}}{r_{1}\mp r_{2}}}}$。

点は外部類似点と呼ばれ、 は内部類似点と呼ばれます。 $${\displaystyle E:{\vec {e}}={\frac {r_{1}{\vec {m}}_{2}-r_{2}{\vec {m}}_{1}}{r_{1}-r_{2}}}}$$$${\displaystyle I:{\vec {i}}={\frac {r_{1}{\vec {m}}_{2}+r_{2}{\vec {m}}_{1}}{r_{1}+r_{2}}}}$$

の場合、が得られます。 の場合、は直線の無限遠点であり、の中心です。 の場合、円は内側の点で互いに接します(両方の円は共通接線の同じ側にあります)。 の場合、円は外側の点で互いに接します(両方の円は共通接線の異なる側にあります)。 ${\displaystyle M_{1}=M_{2}}$${\displaystyle E=I=M_{i}}$
${\displaystyle r_{1}=r_{2}}$${\displaystyle E}$${\displaystyle {\overline {M_{1}M_{2}}}}$${\displaystyle I}$${\displaystyle M_{1},M_{2}}$
${\displaystyle r_{1}=|EM_{1}|}$${\displaystyle E}$
${\displaystyle r_{1}=|IM_{1}|}$${\displaystyle I}$

さらに：

• 円が互いに隣接していない場合（円に共通点がない場合）、外側の共通接線は で交わり、内側の共通接線は で交わります。${\displaystyle E}$${\displaystyle I}$
• 一方の円がもう一方の円内に含まれる場合、点は両方の円内にあります 。${\displaystyle E,I}$
• これらのペアは射影調和共役です。それらの複比はです。${\displaystyle M_{1},M_{2};E,I}$${\displaystyle (M_{1},M_{2};E,I)=-1}$

モンジュの定理は、 3 つの互いに交わらない円の外側の相似点は直線上にあると述べています。

を2つの円、その外側の相似点を 、そしてを通る直線をとします。直線は2つの円を4つの点で交わります。点の定義特性から次の式が得られます。 ${\displaystyle c_{1},c_{2}}$${\displaystyle E}$${\displaystyle g}$${\displaystyle E}$${\displaystyle G_{1},H_{1},G_{2},H_{2}}$${\displaystyle E}$

${\displaystyle {\frac {|EG_{1}|}{|EG_{2}|}}={\frac {r_{1}}{r_{2}}}={\frac {|EH_{1}|}{|EH_{2}|}}\ }$

${\displaystyle \rightarrow \ |EG_{1}|\cdot |EH_{2}|=|EH_{1}|\cdot |EG_{2}|\ }$

そして、割線定理（上記参照）から、２つの方程式は

${\displaystyle |EG_{1}|\cdot |EH_{1}|=\Pi _{1}(E),\quad |EG_{2}|\cdot |EH_{2}|=\Pi _{2}(E).}$

これら 3 つの方程式を組み合わせると、次の式が得られます 。 したがって、(直線とは無関係です )。内側の類似点に関する同様の記述も真です。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\Pi _{1}(E)\cdot \Pi _{2}(E)&=|EG_{1}|\cdot |EH_{1}|\cdot |EG_{2}|\cdot |EH_{2}|\\&=|EG_{1}|^{2}\cdot |EH_{2}|^{2}=|EG_{2}|^{2}\cdot |EH_{1}|^{2}\ .\end{aligned}}}$$$${\displaystyle |EG_{1}|\cdot |EH_{2}|=|EG_{2}|\cdot |EH_{1}|={\sqrt {\Pi _{1}(E)\cdot \Pi _{2}(E)}}}$$${\displaystyle g}$${\displaystyle I}$

不変量は、2 つの円のシュタイナー共通累乗( gemeinschaftliche Potenz der beiden Kreise bezüglich ihrer Ähnlichkeitspunkte )によって呼び出されます。^[6]${\textstyle {\sqrt {\Pi _{1}(E)\cdot \Pi _{2}(E)}},\ {\sqrt {\Pi _{1}(I)\cdot \Pi _{2}(I)}}}$

点のペアと点は反相同点である。点のペアと点は相同である。^{[7] [8]}${\displaystyle G_{1},H_{2}}$${\displaystyle H_{1},G_{2}}$${\displaystyle G_{1},G_{2}}$${\displaystyle H_{1},H_{2}}$

2番目の割線は次のように通ります 。 ${\displaystyle E}$

${\displaystyle |EH_{1}|\cdot |EG_{2}|=|EH'_{1}|\cdot |EG'_{2}|}$

割線定理から次の式が得られます。

4 つの点は円上にあります。${\displaystyle H_{1},G_{2},H'_{1},G'_{2}}$

同様に:

4 つの点も円上に存在します。${\displaystyle G_{1},H_{2},G'_{1},H'_{2}}$

3 つの円の根号線が根号で交わるので (根号線の記事を参照)、次の式が得られます。

割線は、与えられた 2 つの円の根軸上で交わります。${\displaystyle {\overline {H_{1}H'_{1}}},\;{\overline {G_{2}G'_{2}}}}$

下の割線 (図を参照) を上の割線に向かって動かすと、赤い円は両方の与えられた円に接する円になります。接円の中心は、直線 の切片です。割線は点で接線になります。接線は根線(図の黄色) で切片になります。 ${\displaystyle {\overline {M_{1}H_{1}}},{\overline {M_{2}G_{2}}}}$${\displaystyle {\overline {H_{1}H'_{1}}},{\overline {G_{2}G'_{2}}}}$${\displaystyle H_{1},G_{2}}$${\displaystyle p}$

同様の考慮により、与えられた円と点で交わる 2 番目の接円が生成されます(図を参照)。 ${\displaystyle G_{1},H_{2}}$

与えられた円に接するすべての円は、直線を変化させることで見つけることができます。 ${\displaystyle g}$

センターの位置

が円の​​中心で、半径が で与えられた円に接する場合、次のようになります。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle H_{1},G_{2}}$

${\displaystyle \rho =|XM_{1}|-r_{1}=|XM_{2}|-r_{2}}$

${\displaystyle \rightarrow \ |XM_{2}|-|XM_{1}|=r_{2}-r_{1}.}$

したがって、中心は双曲線上にあり、

焦点、${\displaystyle M_{1},M_{2}}$

頂点間の距離^{[説明が必要]} 、${\displaystyle 2a=r_{2}-r_{1}}$

中心は の中心です 。${\displaystyle M}$${\displaystyle M_{1},M_{2}}$

直線偏心と${\displaystyle c={\tfrac {|M_{1}M_{2}|}{2}}}$

${\displaystyle \ b^{2}=e^{2}-a^{2}={\tfrac {|M_{1}M_{2}|^{2}-(r_{2}-r_{1})^{2}}{4}}}$^{[説明が必要]}。

外側の接線円を考慮すると、次のような類似の結果が得られます。

が円の​​中心で、半径が で与えられた円に接する場合、次のようになります。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle G_{1},H_{2}}$

${\displaystyle \rho =|XM_{1}|+r_{1}=|XM_{2}|+r_{2}}$

${\displaystyle \rightarrow \ |XM_{2}|-|XM_{1}|=-(r_{2}-r_{1}).}$

中心は同じ双曲線上にあります。ただし、右の枝上にあります。

アポロニウスの問題も参照。

円に対する点のべき乗という考え方は球面にも拡張できる。^[9]割線定理と弦定理は球面にも当てはまり、円の場合と同じように文字通り証明できる。

点のべき乗は、2つの円の間のダルブー積の特別な場合であり、^{[10]で与えられる。}

${\displaystyle \left|A_{1}A_{2}\right|^{2}-r_{1}^{2}-r_{2}^{2}\,}$

ここで、A ₁とA _{2 は}2 つの円の中心であり、r ₁とr _{2 は}それらの半径です。点のべき乗は、半径の 1 つが 0 である特殊なケースで発生します。

2 つの円が直交する場合、ダルブー積はゼロになります。

2つの円が交差する場合、それらのダルブー積は

${\displaystyle 2r_{1}r_{2}\cos \varphi \,}$

ここで、φは交差角です（直交円のセクションを参照）。

ラゲールは、点Pのn次代数曲線に対するべき乗を、その点から、その点を通る円と曲線との交点までの距離の合計を、直径dのn乗で割ったものと定義しました。ラゲールは、この数値が直径に依存しないことを示しました (Laguerre 1905)。代数曲線が円の場合、これはこの記事の残りの部分で定義される円に対する点のべき乗とまったく同じではなく、d ²倍異なります。

• コクセター、HSM（1969）、幾何学入門（第2版）、ニューヨーク：ワイリー。
• Darboux、Gaston (1872)、「Sur les relationship entre les groupes de point, de cercles et de sphéres dans le plan et dans l'espace」、Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure、1 : 323–392、doi : 10.24033 /asens.87。
• ラゲール、エドモンド(1905)、Oeuuvres de Laguerre: Géométrie (フランス語)、Gauthier-Villars et fils、p. 20
• シュタイナー、ヤコブ(1826)。 「Einige geometrischen Betrachtungen」[いくつかの幾何学的考察]。クレレの日記（ドイツ語）。1 : 161–184 .土井:10.1515/crll.1826.1.161。S2CID  122065577。図8～26。
• バーガー、マルセル（1987）、幾何学I、シュプリンガー、ISBN 978-3-540-11658-5

• オグルヴィ CS (1990)、Excursions in Geometry、ドーバー出版、pp.  6– 23、ISBN 0-486-26530-7
• Coxeter HSM、Greitzer SL（1967）、Geometry Revisited、ワシントン：MAA、pp.  27– 31、159– 160、ISBN 978-0-88385-619-2
• ジョンソン RA (1960)、「上級ユークリッド幾何学：三角形と円の幾何学に関する初等論文」（1929 年版の Houghton Mifflin 編集の再版）、ニューヨーク：Dover Publications、pp.  28– 34、ISBN 978-0-486-46237-0

ウィキメディア・コモンズには、点のべき乗に関連するメディアがあります。

• ヤコブ・シュタイナーと収束点の力
• Weisstein、Eric W.「Circle Power」。MathWorld。
• 交差弦定理のカット・ザ・ノット
• 交差する弦の定理 インタラクティブアニメーション付き
• 交差割線定理 インタラクティブアニメーション付き