バーンサイドの定理

数学において、群論におけるバーンサイドの定理は、G が位数の有限群で、pとq が素数、aとb が負でない整数である場合、Gは解けると述べています。したがって、各非アーベル有限単純群は、少なくとも 3 つの異なる素数で割り切れる位数を持ちます。 ${\displaystyle p^{a}q^{b}}$

この定理は、有限群の表現論を用いてウィリアム・バーンサイド （1904年）によって証明された。この定理のいくつかの特殊なケースは、それ以前にバーンサイド（1897年）、ジョーダン（1898年）、フロベニウス（1902年）によって証明されていた。ジョン・G・トンプソンは、1960年代と1970年代のN群定理に関する研究から、表現論を使わない証明を抽出できることを指摘し、これは奇数位数の群についてはゴールドシュミット（1970年）によって、偶数位数の群についてはベンダー（1972年）によって明示的に行われた。マツヤマ（1973年）は証明を簡略化した。

次の証明は、バーンサイドの証明よりも多くの背景情報を用いており、背理法によるものです^{。p a} q b を 2 つの素数の累乗の最小の積とすると、^この数に等しい位数を持つ解けない群Gが存在します。

• G は自明な中心を持つ単純群であり、a はゼロではありません。

Gに非自明な真正規部分群 H がある場合、( Gの極小性のため) HとG / H は解けるはずなので、Gも解けるはずで、これは仮定と矛盾します。したがって、Gは単純です。

もしa がゼロであれば、G は有限q 群となり、したがって冪零となり、したがって解けるようになります。

同様に、G は可換ではあり得ません。そうでなければ、解けるはずがありません。G は単純であるため、その中心は自明でなければなりません。

• Gの元gにはq ^{d 個の}共役があり、あるd > 0 に対して存在します。

シローの定理の最初のステートメントにより、G には位数p ^aのサブグループ Sがあります。Sは非自明なp群なので、その中心Z ( S ) は非自明です。非自明な元を固定します。 gの共役の数は、その安定化サブグループG _gのインデックスに等しく、これはSのインデックスq ^{b を}割り切ります( SはG _gのサブグループであるため)。したがって、この数はq ^dの形式になります。さらに、 gは非自明であり、したがってGの中心ではないため、整数d は厳密に正です。 ${\displaystyle g\in Z(S)}$

• χという特性を持つ非自明な既約表現ρ が存在し、その次元n はqで割り切れず、複素数χ ( g ) はゼロではない。

( χ _i ) _{1 ≤  i  ≤  h}をGの既約指標族とする（ここでχ _{1 は}自明な指標を表す）。g は 1 と同じ共役類ではないため、群の指標表の列の直交関係は次式で表される。 ${\displaystyle \mathbb {C} }$

${\displaystyle 0=\sum _{i=1}^{h}\chi _{i}(1)\chi _{i}(g)=1+\sum _{i=2}^{h}\chi _{i}(1)\chi _{i}(g).}$

ここで、χ _i ( g ) は代数的整数です。なぜなら、それらは 1の根の和だからです。gで消えないすべての非自明な既約指標が1 でqで割り切れる値を取る場合、次の式が成り立ちます。

${\displaystyle -{\frac {1}{q}}=\sum _{i\geq 2,~\chi _{i}(g)\neq 0}{\frac {\chi _{i}(1 )}{q}}\chi _{i}(g)}$

は代数的整数です（代数的整数の整数倍の合計であるため）。これは不合理です。これはステートメントを証明します。

• 複素数q ^d χ ( g )/ nは代数的整数です。

G上の整数値クラス関数の集合Z ( [ G ]) は、上で有限生成な可換環です。したがって、そのすべての要素は 上で整列しており、特にg の共役類では値 1 をとり、それ以外では値 0 をとる 写像u は整列しています。${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {Z} }$

クラス関数fを ${\displaystyle A\colon Z(\mathbb {Z} [G])\rightarrow \operatorname {End} (\mathbb {C} ^{n})}$

${\displaystyle \sum _{s\in G}f(s)\rho (s)}$

は環準同型である。なぜなら、すべてのsに対して、シューアの補題は が準同型であることを意味するからである。そのトレースnλは ${\displaystyle \rho (s)^{-1}A(u)\rho (s)=A(u)}$${\displaystyle A(u)}$ ${\displaystyle \lambda I_{n}}$

${\displaystyle \sum _{s\in G}f(s)\chi (s)=q^{d}\chi (g).}$

準同型λI _nは積分元の準同型像であるため、複素数λ =  q ^d χ ( g )/ nは代数的整数であることが証明されます。

• 複素数χ ( g )/ nは代数的整数である。

q はnと互いに素なので、ベズーの恒等式により、次の 2 つの整数xとyが存在します。

${\displaystyle xq^{d}+yn=1\quad {\text{therefore}}\quad {\frac {\chi (g)}{n}}=x{\frac {q^{d}\chi (g)}{n}}+y\chi (g).}$

代数的整数の整数係数を持つ線形結合は再び代数的整数であるため、この文は証明されます。

• 表現ρ の下でのgの像は相似である。

ζ を複素数χ ( g )/ nとします。これは代数的整数なので、そのノルムN ( ζ ) (つまり、その共役の積、つまり上の最小多項式の根) は非ゼロの整数です。ここで、ζ は1 の根 ( ρ ( g )の固有値) の平均なので、その共役も 1 の根の平均であり、したがってそれらの絶対値はすべて 1 以下になります。それらの積N ( ζ ) の絶対値は 1 以上なので、それらの絶対値はすべて 1 でなければなりません (特にζ )、つまりρ ( g ) の固有値はすべて等しいので、ρ ( g ) は相似です。 ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

• 結論

N をρの核とする。相似性ρ ( g ) は Im( ρ ) （これはG / Nと標準的に同型）の中心であるが、g はGの中心ではない。したがって、単純群Gの正規部分群N は非自明であり、したがってGに等しくなる。これはρが非自明な表現であるという事実と矛盾する。

この矛盾は定理を証明します。

• ベンダー、ヘルムート (1972)、「バーンサイドのp ^a q ^b定理の群論的証明」、Mathematische Zeitschrift、126 (4): 327–338、doi :10.1007/bf01110337、MR  0322048、S2CID  119821947
• バーンサイド, W. (1904)、「順序 pαqβ の群について」、ロンドン数学会紀要(s2-1 (1)): 388–392、doi :10.1112/plms/s2-1.1.388
• ゴールドシュミット、デイビッド M. (1970)、「奇数素数に対するp ^a q ^b定理の群論的証明」、Mathematische Zeitschrift、113 (5): 373–375、doi :10.1007/bf01110506、MR  0276338、S2CID  123625253
• James , Gordon; Liebeck, Martin (2001)。Representations and Characters of Groups (第2版) Cambridge University Press。ISBN 0-521-00392 -X。第31章を参照。 
• 松山 宏 (1973)、「位数 2 ^a q ^bの群の可解性」、大阪数学誌、10 : 375–378、MR  0323890