バンブルビーモデル

バンブルビーモデルは、真空期待値を持つベクトル場が自発的にローレンツ対称性を破ることを記述する有効場理論である。^{[1] [2] [3] [4]バンブルビーモデルは、自発的に}ローレンツ対称性を破る 理論の最も単純なケースである。^[5]

バンブルビーモデルの開発は、弦理論（およびそれに続く他の量子重力理論）のメカニズムにより、テンソル値の場が真空期待値を獲得できるという発見が主な動機でした。^[6]バンブルビーモデルは、局所U （1）ゲージ理論とは異なります。しかし、一部のバンブルビーモデルでは、光子のように振る舞う質量のないモードが現れることがあります。

アラン・コステレツキーとスチュアート・サミュエルは1989年に、弦理論の文脈で生じるメカニズムがローレンツ対称性の自発的な破れにつながる可能性があることを示した。^{[6] [7]}有効場理論のレベルで、重力場と、非ゼロの真空期待値<B _μ > = b _μを持つベクトル場B _{μ を}含む一連のモデルが定義された。これらは、バンブルビーモデルとして知られるようになった。

通常、これらのモデルでは、自発的なローレンツの破れは、アクション内のポテンシャル項の存在によって引き起こされます。真空値b _μと背景メトリックにより、バンブルビーポテンシャルを最小化するソリューションが得られます。

真空値b _{μ は、}自発的にローレンツ対称性を破る固定された背景場として機能します。これは、ベクトルの場合の、標準モデル拡張で定義されているローレンツ対称性の破れの係数の一例です。

^{コステレツキー[8]}が考案した「マルハナバチモデル」という名称は、理論的には飛行能力が疑問視されることもあったが、それでも飛行に成功している昆虫に基づいている。 ^[9]

マルハナバチのラグランジアンの様々な例を構築することができます。それらの表現には、重力場とマルハナバチ場の運動項、自発的なローレンツ破れを誘発するポテンシャルV、物質項が含まれます。さらに、重力場、マルハナバチ場、物質場の間には結合が存在する可能性があります。^{[2] [3] [4] [8] [10 ] [11] [12] [13 ] [14] [15 ] [16 ] [17] [18] [19]}

一例として、重力セクターに対する従来のアインシュタイン-ヒルベルトと宇宙定数の項を使ったラグランジアンは次のようになります。

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {L}}_{B}&={\frac {1}{16\pi G}}(R-2\Lambda )+\sigma _{1}B^{\mu }B^{\nu }R_{\mu \nu }+\sigma _{2}B^{\mu }B_{\mu }R-{\frac {1}{4}}\tau _{1}B_{\mu \nu }B^{\mu \nu }\\&\quad +{\frac {1}{2}}\tau _{2}D_{\mu }B_{\nu }D^{\mu }B^{\nu }+{\frac {1}{2}}\tau _{3}D_{\mu }B^{\mu }D_{\nu }B^{\nu }-V(B_{\mu }B^{\mu }\mp b^{2})+{\mathcal {L}}_{\rm {M}}.\end{aligned}}}$

この表現では、は共変微分であり、項は定数のセット、、、、によって制御されます。 物質セクターラグランジアン には、 B _μへの結合を含めることができます。 ${\displaystyle D_{\mu }{\Big .}}$${\displaystyle B_{\mu \nu }=D_{\mu }B_{\nu }-D_{\nu }B_{\mu }{\Big .}}$${\displaystyle \sigma _{1}{\Big .}}$${\displaystyle \sigma _{2}{\Big .}}$${\displaystyle \tau _{1}{\Big .}}$${\displaystyle \tau _{2}{\Big .}}$${\displaystyle \tau _{3}{\Big .}}$${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\rm {M}}}$

この例では、ポテンシャルは、 ${\displaystyle V(B_{\mu }B^{\mu }\mp b^{2})}$

${\displaystyle B_{\mu }B^{\mu }\mp b^{2}=0.}$

この条件は、ベクトル場がb _μ b ^μ = ±b ²に従う真空値b _μを持つときに満たされます。ポテンシャル内の定数 ± b ²の値によって、真空ベクトルが時間的、光的、または空間的のいずれであるかが決まります。

ポテンシャルの一般的な例としては、滑らかな2次関数が挙げられる。

${\displaystyle V={\frac {1}{2}}\kappa (B_{\mu }B^{\mu }\mp b^{2})^{2},}$

ここで は定数です。この選択により、ポテンシャルVを最小化しないB _μの値に対して、理論に質量モードが現れることがあります。 ${\displaystyle \kappa {\Big .}}$

もう一つの一般的な選択肢はラグランジュ乗数体を使うもので、次のように表される。

${\displaystyle V=\lambda (B_{\mu }B^{\mu }\mp b^{2}).}$

この場合、質量モードは凍結されます。ただし、ラグランジュ乗数フィールド λ が理論の追加の自由度としてその代わりになります。

ポテンシャル項Vが理論から除去された極限では、マルハナバチモデルは重力のベクトルテンソル理論の例に還元される。 ^{[20] [21]}

、およびを伴う特殊ラグランジアンは、コステレツキーとサミュエル^[1]によって検討されたKSバンブルビーモデルとして知られるモデルの元のタイプです。この場合のラグランジアンは、バンブルビーの運動項に対してマクスウェル形式を持ち、次のように与えられます。 ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{B}}$${\displaystyle \tau _{1}=1{\Big .}}$${\displaystyle \sigma _{1}=\sigma _{2}=\tau _{2}=\tau _{3}=0{\Big .}}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\rm {KS}}={\frac {1}{16\pi G}}(R-2\Lambda )-{\frac {1}{4}}B_{\mu \nu }B^{\mu \nu }-V(B_{\mu }B^{\mu }\pm b^{2})+B_{\mu }J^{\mu }+{\mathcal {L}}_{\rm {M}}.}$

このため、B _{μ は}一般化されたベクトルポテンシャルとして考えることができ、物質電流との相互作用を含めることができます。 ${\displaystyle J^{\mu }{\Big .}}$

、、およびを含む特殊ラグランジアンはKS モデルに似ていますが、結合 によってパラメータ化された非最小重力結合が含まれます。この場合のラグランジアンは次のようになります。 ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{B}}$${\displaystyle \tau _{1}=1{\Big .}}$${\displaystyle \sigma _{1}=\xi /16\pi G{\Big .}}$${\displaystyle \sigma _{2}=\tau _{2}=\tau _{3}=0{\Big .}}$${\displaystyle \xi {\Big .}}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\frac {1}{16\pi G}}(R-2\Lambda +\xi B^{\mu }B^{\nu }R_{\mu \nu })-{\frac {1}{4}}B_{\mu \nu }B^{\mu \nu }-V(B_{\mu }B^{\mu }\pm b^{2})+B_{\mu }J^{\mu }+{\mathcal {L}}_{\rm {M}}.}$

すべてのマルハナバチモデルにおいて、ラグランジアン は局所ローレンツ変換と微分同相写像の両方に対して不変です。四周波形式は、あらゆる時空点における計量、マルハナバチ、物質場の局所成分を導入するために使用できます。自発的なローレンツの破れは、局所ローレンツフレームにおいてマルハナバチ場が非ゼロの真空値を持つときに発生します。

ビエルバイン形式は、バンブルビー理論の構造を表現するのに便利です。たとえば、自発的なローレンツの破れと微分同相の破れの間の直接的なつながりを表現する自然な方法を提供します。時空真空値b _μは、ビエルバインに対する真空解がベクトル場に対する局所真空値に作用するときに得られます。その結果、時空フレーム内の固定された背景場が生成され、粒子の微分同相が自発的に破れます。

バンブルビー模型は、重力理論における自発的なローレンツ対称性の破れの効果を調べるのに役立ちます。これらの効果には、南部-ゴールドストーンモード、大質量（ヒッグス）モードの存在、ヒッグス機構の可能性が含まれます。^{[18] [19]}バンブルビー模型では、ローレンツ対称性と微分同相対称性は自発的に破れるため、これらの効果は両方のタイプの対称性の破れの文脈で考慮する必要があります。

南部-ゴールドストーンモードは、連続対称性が自発的に破れたときに現れます。南部-ゴールドストーンモードは、理論の縮退真空に留まる、破れた対称性によって生成される励起と考えることができます。対照的に、質量のある (ヒッグス) モードは、ポテンシャルの最小値に留まらない励起です。この意味で、質量のあるモードは南部-ゴールドストーン励起と直交します。

バンブルビーモデルでは、破れた微分同相写像によって生成される励起は、ベクトル場B _μと計量 g _μνの両方に含まれています。これらの場の間で南部-ゴールドストーン自由度を効果的に移動させるさまざまなゲージ選択を行うことができます。 b _μの値が一定である KS バンブルビーを含む幅広いモデルでは、微分同相写像南部-ゴールドストーンモードは、物理的な質量のないモードとして伝播しません。代わりに、それらは補助モードです。

ゲージの選択の違いは、自発的なローレンツの破れから生じる南部-ゴールドストーン モードの解釈にも影響します。最も一般的なバンブルビー モデルでは、ローレンツ変換と微分同相写像のゲージ固定により、南部-ゴールドストーン モードのすべてが重力セクター (四周圏または場合によっては計量のみ) に含まれるようにすることができます。これらの選択により、バンブルビー モデルは重力の代替理論として扱われます。

ラグランジアン を持ち、定数 、 、 、 の値が制限されていない一般モデルの場合、Nambu–Goldstone モードには、伝播する質量のないモードとゴースト モードの両方が含まれます。調査の1つの方法は、伝播モードとしてのゴーストを排除するパラメーターの制限値を探すことです。 ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{B}}$${\displaystyle \sigma _{1}{\Big .}}$${\displaystyle \sigma _{2}{\Big .}}$${\displaystyle \tau _{1}{\Big .}}$${\displaystyle \tau _{2}{\Big .}}$${\displaystyle \tau _{3}{\Big .}}$

KS バンブルビーモデルでは、伝播する南部-ゴールドストーンモードは、軸ゲージ内の光子に似た特性を持つ 2 つの横方向の質量ゼロモードのみです。伝播する重力モードは、一般相対論における通常の重力子モードを表します。

南部-ゴールドストーンモードに加えて、B _μとg _μνにはポテンシャル最小値に留まらない複合励起があります。これは電弱模型のヒッグス励起に似た質量のあるモードです。

KS バンブルビーモデルでは、マッシブモード励起は重力の背景源および電荷密度の背景源として機能します。理論の安定性は、アインシュタイン-マクスウェル理論と比較して追加の自由度を表すマッシブモードの挙動によって影響を受けます。

KSモデルでは、質量モードを常にゼロに設定する適切な初期条件が存在することが示されています。一方、質量モードの質量スケールが大きくなると、その効果は大幅に抑制されます。質量モードの質量スケールが無限大の極限では、KSモデルは固定軸ゲージのアインシュタイン-マクスウェル理論と同等であることがわかっています。^{[18] [19]}

バンブルビー以外のモデルでは、既知の質量のない粒子が南部-ゴールドストーンモードとして発生することを許容していることに注意する。例えば、カーディナルモデルは対称的な2テンソルに基づいている。このモデルにおける自発的なローレンツ破れから生じるモードは、重力子と同一視できる。^[22]

自発的なローレンツ対称性の破れ を伴う理論において光子が南部-ゴールドストーンモードとして出現する可能性があるという考えは、特殊相対論の文脈で初めて浮上した。

1951年、ポール・ディラックは、電子の電荷を生み出す代替モデルとして、ラグランジュ乗数ポテンシャルを持つベクトル理論を検討した。^{[23]これは、}自発的なローレンツの破れを伴う理論であることが後に認識された。

12年後の1963年、ジェームズ・ビョルケンは、フェルミオン場の集団励起によって複合光子が南部・ゴールドストーンモードとして出現するというモデルを提案した。^{[24]この元のモデルにおける光子の観測可能な振る舞いは、}電気力学と同等であると主張された。

その後、1968年に南部陽一郎は対称性を破るポテンシャルを含まないベクトル模型を導入した。^[25]代わりに、ベクトル場が固定されたノルムを持つという制約が直接導入され、結果として得られた理論は質量モードを含まないが、固定ゲージにおける 電磁気学と同等であることが示された。

ベクトル場に加えて重力場も含むKSバンブルビーモデルは、特殊相対性理論における南部-ゴールドストーンモードとして生じる光子の考え方を一般相対性理論に拡張します。

KSモデルでは、局所的なU (1)ゲージ対称性は存在しない。代わりに、質量のない南部-ゴールドストーンモードと、自発的なローレンツの破れの結果としての質量のあるモードの両方が存在する。無限質量の限界では、光子は質量のない南部-ゴールドストーンモードとして現れる。

ローレンツ対称性は重力が存在する場合の局所対称性であるため、ローレンツ対称性が自発的に破れたときにヒッグス機構の可能性が生じる。従来のゲージ理論のヒッグス機構では、南部-ゴールドストーンモードは質量のあるゲージ場と関連した自由度として再解釈される。南部-ゴールドストーンモードは食べられ、ゲージボソンは質量を得る と言われている。

コステレツキーとサミュエルは、バンブルビー模型のヒッグス重力機構が重力子に質量を与える可能性を検討した。 ^[1]しかし、彼らは、質量項と思われるものはアフィン接続の2乗に関係していることを示した。接続は計量の導関数であるため、これは質量項ではあり得ない。したがって、バンブルビー模型には、質量のある重力子をもたらす従来のヒッグス機構は存在しない。 ${\displaystyle \Gamma _{\,\,\mu \nu }^{\lambda }}$

この結果は、時空がリーマン時空であると仮定している。代わりにリーマン・カルタン時空を考慮すると、ヒッグス機構が可能になる。^{[18] [19]}しかし、この場合、質量を獲得するのは重力子ではなく、自発的なローレンツの破れによってスピン接続が質量を獲得する。

リーマン・カルタン時空では、局所テンソルに作用する共変微分にはスピン接続が含まれます。このタイプの幾何学にはねじれが含まれるため、スピン接続により伝播できる追加の動的自由度のセットが提供されます。

リーマン・カルタン時空のバンブルビーモデルは、局所ローレンツ対称性の自発的な破れを通じて、スピン接続の質量項をもたらします。結果として生じるナンブ・ゴールドストーンモードは、ヒッグス機構の場合と同様に、スピン接続を質量のあるものにする自由度として再解釈できます。しかし、ゴーストやタキオンのない、結果として生じる質量のあるスピン接続に適した運動項を見つけることは、未解決の問題のままです。

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