菅野積分

数学において、菅野積分は、菅野正之にちなんで名付けられた^[1]ファジィ測度に関する積分の一種である。

を可測空間とし、を-可測関数とします。 ${\displaystyle (X,\Omega )}$${\displaystyle h:X\to [0,1]}$${\displaystyle \オメガ}$

ファジィ測度に関する関数のクリスプ集合上の菅野積分は次のように定義されます。 ${\displaystyle A\subseteq X}$${\displaystyle h}$${\displaystyle g}$

${\displaystyle \int _{A}h(x)\circ g={\sup _{E\subseteq X}}\left[\min \left(\min _{x\in E}h(x),g(A\cap E)\right)\right]={\sup _{\alpha \in [0,1]}}\left[\min \left(\alpha ,g(A\cap F_{\alpha })\right)\right]}$

どこ。 ${\displaystyle F_{\alpha }=\left\{x|h(x)\geq \alpha \right\}}$

ファジィ測度に関する関数のファジィ集合上の菅野積分は ${\displaystyle {\tilde {A}}}$次のように定義されます。 ${\displaystyle h}$${\displaystyle g}$

${\displaystyle \int _{A}h(x)\circ g=\int _{X}\left[h_{A}(x)\wedge h(x)\right]\circ g}$

ここで、 はファジー集合のメンバーシップ関数です。 ${\displaystyle h_{A}(x)}$${\displaystyle {\tilde {A}}}$

菅野積分はh指数と関係がある。^[2]

• ガンター・シュミット(2006) 関係尺度と統合、コンピュータサイエンス講義ノート# 4136、343−57 ページ、Springer books
• 菅野 正之・室伏 孝文 (1987)「擬似加法測度と積分」、数学解析応用誌122: 197−222 MR 0874969