ストークス現象

複素解析において、 GG ストークス (1847、1858)によって発見されたストークス現象は、関数の漸近的動作が複素平面の異なる領域で異なる場合があるというものです。解析関数の漸近展開を見ると、一見するとパラドックスが生じます。解析関数は連続しているので、漸近展開も連続すると予想されます。このパラドックスはストークスの初期の研究対象であり、ストークス現象として知られています。複素平面内で異なる漸近的動作を示す領域は、ストークス曲線および反ストークス曲線として知られる 1 つまたは 2 つの種類の曲線によって境界が定められています。この明らかなパラドックスはその後解決され、漸近展開における想定された不連続なジャンプは滑らかで連続であることが示されました。このパラドックスを解決するには、漸近展開を慎重に扱う必要があります。より具体的には、漸近展開には、通常の漸近展開に含まれる通常の代数項に比べて指数的に小さい項を追加で含める必要があります。ストークス現象では、ある領域の漸近展開に指数的に小さい寄与が含まれる場合があります (この寄与を無視しても、その領域では正しい漸近展開が得られます)。ただし、この指数的に小さい項は複素平面の別の領域では指数的に大きくなる可能性があり、この変化は反ストークス曲線全体で発生します。さらに、指数的に小さい項は他の指数的に小さい項のオン/オフを切り替える可能性があり、この変化はストークス曲線全体で発生します。これらの指数的に小さい項を含めると、漸近展開を複素領域全体の連続展開として記述できるようになり、ストークス現象のパラドックスが解決されます。

ストークス曲線全体で、指数的に小さい項が別の指数的に小さい項のオン/オフを切り替えることができます。

反ストークス曲線では、指数的に小さい準支配項が指数的に大きい支配項に切り替わる可能性があり、その逆も同様です。

ストークス曲線と反ストークス曲線にわたるこの挙動の変化は、漸近展開の発散に直接関係しています。ストークス現象を示す漸近級数に見られる通常の発散のタイプは、階乗乗発散として知られており、典型的な形をしています。

${\displaystyle \sum _{j}^{\infty }\epsilon ^{j}{\frac {A\Gamma (j+\alpha )}{\chi ^{j+\alpha }}},}$

ここで、は前因子と呼ばれる関数、は特異値と呼ばれる関数、 はガンマ関数です。 ${\displaystyle A}$${\displaystyle \chi}$${\displaystyle \ガンマ}$

ストークス曲線は条件および を使用して決定されます。反ストークス曲線は条件 によって決定されます。 ${\displaystyle \Im \{\chi \}=0}$${\displaystyle \Re \{\chi \}>0}$${\displaystyle \Re \{\chi \}=0}$

エアリー関数Ai( x )は、単純な微分方程式の2つの解のうちの1つである。

${\displaystyle y''-xy=0,\,}$

これは、複素数値を含む多くのxの値に対して近似することがしばしば有用である。与えられた引数の大きなxに対して、解は関数の線形結合によって近似することができる。

${\displaystyle {\frac {e^{\pm {\frac {2}{3}}x^{3/2}}}{x^{1/4}}}.}}$

しかし、これらの近似には多価関数が含まれているため、xの引数が特定の値を通過すると ( x が分岐カットを通過すると)、線形結合は変化します。対照的に、エアリー関数は単一の値で完全なため、近似を理解するには、複数の可能な値から 1 つの値を選択する必要があります (これにより、近似に分岐カットが適用されます)。たとえば、xの極限を大きく実数と見なし、エアリー関数を正と負の両方の値で近似すると、次の式が得られます。

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {Ai} (x)&{}\sim {\frac {e^{-{\frac {2}{3}}x^{3/2}}}{ 2{\sqrt {\pi }}\,x^{1/4}}}\\\mathrm {Ai} (-x)&{}\sim {\frac {\sin({\frac {2}{3}}x^{3/2}+{\frac {1}{4}}\pi )}{{\sqrt {\pi }}\,x^{1/4}}}\ \\end{整列}}}$

これらは 2 つのまったく異なる式です。何が起こっているかというと、xの引数を0 から pi に増やすと (上半分の複素平面で回転させる)、反ストークス線 (この場合は ) を横切ります。この反ストークス線では、 の係数はジャンプを余儀なくされます。 の係数はこの線でジャンプできますが、ジャンプを余儀なくされるわけではありません。この領域では係数は決定されていないため、引数x がπ/3 から π に変化すると、係数は徐々に変化します。 ${\displaystyle \operatorname {arg} \,x=\pi /3}$${\displaystyle {\frac {e^{-{\frac {2}{3}}x^{3/2}}}{x^{1/4}}}}$${\displaystyle {\frac {e^{+{\frac {2}{3}}x^{3/2}}}{x^{1/4}}}}$

引数 π/3、π、–π/3 を持つ 3 つの反ストークス線と、引数 2π/3、0、–2π/3 を持つ 3 つのストークス線があります。

エアリー関数の例は、次のように2階微分方程式の広いクラスに一般化できます。標準的な変数変換により、2階微分方程式は次のような形式に変更できます。

${\displaystyle {\frac {d^{2}w}{dz^{2}}}=f(z)w}$

ここで、fは単連結領域で正則であり、wは微分方程式の解である。そして、WKB法は、 wを次の形式の関数の線形結合として 漸近近似する場合がある。

${\displaystyle {\frac {e^{\pm \int _{a}^{z}{\sqrt {f(z')}}\,dz'}}{f(z)^{1/4} }}}$

定数aに対してである。（ aの異なる値を選択することは、線形結合で異なる係数を選択することと同等である。）反ストークス線とストークス線は、それぞれ実部と虚部のゼロである。

${\displaystyle \int _{a}^{z}{\sqrt {f(z')}}\,dz'.}$

aがfの単純な零点である場合、局所的にはfは のように見えます。解は局所的にはエアリー関数のように動作し、3 本のストークス線と 3 本の反ストークス線がaで交わります。 ${\displaystyle f'(a)(za)}$

• ボレル和

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