エアリープロセス

エアリー過程は、ランダム成長モデル理論とランダム行列理論において極限過程として現れる定常 確率過程のファミリーである。エアリー過程は、多くの初期条件（KPZ固定点も参照）に対する（1+1）次元KPZ普遍性クラス（Kardar-Parisi-Zhang方程式）のモデルの長時間、大規模な空間変動を記述する普遍的極限であると推測されている。

オリジナルのエアリー₂過程は、2002年に数学者のミヒャエル・プレホファーとハーバート・スポーンによって導入されました。^[1]彼らは、(1+1)次元KPZ普遍性クラスのモデル（PNG液滴）の高さ関数が、適切なスケーリングと初期条件下でエアリー_{2過程に収束し、}ほぼ確実に連続したサンプルパスを持つ定常過程であることを証明しました。

エアリー過程は、エアリー関数にちなんで名付けられています。この過程は、フレドホルム行列式といわゆる拡張エアリーカーネルを持つ有限次元分布によって定義できます。エアリー_{2過程の 1 点周辺分布は、} GUEのTracy-Widom 分布であることがわかります。

エアリー過程にはいくつかの種類がある。エアリー₁過程は笹本智弘^{[2]によって導入され、エアリー}₁の1点周辺分布はGOEのトレイシー-ウィダム分布のスカラー倍である。^[3]もう一つのエアリー過程はエアリー_統計過程である。^[4]

を にします。 ${\displaystyle t_{1} <t_{2} <\dots <t_{n}}$${\displaystyle \mathbb {R} }$

エアリー₂過程は次のような有限次元分布を持つ 。 ${\displaystyle A_{2}(t)}$

${\displaystyle P(A_{2}(t_{1})<\xi _{1},\dots ,A_{2}(t_{n})<\xi _{n})=\det(1-f^{1/2}K_{\operatorname {Ai} }^{\operatorname {ext} }f^{1/2})_{L^{2}(\{t_{1},\dots ,t_{n}\}\times \mathbb {R} )}}$

どこ

${\displaystyle f(t_{j},\xi ):=1_{\{(\xi _{j},\infty )\}}(\xi )}$

拡張エアリー核である${\displaystyle K_{\operatorname {Ai} }^{\operatorname {ext} }(t_{i},x;t_{j},y)}$

${\displaystyle K_{\operatorname {Ai} }^{\operatorname {ext} }(t_{i},x;t_{j},y):={\begin{cases}{\displaystyle \int _{0}^{\infty }e^{-z(t_{i}-t_{j})}\operatorname {Ai} (x+z)\operatorname {Ai} (y+z)\mathrm {d} z}&{\text{if }}\;t_{i}\geq t_{j},\\{\displaystyle -\int _{-\infty }^{0}e^{-z(t_{i}-t_{j})}\operatorname {Ai} (x+z)\operatorname {Ai} (y+z)\mathrm {d} z}&{\text{if }}\;t_{i><t_{j}.\end{ケース}}}$

• 拡張エアリー核がエアリー核に縮約され、したがって${\displaystyle t_{i}=t_{j}}$

${\displaystyle P(A_{2}(t)\leq \xi )=F_{2}(\xi ),}$

ここで、GUE の Tracy-Widom 分布です。${\displaystyle F_{2}(\xi )}$

• ${\displaystyle f^{1/2}K_{\operatorname {Ai} }^{\operatorname {ext} }f^{1/2}}$は上の計数測度と 上のルベーグ測度を持つ上のトレースクラス演算子であり、核は である。^[5]${\displaystyle L^{2}(\{t_{1},\dots ,t_{n}\}\times \mathbb {R} )}$${\displaystyle \{t_{1},\dots ,t_{n}\}}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle f^{1/2}K_{\operatorname {Ai} }^{\operatorname {ext} }(t_{i},x;t_{j},y)f^{1/2}}$

• Prähofer, Michael; Spohn, Herbert (2002). 「PNG 液滴とエアリー過程のスケール不変性」Journal of Statistical Physics . 108 . Springer. arXiv : math/0105240 .
• Johansson, Kurt (2003). 「離散多核成長と決定的過程」. Commun. Math. Phys . 242. Springer: 290. arXiv : math/0206208 . doi :10.1007/s00220-003-0945-y.
• Tracy, Craig; Widom, Harold (2003). 「エアリー過程の微分方程式系」. Electron. Commun. Probab . 8 : 93–98. arXiv : math/0302033 . doi :10.1214/ECP.v8-1074.