エアリーディスク

光学において、エアリーディスク（またはエアリーパターン）とは、光の回折によって制限される、円形開口部を持つ理想的なレンズが作り出すことができる最も集束された光のスポットを表すものです。エアリーディスクは、物理学、光学、天文学において重要な概念です。

均一に照明された円形開口部から生じる回折パターンには、エアリーディスクとして知られる明るい中央領域があり、その周囲に一連の同心円状のリングが現れる。これらはエアリーパターンと呼ばれている。どちらもジョージ・ビデル・エアリーにちなんで名付けられた。ディスクとリングの現象はエアリー以前から知られており、ジョン・ハーシェルは1828年に『エンサイクロペディア・メトロポリターナ』に掲載された光に関する記事の中で、高倍率の望遠鏡を通して見た明るい星の外観について記述している。

…その後、（穏やかな大気、均一な温度などの好条件の下では）星は完全に丸く、はっきりとした惑星円盤として見え、その周囲には2つ、3つ、またはそれ以上の明暗が交互に現れる環があり、注意深く観察すると、それらの環の境界にはわずかに色がついていることがわかります。それらは中心の円盤の周囲にほぼ等間隔で並んでいます…。^{[ 1 ]}

エアリーは、この現象を説明する最初の完全な理論的考察を書いた（1835年の「円形開口部を持つ物体ガラスの回折について」）。^{[ 2 ]}

数学的には、回折パターンは円形開口部を照射する光の波長と開口部の大きさによって特徴づけられる。回折パターンの見え方は、さらに、パターンを観察するために使用される目やその他の検出器の感度によっても特徴づけられる。

この概念の最も重要な応用例は、カメラ、顕微鏡、望遠鏡です。回折のため、レンズや鏡が光線を集束できる最小の点はエアリーディスクの大きさです。たとえ完璧なレンズを作ることができたとしても、そのようなレンズによって生成される画像の解像度には限界があります。解像度がレンズの不完全性ではなく回折によってのみ制限される光学系は、回折限界であると言われます。

開口部から十分に離れた場所で、入射光の方向から測った最初の最小値が生じる角度は、近似式で与えられる。

$$\displaystyle \sin \theta \approx 1.22{\frac {\lambda }{d}}}$$

または、角度が小さい場合は、単に

$${\displaystyle \theta \approx 1.22{\frac {\lambda }{d}},}$$

どこ${\displaystyle \theta }$ラジアン単位です。${\displaystyle \lambda }$は光の波長（メートル単位）であり、${\displaystyle {d}}$は開口部の直径（メートル）です。半値全幅は次のように表されます。${\displaystyle \theta _{\mathrm {FWHM} }=1.029{\frac {\lambda }{d}}.}$

エアリーはこの関係を次のように書いた。

$${\displaystyle s={\frac {2.76}{a}},}$$

どこ${\displaystyle {s}}$最初の最小値の角度は秒角で表され、${\displaystyle {a}}$は開口部の半径をインチで表​​したもので、光の波長は 0.000022 インチ (560  nm、可視光の波長の平均) と仮定した。^{[ 3 ]}これは円形開口部の角度分解能 に等しい。望遠鏡を通して見る星などの点光源である 2 つの物体をかろうじて分解するためのレイリー基準は、最初の物体のエアリー ディスクの中心が、2 番目の物体のエアリー ディスクの最初の最小値に位置することである。これは、回折限界システムの角度分解能が同じ式で与えられることを意味する。

しかし、最初の最小値が生じる角度（エアリーディスクの半径と呼ばれることもある）は波長と開口径のみに依存しますが、回折パターンの見え方は光源の強度（明るさ）によって変化します。回折パターンを観測するために使用される検出器（目、フィルム、デジタルなど）には検出の閾値があるため、完全な回折パターンがはっきりと見えない場合があります。天文学では、星の画像を高倍率で撮影しても、外側のリングがはっきりと見えないことがよくあります。リングが全く見えない場合もあり、その場合は星像は完全な回折パターンではなく、円盤（中央の最大値のみ）として現れます。さらに、暗い星は明るい星よりも小さな円盤として現れます。これは、暗い星では中央の最大値が検出閾値に達する部分が少ないためです。^{[ 4 ]} 理論上は、特定の波長で特定の開口部を通して見たすべての星やその他の「点光源」は、上記の式で特徴付けられる同じエアリー円盤半径（および同じ回折パターンサイズ）を持ち、強度だけが異なりますが、実際には、暗い光源はより小さな円盤として、明るい光源はより大きな円盤として見えます。^{[ 5 ]} これは、エアリーが彼の最初の研究で説明しました。^{[ 6 ]}

連続する環の光の急速な減少は、非常に明るい星では 2 つまたは 3 つの環が見えるのに対し、暗い星では環が見えないことを十分に説明する。異なる星の中心斑 (または偽円盤) の直径の違いも完全に説明される。したがって、中心光の強度の半分以下の光が目に映らない暗い星の偽円盤の半径は [ s = 1.17/ a ] で決定されるのに対し、中心光の強度の 1/10 の光が感知できる明るい星の偽円盤の半径は [ s = 1.97/ a ]で決定される。

エアリーの研究のこの特徴にもかかわらず、標準的な教科書でさえ、エアリーディスクの半径は単に最初の最小値の角度として与えられることが多い。^{[ 7 ]} 実際には、最初の最小値の角度はエアリーディスクのサイズの限界値であり、明確な半径ではない。

均一に照らされた円形開口部（または均一なフラットトップビーム）からの光は、フラウンホーファー回折（遠視野回折）により、開口部から遠く離れた場所でエアリー回折パターンを示す。

遠視野でエアリーパターンを示す条件は、開口部を照らす入射光が平面波であること（開口部全体で位相変化がないこと）、開口部の領域全体で強度が一定であること、そして距離が${\displaystyle R}$回折光が観察される開口部からの距離（スクリーン距離）は開口部のサイズに比べて大きく、半径は${\displaystyle a}$開口部の大きさは波長よりもあまり大きくない${\displaystyle \lambda }$光について。最後の2つの条件は、形式的には次のように記述できます。${\displaystyle R>a^{2}/\lambda .}$

実際には、均一照明の条件は、光源を開口部から遠く離れた場所に配置することで満たすことができます。遠視野の条件が満たされない場合（例えば、開口部が大きい場合）、開口部のすぐ後にレンズを配置することで（あるいはレンズ自体を開口部として用いることで）、開口部に非常に近いスクリーン上に遠視野エアリー回折パターンを得ることもできます。この場合、エアリーパターンは無限遠ではなく、レンズの焦点に形成されます。

したがって、レンズによって集束された均一な円形レーザービーム（フラットトップビーム）の焦点もエアリーパターンとなる。

カメラやイメージングシステムでは、遠くにある物体が対物レンズによってフィルム面または検出器面に結像され、検出器で遠視野回折パターンが観測されます。得られる画像は、理想的な画像と、絞りによる回折、あるいはレンズの有限サイズによる回折によって生じるエアリー回折パターンとの畳み込みです。これが、上述のレンズシステムの有限解像度につながります。

エアリーパターンの強度は、円形開口部のフーリエ変換の絶対値の二乗で与えられる、円形開口部のフラウンホーファー回折パターンに従う。

$${\displaystyle I(\theta )=I_{0}\left[{\frac {2J_{1}(k\,a\sin \theta )}{k\,a\sin \theta }}\right]^{2}=I_{0}\left[{\frac {2J_{1}(x)}{x}}\right]^{2}}$$

どこ${\displaystyle I_{0}}$はエアリーディスク中心におけるパターンの最大強度であり、${\displaystyle J_{1}}$は、1次の第1種ベッセル関数である。${\displaystyle k={2\pi }/{\lambda }}$波数、​${\displaystyle a}$は開口部の半径であり、${\displaystyle \theta }$は観測角、すなわち円形開口部の軸と開口部の中心と観測点を結ぶ線との間の角度である。${\displaystyle x=ka\sin \theta ={\frac {2\pi a}{\lambda }}{\frac {q}{R}},}$ここで、qは観測点から光軸までの半径方向距離、Rは観測点から開口部までの距離です。上記の式で与えられるエアリーディスクは、フラウンホーファー回折が適用される大きなRの場合にのみ有効であることに注意してください。近視野における影の計算は、フレネル回折を使用して処理する必要があります。

しかし、開口部にレンズを配置すると、正確なエアリーパターンが有限距離に現れます。その場合、エアリーパターンは、上記の式で示されるレンズの焦点距離（開口部に入射する光が平行光であると仮定）で与えられる距離に完全に焦点が合います。

ゼロ${\displaystyle J_{1}(x)}$は${\displaystyle x=ka\sin \theta \approx 3.8317,7.0156,10.1735,13.3237,16.4706\dots .}$このことから、回折パターンの最初の暗いリングは、${\displaystyle ka\sin {\theta }=3.8317\dots ,}$または

$${\displaystyle \sin \theta \approx {\frac {3.83}{ka}}={\frac {3.83\lambda }{2\pi a}}=1.22{\frac {\lambda }{2a}}=1.22{\frac {\lambda }{d}}.}$$

レンズを使用してエアリーパターンを有限距離に集束させる場合、半径は${\displaystyle q_{1}}$焦点 面上 の 最初の暗環の$${\displaystyle q_{1}=R\sin \theta _{1}\approx 1.22{R}{\frac {\lambda }{d}}=1.22{\frac {\lambda }{2A}}}$$

ここで、開口数Aは、エアリーパターンの中心から開口端までの距離 R' で、開口の半径d /2 を割った値に等しい。半径d /2の開口とレンズを、焦点面までの距離fに像を投影するカメラ (上の図を参照) と見なすと、開口数Aは、一般的に引用される f 値N = f/d (焦点距離とレンズ径の比) と次のように関係する。

$${\displaystyle A={\frac {r}{R'}}={\frac {r}{\sqrt {f^{2}+r^{2}}}}={\frac {1}{\sqrt {4N^{2}+1}}};}$$

N ≫ 1の場合、単純に次のように近似されます。${\textstyle A\approx 1/2N.}$これは、カメラの最高の画像解像度は、回折によってレンズの開口数（つまりF値）によって制限されることを示しています。

中央エアリーディスクの半分の最大値（${\displaystyle 2J_{1}(x)/x=1/{\sqrt {2}}}$）は${\displaystyle x=1.61633995\dots$ ;} 1/e ²ポイント (${\displaystyle 2J_{1}(x)/x=1/{e}}$）は${\displaystyle x=2.58383899\dots ,}$そして最初のリングの最大値は${\displaystyle x=5.13562230\dots .}$

強度${\displaystyle I_{0}}$回折パターンの中心は全パワーと関連している${\displaystyle P_{0}}$^{[ 12 ]}による開口部への入射

$${\displaystyle I_{0}={\frac {\mathrm {E} _{A}^{2}A^{2}}{2R^{2}}}={\frac {P_{0}A}{\lambda ^{2}R^{2}}}}$$

どこ${\displaystyle \mathrm {E} }$は開口部における単位面積あたりの光源強度、Aは開口部の面積（${\displaystyle A=\pi a^{2}}$）Rは開口部からの距離です。レンズの焦点面では、${\displaystyle I_{0}=(P_{0}A)/(\lambda ^{2}f^{2}).}$最初のリングの最大強度は、エアリーディスクの中心強度の約1.75%である。

表現${\displaystyle I(\theta )}$上記を積分することで、所定のサイズの円内の回折パターンに含まれる総パワーを求めることができる。

$${\displaystyle P(\theta )=P_{0}[1-J_{0}^{2}(ka\sin \theta )-J_{1}^{2}(ka\sin \theta )]}$$

どこ${\displaystyle J_{0}}$そして${\displaystyle J_{1}}$はベッセル関数である。したがって、最初の、2番目の、および3番目の暗いリング内に含まれる全電力の割合は、${\displaystyle J_{1}(ka\sin \theta )=0}$）はそれぞれ83.8%、91.0%、93.8%である。^{[ 13 ]}

エアリーディスクと回折パターンの古典的な扱いでは、入射光は、同じ波長のコヒーレント（同位相）光子からなる平面波であり、それらが互いに干渉し合うと仮定されています。有名な二重スリット実験では、コヒーレント光子が時間的に非常に離れていて互いに干渉できない場合でも、回折パターンが発生する可能性があることが示されました。これにより、各光子が光源から検出器までのすべての可能な経路を実際に通るという量子力学的描像が生まれました。リチャード・ファインマンは、各経路には複素振幅があり、これは経路に垂直で、波長ごとに1回転する単位ベクトルと考えることができると説明しました。検出確率は、検出器における複素振幅の合計の絶対値の2乗です。回折パターンは、経路が検出器の位置によって異なる合計となるために発生します。これらの原理に従って、ファインマン光子経路積分を使用して放物面鏡の焦点面の異なる点での検出確率を決定することにより、エアリーディスクと回折パターンを数値的に計算できます。^{[ 14 ]}

エアリーパターンは中心からの距離が増加するにつれてかなりゆっくりとゼロに減少し、外側のリングにはパターンの積分強度のかなりの部分が含まれています。その結果、 二乗平均平方根(RMS) スポットサイズは定義されません (つまり無限大)。スポットサイズの別の尺度は、エアリーパターンの比較的小さな外側のリングを無視し、中心ローブをガウスプロファイルで近似することです。

$${\displaystyle I(q)\approx I'_{0}\exp \left({\frac {-2q^{2}}{\omega _{0}^{2}}}\right)\ ,}$$

どこ${\displaystyle I'_{0}}$パターンの中心における放射照度は、${\displaystyle q}$はパターンの中心からの半径方向の距離を表し、${\textstyle \omega _{0}}$はガウスRMS幅（1次元）です。エアリーパターンとガウスプロファイルのピーク振幅を等しいとすると、${\displaystyle I'_{0}=I_{0},}$そして、${\textstyle \omega _{0}}$パターンの最適な近似を与えると、^{[ 15 ]が得られます。}

${\textstyle \omega _{0}\approx 0.84\lambda N\ ,}$

ここでNはf値である。一方、ガウスプロファイルがエアリーパターンと同じ体積を持つように強制したい場合は、次のようになる。

${\textstyle \omega _{0}\approx 0.90\lambda N\ .}$

光学収差理論では、エアリーディスク半径が幾何光線追跡から求められるRMSスポットサイズよりも大きい場合、イメージングシステムは回折限界であると表現されるのが一般的です（光学レンズ設計を参照）。ガウスプロファイル近似は、別の比較手段を提供します。上記の近似を用いると、ガウスウエストは${\textstyle \omega _{0}}$エアリーディスクのガウス近似の値は、エアリーディスク半径の約3分の2、つまり${\displaystyle 0.84\lambda N}$対照的に${\displaystyle 1.22\lambda N.}$

^{同様の方程式は、環状開口部またはビームからの回折パターンである遮蔽エアリー回折パターン[ 16 ] [ 17 ]}についても導出できます。これは、中央の円形ブロックによって遮蔽された均一な円形開口部（ビーム）です。この状況は、ニュートン式望遠鏡やシュミットカセグレン式望遠鏡など、二次鏡を組み込んだ多くの一般的な反射望遠鏡の設計に関連しています。

$${\displaystyle I(R)={\frac {I_{0}}{(1-\epsilon ^{2})^{2}}}\left({\frac {2J_{1}(x)}{x}}-{\frac {2\epsilon J_{1}(\epsilon x)}{x}}\right)^{2}}$$

どこ${\displaystyle \epsilon }$は環状開口部遮蔽率、つまり遮蔽ディスクの直径と開口部（ビーム）の直径の比です。${\displaystyle \left(0\leq \epsilon <1\right),}$また、xは上記のように定義される。${\displaystyle x=ka\sin(\theta )\approx {\frac {\pi R}{\lambda N}}}$どこ${\displaystyle R}$は焦点面における光軸からの半径方向距離であり、${\displaystyle \lambda }$波長と${\displaystyle N}$はシステムのf値です。 は、半径の円内に含まれる全エネルギーの割合（全エネルギーのうち、円内に含まれるエネルギーの割合）です。${\displaystyle R}$（焦点面内の光軸を中心とする）は、次のように表される。

$${\displaystyle E(R)={\frac {1}{(1-\epsilon ^{2})}}\left(1-J_{0}^{2}(x)-J_{1}^{2}(x)+\epsilon ^{2}\left[1-J_{0}^{2}(\epsilon x)-J_{1}^{2}(\epsilon x)\right]-4\epsilon \int _{0}^{x}{\frac {J_{1}(t)J_{1}(\epsilon t)}{t}}\,dt\right)}$$

のために${\displaystyle \epsilon \rightarrow 0}$これらの式は、上記の隠蔽されていない形式に帰着する。

望遠鏡に中央遮蔽物があると、実際には中央の円盤がわずかに小さくなり、中央の円盤を犠牲にして最初の明るい環が明るくなる。これは、より大きな副鏡を必要とする焦点距離の短い望遠鏡ではより問題となる。^{[ 18 ]}

均一な強度分布を持つ円形レーザービームをレンズで集光すると、レンズの焦点面にエアリーパターンが形成されます。焦点の中心での強度は${\displaystyle I_{0,Airy}=(P_{0}A)/(\lambda ^{2}f^{2})}$どこ${\displaystyle P_{0}}$ビームの総出力は、${\displaystyle A=\pi D^{2}/4}$ビームの面積（${\displaystyle D}$はビームの直径です。${\displaystyle \lambda }$は波長であり、${\displaystyle f}$はレンズの焦点距離です。

硬い開口部を通過するガウスビームはクリッピングされます。エネルギーが失われ、エッジ回折が発生し、実質的に発散が増加します。これらの効果により、遠視野での強度を最大化するガウスビームの直径が存在します。これは、${\displaystyle 1/e^{2}}$ガウス分布の直径は開口径の89%であり、遠視野における軸上強度は均一強度分布によって生成される強度の81%となる。^{[ 19 ]}

半径の円形断面のフーリエ積分${\displaystyle a}$は

${\displaystyle \int _{0}^{a}rdr\int _{0}^{2\pi }d\phi e^{i{\vec {k}}\cdot {\vec {r}}}=\int _{0}^{a}rdr\int _{0}^{2\pi }d\phi e^{ikr\cos \phi }=2\int _{0}^{a}rdr\int _{0}^{\pi }d\phi \cos(kr\cos \phi )=2\pi \int _{0}^{a}rdrJ_{0}(kr)=2\pi {\frac {a}{k}}J_{1}(ka).}$

これは、半軸を持つ楕円断面のフーリエ積分の特殊なケースです。${\displaystyle a}$そして${\displaystyle b}$: ^{[ 20 ] [ 21 ]}

${\displaystyle \int _{x^{2}/a^{2}+y^{2}/b^{2}\leq 1}e^{ik_{x}x}e^{ik_{y}y}dxdy=2\pi {\frac {ab}{c}}J_{1}(c)}$

どこ

${\displaystyle c\equiv {\sqrt {(k_{x}a)^{2}+(k_{y}b)^{2}}}.}$

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• デバイ・シェラー環
• ストレール比
• 斑点模様

• マイケル・W・デイビッドソン著「顕微鏡における概念と公式：分解能」Nikon MicroscopyU（ウェブサイト）。
  • Kenneth R. Spring、Brian O. Flynn、Michael W. Davidson。「画像形成：開口数と画像解像度」 。 2006年6月15日取得。（インタラクティブなJavaチュートリアル）分子式（ウェブサイト）。
  • Kenneth R. Spring、Brian O. Flynn、Michael W. Davidson。「画像形成：エアリーパターン形成」 。 2006年6月15日取得。（インタラクティブなJavaチュートリアル）分子式。
• ポール・パドリー著「円形開口部からの回折」Connexions （ウェブサイト） 、2005年11月8日 – 上記の公式を導出するための数学的詳細。
• 「エアリーディスク：それが何であるか、そしてなぜ避けられないのかの説明」、オールドハム・オプティカル（英国）。
• Weisstein, Eric W. 「ベッセル関数の零点」 . MathWorld .
• 「拡張ナイボア・ゼルニケ (ENZ) 解析と収差検索」。