章動

章動（ラテン語のnūtātiō「うなずく、揺れる」に由来）とは、ジャイロスコープ、惑星、飛行中の弾丸など、ほぼ軸対称な物体の回転軸における揺れ、傾き、またはうなずき運動、あるいは機構の意図された動作のことである。 

適切な基準系では、これは第2オイラー角の変化として定義できます。物体外部の力によって引き起こされない場合、これは自由章動またはオイラー章動（レオンハルト・オイラーにちなんで）と呼ばれます。^{[ 1 ]}

純粋な章動とは、第1オイラー角（または歳差運動）が一定となるような回転軸の動きのことです。天文学者は通常、回転軸の長期的な定常変化である歳差運動と、同様の短期的な変動の複合効果である章動を区別します。 ^{[ 2 ]}したがって、惑星の章動図の赤い円形の矢印は歳差運動と章動の複合効果を示していることがわかります。歳差運動がない場合の章動は、垂直方向からの傾き（第2オイラー角）のみを変化させます。ただし、宇宙船の力学では、歳差運動（第1オイラー角の変化）が章動と呼ばれることもあります。^{[ 3 ]}

水平面上にコマを傾けて置き、高速で回転させると、その回転軸は鉛直軸を中心に歳差運動を始める。しばらくすると、コマは回転軸上の各点が円軌道を描くような運動に落ち着く。鉛直方向の重力は、面との接触点を中心に水平方向のトルクτを生じさせる。コマはこのトルクの方向に角速度Ωで回転し、どの瞬間においても

$\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=\mathbf {\Omega } \times \mathbf {L} }$（外積）

ここで、Lはコマの瞬間角運動量である。^{[ 4 ]}

しかし、最初は歳差運動はなく、コマの上部が横下方向に傾きます。これによりトルクの不均衡が生じ、歳差運動が始まります。落下する際、コマは安定して歳差運動する傾きを超え、その傾きの周りで振動します。この振動は章動と呼ばれます。運動が減衰すると、振動は徐々に収束し、最終的に安定した歳差運動になります。^{[ 4 ] [ 5 ]}

コマやジャイロスコープの章動の物理は、先端が固定された重い対称コマのモデルを使って調べることができます。（対称コマとは回転対称性を持つコマ、より一般的には3つの主慣性モーメントのうち2つが等しいコマのことです。）最初は摩擦の影響は無視します。コマの運動は3つのオイラー角で表すことができます。コマの対称軸と垂直軸との間の傾斜角θ （第2オイラー角）、垂直軸を中心としたコマの方位角φ（第1オイラー角）、そしてコマ自身の軸を中心とした回転角ψ （第3オイラー角）です。したがって、歳差運動はφの変化であり、章動はθの変化です。^{[ 6 ]}

コマの質量がMで、その重心が支点から距離lにある場合、支持面に対するコマの重力ポテンシャルは

${\displaystyle V=Mgl\cos(\theta ).}$

z軸を対称軸とする座標系では、コマはx_軸、y_軸、z軸周りの_角速度ω1 、 ω2 、 ω3 と慣性モーメントI1 _、I2、 _I3を持ちます。対称なコマなので、I1 = _I2と_なります_。運動エネルギーは

$${\displaystyle E_{\text{r}}={\frac {1}{2}}I_{1}\left(\omega _{1}^{2}+\omega _{2}^{2}\right)+{\frac {1}{2}}I_{3}\omega _{3}^{2}.}$$

オイラー角の観点から言えば、これは

$${\displaystyle E_{\text{r}}={\frac {1}{2}}I_{1}\left({\dot {\theta }}^{2}+{\dot {\phi }}^{2}\sin ^{2}(\theta )\right)+{\frac {1}{2}}I_{3}\left({\dot {\psi }}+{\dot {\phi }}\cos(\theta )\right)^{2}.}$$

この系に対してオイラー・ラグランジュ方程式を解くと、運動は2つの定数aとb (それぞれ運動の保存量に関係する)に依存することがわかる。歳差運動の速度は、傾斜角と次の関係にある。

${\displaystyle {\dot {\phi }}={\frac {ba\cos(\theta )}{\sin ^{2}(\theta )}}.}$

傾斜角は、 u = cos( θ )の形式の微分方程式によって決定される。

${\displaystyle {\dot {u}}^{2}=f(u)}$

ここで、fはパラメータaとbおよびエネルギーと重力トルクに関連する定数に依存する3 次多項式です。fの根は、 θの変化率がゼロになる角度のコサインです。これらのうち 1 つは物理的な角度とは関係ありません。他の 2 つは、ジャイロスコープが振動する傾斜角の上限と下限を決定します。^{[ 7 ]}

惑星の章動は、他の天体の重力の影響によって自転軸の歳差運動の速度が時間とともに変化し、一定にならないために起こる現象である。イギリスの天文学者ジェームズ・ブラッドリーは、 1728年に地球の自転軸の章動を発見した。

地球

章動は、黄道面に対する地球の自転軸の傾きを微妙に変化させ、地球の傾きによって定義される主要な緯線（熱帯圏と極圏）を移動させる。

地球の場合、潮汐力の主な発生源は太陽と月であり、これらは互いに位置関係が絶えず変化するため、地球の自転軸に章動が生じます。地球の章動の最大成分の周期は18.6年で、これは月の軌道交点の歳差運動の周期と同じです。^{[ 1 ]}ただし、結果の精度に応じて考慮しなければならない他の重要な周期項があります。章動を表す数学的記述（方程式のセット）は「章動理論」と呼ばれます。この理論では、データに最もよく適合するように、多かれ少なかれアドホックな方法でパラメータが調整されます。単純な剛体力学では最良の理論は得られません。マントルの非弾性や核・マントル境界の変化など、地球の変形を考慮する必要があります。^{[ 8 ]}

章動の主項は月のノード線の後退によるもので、周期は 6798 日 (18.61 年) で同じです。経度ではプラスマイナス 17秒、傾斜角では9.2秒に達します。^{[ 9 ]}他の項はすべてはるかに小さく、次に大きい項は周期が 183 日 (0.5 年) で、振幅はそれぞれ 1.3秒と 0.6秒です。0.0001秒より大きいすべての項の周期(利用可能な技術で測定できる精度に近い) は 5.5 日から 6798 日の間にあります。何らかの理由で (海洋の潮汐周期と同様に)、34.8 日から 91 日の範囲を避けているように見えるため、章動を長周期項と短周期項に分割するのが慣例です。長期項は計算されて暦に記載されますが、短期項による追加の補正は通常表から取得されます。これらは、IAU 2000B の方法論に従ってユリウス日から計算することもできます。 ^{[ 10 ]}

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