文房具セット

数学、特に集合論とモデル理論において、定常集合とは、すべてのクラブ集合と交差するという意味において小さすぎない集合であり、測度論における非ゼロ測度の集合に類似している。定常集合には、順序数のサブセット、特定の濃度のサブセット、またはべき集合のいずれを見ているかによって、少なくとも 3 つの密接に関連した概念がある。

が非可算共終性基数であり、のすべてのクラブ集合と交差する場合、 は定常集合と呼ばれます。^[1] 集合が定常でない場合、それは薄い集合と呼ばれます。この概念は、数論における薄い集合の概念と混同しないでください。 ${\displaystyle \kappa}$ ${\displaystyle S\subseteq \kappa ,}$${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \kappa ,}$${\displaystyle S}$

が定常集合で がクラブ集合である場合、それらの交差も定常です。これは、 が任意のクラブ集合である場合、 はクラブ集合であり、したがって は空ではないためです。したがって、は定常である必要があります。 ${\displaystyle S}$${\displaystyle C}$${\displaystyle S\cap C}$${\displaystyle D}$${\displaystyle C\cap D}$${\displaystyle (S\cap C)\cap D=S\cap (C\cap D)}$${\displaystyle (S\cap C)}$

参照:フォーダーの補題

非可算共終性への制限は、自明性を回避するためです。 が可算共終性を持つとします。 が で定常である場合、かつ が で有界である場合に限ります。 特に、 の共終性がである場合、 の任意の 2 つの定常部分集合は定常交差を持ちます。 ${\displaystyle \kappa}$${\displaystyle S\subseteq \kappa }$${\displaystyle \kappa}$${\displaystyle \kappa \setminus S}$${\displaystyle \kappa}$${\displaystyle \kappa}$${\displaystyle \omega =\aleph _{0}}$${\displaystyle \kappa}$

の共終性が無数である場合、これは当てはまりません。実際、はさらに正則で、 は定常であると仮定します。すると、 は多くの互いに素な定常集合に分割できます。この結果は、 Solovayによるものです。 が後続基数である場合、この結果はUlamによるものであり、 Ulam 行列と呼ばれるものを使用して簡単に示されます。 ${\displaystyle \kappa}$${\displaystyle \kappa}$${\displaystyle S\subseteq \kappa }$${\displaystyle S}$${\displaystyle \kappa}$${\displaystyle \kappa}$

H. フリードマンは、すべての可算後続順序数 に対して、 のすべての定常部分集合には順序タイプ の閉部分集合が含まれることを示しました。 ${\displaystyle \beta}$${\displaystyle \omega _{1}}$${\displaystyle \beta}$

基数 と となる集合に対して、の定常部分集合 という概念もあります。ここで は、基数の部分集合の集合です。この概念はThomas Jechによるものです。前述のように、が定常となるのは、それがすべてのクラブ を満たす場合であり、ここで のクラブ部分集合は、最大で長さ の連鎖の和集合で閉じ、 で無制限となる集合です。これらの概念は一般に異なりますが、とについては、が定常となるのは で定常となる場合であり、その場合に限るという意味で一致します。 ${\displaystyle [X]^{\lambda}}$${\displaystyle \lambda}$${\displaystyle X}$${\displaystyle |X|\geq \lambda }$${\displaystyle [X]^{\lambda}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \lambda}$${\displaystyle [X]^{\lambda }=\{Y\subseteq X:|Y|=\lambda \}}$${\displaystyle S\subseteq [X]^{\lambda }}$${\displaystyle [X]^{\lambda}}$${\displaystyle \subseteq }$${\displaystyle \lambda}$${\displaystyle X=\omega _{1}}$${\displaystyle \lambda =\aleph _{0}}$${\displaystyle S\subseteq [\omega _{1}]^{\omega }}$${\displaystyle S\cap \omega _{1}}$${\displaystyle \omega _{1}}$

この概念には、Fodor の補題の適切なバージョンも当てはまります。

さらに、モデル理論的な性質を持ち、一般化定常性と呼ばれることもある 3 番目の概念があります。この概念は、おそらくMagidor、Foreman、Shelahによるもので、 Woodinによっても広く使用されています。

ここで、を空でない集合とします。集合が閉集合（閉じていて無限集合）であるためには、となる関数が存在する必要があります。ここで、は の有限部分集合の集合です。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle C\subseteq {\mathcal {P}}(X)}$${\displaystyle F:[X]^{<\omega }\to X}$${\displaystyle C=\{z:F[[z]^{<\omega }]\subseteq z\}}$${\displaystyle [y]^{<\omega }}$${\displaystyle y}$

${\displaystyle S\subseteq {\mathcal {P}}(X)}$がで定常であるためには、 が のすべてのクラブ部分集合を満たす必要があります。 ${\displaystyle {\mathcal {P}}(X)}$${\displaystyle {\mathcal {P}}(X)}$

モデル理論との関連を見るには、 が可算言語で宇宙を持つ構造であり、が のスコーレム関数である場合、定常はの基本部分構造を含まなければならないことに注目してください。実際、が定常であるためには、そのような任意の構造に対して に属するの基本部分構造が存在する必要があります。 ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X}$${\displaystyle F}$${\displaystyle M}$${\displaystyle S}$${\displaystyle M}$${\displaystyle S\subseteq {\mathcal {P}}(X)}$${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$${\displaystyle S}$

• 「定常集合」。PlanetMath 。