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ユージン・ウィグナーとフレデリック・ザイツにちなんで名付けられたウィグナー・ザイツ単位格子は、結晶格子にボロノイ分割を適用して構築された基本単位格子である。結晶学における結晶性物質の研究に用いられる。
結晶の特異な性質は、原子が格子と呼ばれる規則的な三次元配列で配置されていることである。結晶性物質に帰属するすべての性質は、この高度に秩序だった構造に由来する。このような構造は、離散的な並進対称性を示す。このような周期系をモデル化して研究するためには、対称性を記述し、それによってこの対称性から生じる物質特性について結論を導き出すための数学的な「道具」が必要となる。ウィグナー・ザイツセルは、これを実現するための手段である。
ウィグナー・ザイツセルは、格子点がちょうど1つだけ含まれる単位セルである原始セルの例です。任意の格子に対して、可能な原始セルは無限に存在します。しかし、任意の格子に対してウィグナー・ザイツセルは1つしか存在しません。それは、空間内でその格子点に他のどの格子点よりも近い点の軌跡です。
ウィグナー・ザイツセルは、他の基本セルと同様に、格子の離散的な並進対称性の基本領域である。運動量空間における逆格子の基本セルは、ブリルアンゾーンと呼ばれる。
ボロノイ分解の概念は、ピーター・グスタフ・ルジューヌ・ディリクレによって研究され、ディリクレ領域という名称につながりました。さらに、エフグラフ・フェドロフ（フェドロフ多面体または平行多面体）、ゲオルギー・ボロノイ（ボロノイ多面体）[ 1 ] [ 2 ]、ポール・ニグリ（作用領域）[ 3 ]によって貢献がなされました。
凝縮系物理学への応用は、1933年の論文でユージン・ウィグナーとフレデリック・ザイツによって初めて提案され、元素ナトリウム中の自由電子のシュレーディンガー方程式を解くために用いられた。[ 4 ]彼らは、ナトリウム中のウィグナー・ザイツセルの形状（切頂八面体）を等体積の球として近似し、周期境界条件を用いてシュレーディンガー方程式を厳密に解いた。球の表面において。ウィグナー・ザイツセルの非球形性も考慮に入れた同様の計算は、後にジョン・C・スレーターによって行われた。[ 5 ]
3次元空間を敷き詰める位相的に異なる多面体はわずか5つしかない。これらは平行多面体と呼ばれています。これらは、高次元など、数学的に興味深い対象です。[ 6 ]これらの5つの平行多面体は、ジョン・ホートン・コンウェイとニール・スローンが提案したように、射影平面の概念を使用して3次元格子を分類するために使用できます。[ 7 ]しかし、位相的分類では、任意のアフィン変換が同一のクラスにつながるとみなされますが、より具体的な分類では、空間をタイル状に敷き詰める平行な辺を持つ24種類のボロノイ多面体の異なるクラスにつながります。[ 3 ]例えば、直方体、正四角柱、立方体は同じ位相的クラスに属しますが、辺の比率が異なることで区別されます。ブラベー格子の24種類のボロノイ多面体のこの分類は、ボリス・ドローネーによって最初に提示されました。[ 8 ]
格子点の周りのウィグナー・ザイツセルは、空間内でその格子点に他のどの格子点よりも近い点の軌跡として定義される。 [ 9 ]
ウィグナー・ザイツセルは原始セルであることが数学的に証明できる。これは、セルが隙間や穴を残さずに実空間全体を覆うことを意味し、この性質はテセレーションとして知られている。
ウィグナー・ザイツセルに具現化された一般的な数学的概念は、より一般的にはボロノイセルと呼ばれ、与えられた点の集合に対して平面をこれらのセルに分割したものは、ボロノイ図として知られています。
セルは、まず格子点を選択することによって決定できます。点が選択されたら、その近傍のすべての格子点に線が引かれます。各線の中点に、最初の線群のそれぞれに垂直な線が引かれます。このようにして囲まれた最小の領域は、ウィグナー・ザイツ基本セルと呼ばれます。
3次元格子の場合も手順は同様ですが、ステップ2では垂直線を引く代わりに、格子点間の線の中点に垂直な平面を引きます。
すべての基本単位胞の場合と同様に、格子内のすべての領域または空間はウィグナー・ザイツ単位胞で埋めることができ、隙間は生じません。
近傍の格子点が、囲まれた面積または体積が原始セルの正しい面積または体積になるまで継続的に調べられます。あるいは、格子の基底ベクトルが格子縮小を使用して縮小されている場合は、一定数の格子点のみを使用する必要があります。[ 10 ] 2 次元では、原点と頂点を共有する 4 つの単位セルを構成する格子点のみを使用する必要があります。3 次元では、原点と頂点を共有する 8 つの単位セルを構成する格子点のみを使用する必要があります。
複合格子（基底に複数のベクトルを持つ結晶）の場合、各格子点は複数の原子を表します。最も近い格子点ではなく、最も近い原子に従ってさらにボロノイ分解を行うことで、各ウィグナー・ザイツセルをサブセルに分割できます。[ 12 ]例えば、ダイヤモンド結晶構造には2つの原子基底が含まれています。ダイヤモンドでは、炭素原子は四面体sp3結合を持っていますが、四面体は空間をタイル状に敷き詰めないため、ダイヤモンド結晶構造のボロノイ分解は実際には三方切頂四面体ハニカムになります。[ 13 ]もう1つの例は、ウェア・フェラン構造の多面体近似を形成するA15相の原子にボロノイ分解を適用することです。
ウィグナー・ザイツセルは常に、基となるブラベー格子と同じ点対称性を持つ。[ 9 ]例えば、立方体、切頂八面体、菱形十二面体は点対称性 O hを持つ。これは、それらを生成するために使用されるそれぞれのブラベー格子がすべて、点対称性 O hを持つ立方格子系に属しているためである。
実際には、ウィグナー・ザイツセル自体は実空間の記述にはほとんど用いられず、代わりに従来の単位セルが用いられるのが一般的です。しかし、逆格子空間に適用する場合、同じ分解法は極めて重要となります。逆格子空間におけるウィグナー・ザイツセルはブリルアンゾーンと呼ばれ、バンド図を作成する際に用いられ、物質が導体、半導体、絶縁体のいずれであるかを判定するために使用されます。
