フォン・ノイマン-モルゲンシュテルンの効用定理

この証明は構成的である。それは、目的の関数がどのように${\displaystyle u}$構築可能である。ここでは、確実な結果の数が有限である場合の構築プロセスを概説する。^{[ 6 ]： 132-134}

確実な結果がn個あると仮定します。${\displaystyle A_{1}\dots A_{n}}$確実な結果はすべて宝くじと見なせることに注意してください。それは、結果が確率1で選択される退化した宝くじです。したがって、完全性公理と推移性公理により、結果を最悪から最良へと順序付けることができます。

${\displaystyle A_{1}\preceq A_{2}\preceq \cdots \preceq A_{n}}$

少なくとも1つの不等式が厳密であると仮定します（そうでなければ効用関数は自明で定数になります）。したがって${\displaystyle A_{1}\prec A_{n}}$我々は、これら二つの極端な結果（最悪の結果と最良の結果）を効用関数の尺度単位として用い、以下のように定義する。

${\displaystyle u(A_{1})=0}$そして${\displaystyle u(A_{n})=1}$

あらゆる確率において${\displaystyle p\in [0,1]}$確率で最良の結果を選択する宝くじを定義する${\displaystyle p}$そして、それ以外の最悪の結果：

${\displaystyle L(p)=p\cdot A_{n}+(1-p)\cdot A_{1}}$

ご了承ください${\displaystyle L(0)\sim A_{1}}$そして${\displaystyle L(1)\sim A_{n}}$。

連続性の公理により、すべての確実な結果に対して${\displaystyle A_{i}}$可能性は${\displaystyle q_{i}}$すなわち、以下の通りである。

${\displaystyle L(q_{i})\sim A_{i}}$。

それから

${\displaystyle 0=q_{1}\leq q_{2}\leq \cdots \leq q_{n}=1}$。

すべての${\displaystyle i}$結果に対する効用関数${\displaystyle A_{i}}$は次のように定義される。

${\displaystyle u(A_{i})=q_{i}}$

つまり、あらゆる宝くじの効用は${\displaystyle M=\sum _{i}p_{i}A_{i}}$uの期待値は次のとおりです。

${\displaystyle u(M)=u\left(\sum _{i}p_{i}A_{i}\right)=\sum _{i}p_{i}u(A_{i})=\sum _{i}p_{i}q_{i}}$

この効用関数が与えられた選好と一致する理由を理解するために、宝くじを考えてみよう。${\displaystyle M=\sum _{i}p_{i}A_{i}}$結果を選択する${\displaystyle A_{i}}$確率で${\displaystyle p_{i}}$しかし、我々の仮定によれば、意思決定者は確実な結果とそうでない結果の間で無関心である。${\displaystyle A_{i}}$そして宝くじ${\displaystyle q_{i}\cdot A_{n}+(1-q_{i})\cdot A_{1}}$したがって、還元公理により、彼は宝くじとどちらにも無関心である。${\displaystyle M}$そして、次の宝くじ：

${\displaystyle M'=\sum _{i}p_{i}[q_{i}\cdot A_{n}+(1-q_{i})\cdot A_{1}]}$

${\displaystyle M'=\left(\sum _{i}p_{i}q_{i}\right)\cdot A_{n}+\left(\sum _{i}p_{i}(1-q_{i})\right)\cdot A_{1}}$

${\displaystyle M'=u(M)\cdot A_{n}+(1-u(M))\cdot A_{1}}$

宝くじ${\displaystyle M'}$実質的には、最良の結果が確率で得られる宝くじのようなものだ。${\displaystyle u(M)}$そうでなければ最悪の結果となる。

したがって、もし${\displaystyle u(M)>u(L)}$合理的な意思決定者であれば、宝くじを選ぶだろう${\displaystyle M}$宝くじをめぐって${\displaystyle L}$なぜなら、そうすることで彼が最良の結果を得る可能性が高まるからだ。

したがって：

${\displaystyle L\prec M\;}$かつその場合に限り${\displaystyle E(u(L))<E(u(M)).}$

フォン・ノイマンとモルゲンシュテルンは、自分たちの結論の説得力に人々が驚くことを予想していた。しかし彼らによれば、彼らの効用関数が機能する理由は、まさに期待値が最大化される何かの役割を果たすように構築されているからである。

「多くの経済学者は、我々があまりにも多くのことを仮定しすぎていると感じるだろう…我々はあまりにも多くのことを示しすぎたのではないか？…我々の知る限り、我々の公準はもっともらしい…我々は、数値効用を、数学的期待値の計算が正当であるものとして実質的に定義した。」 – VNM 1953、§  3.1.1 p.16 および §  3.7.1 p. 28 ^{[ 1 ]}

したがって、この定理の内容は、uの構成が可能であるということであり、その性質についてはほとんど何も主張していない。

現実世界でお金を使ったギャンブルに直面した人は、自分のドル資産の期待値を最大化するように行動しないことがよくあります。たとえば、1000ドルの貯金しか持っていない人は、10,000ドルを獲得できる確率が20%であっても、すべてを賭けて10,000ドルを獲得することに抵抗を感じるかもしれません。

${\displaystyle 20\%(\$10\,000)+80\%(\$0)=\$2000>100\%(\$1000)}$

しかし、その人がVNM合理的であれば、そのような事実は自動的に効用関数uに反映される。この例では、次のように結論づけることができる。

${\displaystyle 20\%u(\$10\,000)+80\%u(\$0)<u(\$1000)}$

ここでいうドル金額は、実際には結果（「価値」を参照）を表しており、個人が直面する可能性のある3つの状況を示しています。特に、 uは、VNM合理性と全く矛盾することなく、 u（$1）+ u（$1）≠ u（$2）のような性質を示すことができます。これは、金銭的リスク回避の定量的理論につながります。

1738年、ダニエル・ベルヌーイは論文^{[ 7 ]}を発表し、その中で、合理的な行動は関数uの期待値を最大化することによって記述できると主張した。特に、この関数uは金銭的価値を持つ必要はなく、リスク回避を考慮に入れている。これが期待効用仮説である。前述のように、この仮説は大胆な主張に見えるかもしれない。期待効用定理の目的は、期待効用仮説が成り立つ場合を記述する「控えめな条件」（すなわち公理）を提供することであり、これは直接的かつ直感的に評価できる。

「公理は多すぎず、その体系はできるだけ単純明快であるべきであり、各公理は、その適切性を直接判断できるような、直感的な意味を即座に持つべきである。我々のような状況では、この最後の要件は、曖昧さがあるにもかかわらず、特に重要である。我々は、直感的な概念を数学的に扱いやすくし、そのためにはどのような仮説が必要かをできるだけ明確に把握したいのである。」 – VNM 1953 §  3.5.2、p. 25 ^{[ 1 ]}

したがって、期待効用仮説が合理性を特徴づけていないという主張は、VNMの公理の1つを否定することになる。様々な一般化された期待効用理論が登場しており、そのほとんどは独立性公理を削除または緩和している。

この定理はギャンブルの結果の性質について何も仮定していないため、例えば他者の生死、病気、健康など、道徳的に重要な出来事も含まれる可能性があります。適切な効用関数を構築／定義することで、フォン・ノイマン＝モルゲンシュテルン型の合理的な主体は、そのような結果を考慮に入れ、集団の利益のために個人の富や幸福を犠牲にすることができます。言い換えれば、自然に「個人的利益」と認識されるものと、自然に「利他主義」と認識されるものの両方が、フォン・ノイマン＝モルゲンシュテルン型の合理的な個人の効用関数に含まれる可能性があります。したがって、様々なフォン・ノイマン＝モルゲンシュテルン型の効用関数を用いることで、主体中心の行動から主体中立的な行動まで、あらゆる範囲の行動が可能になります。

有用性${\displaystyle N}$は、${\displaystyle pM}$フォン・ノイマン＝モルゲンシュテルンの合理的エージェントは、${\displaystyle 1N}$そして${\displaystyle pM+(1-p)0}$したがって、フォン・ノイマン＝モルゲンシュテルン型のエージェントは、自身の将来の可能性のある自己間の効用のより平等な、あるいは「公平な」分配を支持することはできない。

功利主義的な道徳理論の中には、集団の「総効用」や「平均効用」と呼ばれる量に関心を寄せ、他者の効用や幸福を優先し、自身の効用や幸福を顧みないことを道徳の本質とするものがある。これらの概念は、VNM効用と関連しているものの、それとは異なるものである。

• 1) VNM効用は意思決定効用である。^{[ 2 ]}それは人が決定を下す基準となるものであり、定義上無視できるものではない。
• 2) VNM効用は複数の個人間で正統的に加算されるものではないため（制限事項を参照）、"合計VNM効用"および"平均VNM効用"は直接意味をなさない（何らかの正規化仮定が必要となる）。

「経験効用」を意味するE-効用という用語は、ベンサムの最大幸福原理のような「快楽主義的」効用を指すために造語されました^{[ 2 ]}。道徳は意思決定に影響を与えるため、VNM合理的なエージェントの道徳は、そのエージェント自身の効用関数の定義に影響を与えます（上記参照）。したがって、VNM合理的なエージェントの道徳は、エージェント自身のVNM効用と他者のVNM効用、E-効用、または「幸福」との相関関係によって特徴づけられますが、エージェント自身のVNM効用を無視することによって特徴づけられることはなく、これは矛盾しています。

LとMが宝くじである場合、 pL  +  (1  − p ) Mは単に「拡張」されてそれ自体が宝くじとみなされるため、VNM形式は「入れ子状のギャンブル」として経験される可能性のあるものを無視します。これは、人々がリスクに関するリスクの認識を避けることを選択するというエルスバーグ問題に関連しています。フォン・ノイマンとモルゲンシュテルンはこの限界を認識していました。 

「…ギャンブルの特定の効用といった概念は、このレベルでは矛盾なく定式化することはできない。これは逆説的な主張のように思えるかもしれない。しかし、この捉えどころのない概念を公理化しようと真剣に試みた人なら誰でも、おそらくこれに同意するだろう。」 – VNM 1953 §  3.7.1、p. 28。^{[ 1 ]}

任意の2つのVNMエージェントXとYについて、それらのVNM効用関数u _Xとu _Yは加法定数と乗法正スカラーを除いてのみ決定されるため、この定理は両者を比較する標準的な方法を提供しません。したがって、u _X ( L ) + u _Y ( L )やu _X ( L )  − u _Y ( L )のような式は標準的に定義されておらず、u _X ( L ) < u _Y ( L )のような比較も標準的に真または偽ではありません。特に、前述の集団の「総VNM効用」と「平均VNM効用」は、正規化の仮定なしには標準的に意味を持ちません。   

期待効用仮説は、アレーのパラドックスなどの実験室ベースの実証実験において、予測精度が不完全であることが示されている。