有限半群の多様性

数学、より正確には半群論において、有限半群の多様体は、いくつかの優れた代数的性質を持つ半群のクラスです。これらのクラスは、代数的概念または位相的概念のいずれかを使用して、2 つの異なる方法で定義できます。有限モノイドの多様体、有限順序付き半群の多様体、および有限順序付きモノイドの多様体は同様に定義されます。

この概念は、普遍代数における多様体の一般的な概念と非常によく似ています。

ここで、同等の定義が 2 つ与えられます。

有限（順序付き）半群の多様体Vは、次のような有限（順序付き）半群のクラスです。

• 部門により閉鎖されます。
• 有限の直積を取ることに関して閉じている。

最初の条件は、 V が部分半群の取点と商の取点において閉じていることを述べることと同等です。2 番目の特性は、空積、つまり 1 つの元の自明な半群が各多様体に属することを意味します。したがって、多様体は必ず空ではありません。

有限（順序付き）モノイド多様体は、その要素がモノイドである有限（順序付き）半群の多様体です。つまり、上記の 2 つの条件を満たす（順序付き）モノイドのクラスです。

さまざまな有限半群の位相的な定義を与えるためには、profinite 語に関連する他の定義がいくつか必要です。

A を任意の有限アルファベットとします。A ^{+ を}その自由半群とします。次に、 をA上の原有限語の集合とします。半群射が与えられた場合、を への唯一の連続拡張とします。 ${\displaystyle {\hat {A}}}$ ${\displaystyle \phi :A^{+}\to S}$${\displaystyle {\hat {\phi }}:{\hat {A}}\to S}$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle {\hat {A}}}$

原有限単位元は原有限語のペアuとvです。半群S は、各半群射に対して等式が成り立つ場合、原有限単位元u = vを満たすと言われます。 ${\displaystyle \phi :A^{+}\to S}$${\displaystyle {\hat {\phi }}(u)={\hat {\phi }}(v)}$

有限半群の多様体は、原有限単位元の集合Pを満たす有限半群のクラスです。

有限モノイドの多様体は有限半群の多様体のように定義されますが、半群射の代わりにモノイド射を考慮する必要があるという違いがあります。 ${\displaystyle \phi :A^{*}\to M}$${\displaystyle \phi :A^{+}\to M}$

同様の定義によって、さまざまな有限順序付き半群/モノイドも与えられますが、順序付き半群/モノイドの射を考慮する必要があるという違いがあります。

半群のクラスの例をいくつか示します。最初の例では有限恒等式、つまり 2 つの単語が有限単語である部分有限恒等式を使用します。次の例では部分有限恒等式を使用します。最後の例は多様体ではないクラスの例です。

より多くの例については、 「半群の特殊なクラス」の記事を参照してください。

• 最も自明な例は、すべての有限半群の多様体Sです。この多様体は、有限等式の空集合によって定義されます。このクラスの有限半群が部分半群、有限積、および有限商に対して閉じていることは明らかです。
• 2 番目に自明な例は、自明な半群のみを含む多様体1です。この多様体は、有限等式の集合 { x = y } によって定義されます。直感的に、この等式は、半群のすべての要素が等しいことを示しています。このクラスは、部分半群、有限積、および商に対して自明に閉じています。
• 可換有限半群の多様体Com は、有限等式xy = yxによって定義されます。直感的には、この等式は半群の要素の各ペアが可換であることを示しています。
• 冪等有限半群の多様性は、profinite 等式xx = xによって定義されます。

より一般的には、前限定語uと文字xが与えられたとき、前限定等式ux = xu は、 uの可能な像の集合には中心化子の要素のみが含まれることを示します。同様に、ux = x は、 uの可能な像の集合には左の恒等式のみが含まれることを示します。最後に、ux = u は、 uの可能な像の集合が左ゼロで構成されていることを示します。

限定語ではない前限定語を使用した例を示します。

原有限語xが与えられたとき、 が と 表記されます。したがって、半群射 が与えられたとき、は の唯一のべき等冪です。したがって、原有限等式では、 は任意のべき等冪を表します。 ${\displaystyle x^{\omega }}$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }x^{n!}}$${\displaystyle \phi :A^{+}\to S}$${\displaystyle {\hat {\phi }}(x^{\omega })}$${\displaystyle \phi (x)}$${\displaystyle x^{\omega }}$

有限群のクラスGは有限半群の多様体である。有限群は、一意の冪等性を持ち、さらに左と右の単位元である有限半群として定義できることに注意する。これら2つの特性をプロ有限等式の観点から翻訳すると、多様体Gはプロ有限等式の集合によって定義されることがわかる。${\displaystyle \{x^{\omega }=y^{\omega }{\text{ and }}x^{\omega }y=yx^{\omega }=y\}.}$

有限モノイドのクラスは有限半群の多様体ではないことに注意してください。実際、このクラスは部分半群の下で閉じていません。これを確認するには、モノイドではない任意の有限半群Sを取ります。これは、単位元を付加することによって形成される モノイドS ¹の部分半群です。

ライターマンの定理によれば、上記の 2 つの定義は同等です。ここで証明の概略を示します。

代数的定義のように半群の多様体 V が与えられた場合、 Vのすべての半群が満たす半有限単位元の集合P を選択できます。

逆に、原有限単位元u = vが与えられたとき、この原有限単位元を満たす半群のクラスは、部分半群、商、有限積に関して閉じていると言えます。したがって、このクラスは有限半群の多様体です。さらに、多様体は任意の交差に関して閉じているため、原有限単位元の任意の集合P u ⁱ = v ⁱが与えられたとき、P を満たす半群のクラスは、それらの原有限単位元のすべての半群を満たす半群のクラスの交差です。つまり、これは有限半群の多様体の交差であり、これは有限半群の多様体です。

有限半群の多様な定義は普遍代数の多様な概念にヒントを得ています。普遍代数における多様な定義を思い出してください。そのような多様な定義は、次の式と同値です。

• 準同型像、部分代数、（直）積に対して閉じた構造のクラス。
• 一連の恒等式を満たす構造のクラス。

多様体の 2 つの概念の主な違いを次に示します。このセクションでは、「(任意の) 半群の多様体」とは、「1 つの二項演算子の語彙上の普遍代数の多様体としての半群のクラス」を意味します。これら 2 種類の多様体の定義から、(任意の) 半群の任意の多様体Vに対して、 Vの有限半群のクラスは有限半群の多様体であることがわかります。

まず、(任意の)半群の多様体のどの部分多様体とも類似しない有限半群の多様体の例を示します。次に、恒等式を使用して 2 つの定義の違いを示します。最後に、代数定義の違いを示します。

上で示したように、有限群のクラスは有限半群の多様体です。しかし、群のクラスは（任意の）半群の多様体のサブ多様体ではありません。確かに、は無限群であるモノイドです。しかし、そのサブモノイドは群ではありません。（任意の）群のクラスには半群が含まれ、そのサブ半群の 1 つが含まれていないため、多様体ではありません。群を考慮する場合の有限の場合と無限の場合の主な違いは、有限群のサブモノイドは有限群であるということです。一方、無限群はサブモノイドを取ることに関して閉じていません。 ${\displaystyle \langle \mathbb {Z} ,+\rangle }$${\displaystyle \langle \mathbb {N} ,+\rangle }$

有限群のクラスは有限半群の多様体ですが、(任意の)半群の多様体のサブ多様体ではありません。したがって、ライターマンの定理は、このクラスが前有限単位元を使用して定義できることを示しています。また、バーコフの HSP 定理は、このクラスが (有限語の) 単位元を使用して定義できないことを示しています。これは、有限半群の多様体の定義に前有限語の概念が使用され、単位元の概念が使用されない理由を示しています。

ここで、多様体の代数的定義について考えます。多様体が任意の直積に対して閉じていることを要求することは、多様体が自明であるか、無限構造を含んでいることを意味します。多様体が有限構造のみを含むように制限するために、有限半群の多様体の定義では、任意の直積の概念の代わりに有限積の概念を使用します。

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