サレン・キー位相

サレン・キー・トポロジーは、 2次アクティブフィルタを実装するために使用される電子フィルタ・トポロジーであり、そのシンプルさで特に高く評価されています。^{[ 1 ]}これは、電圧制御電圧源（VCVS）フィルタ・トポロジーの退化形です。 1955年にMITリンカーン研究所のRPサレンとELキーによって導入されました。^{[ 2 ]}

VCVSフィルタは、入力インピーダンスがほぼ無限大で出力インピーダンスがゼロの電圧増幅器を使用して、2極のローパス、ハイパス、バンドパス、バンドストップ、またはオールパス応答を実現します。VCVSフィルタは、インダクタを使用せずに高いQ値と通過帯域ゲインを実現できます。VCVSフィルタには独立性という利点もあります。VCVSフィルタは、各段のチューニングに影響を与えることなくカスケード接続できます。サレンキーフィルタは、ユニティゲイン増幅器（つまりバッファ増幅器）を使用するVCVSフィルタのバリエーションです。

1955年、サレンとキーは真空管カソードフォロワ増幅器を使用しました。カソードフォロワは、電圧利得が1の増幅器の妥当な近似です。現代のアナログフィルタの実装では、演算増幅器（オペアンプとも呼ばれる）が使用されることがあります。入力インピーダンスが高く、利得を容易に選択できるため、従来の非反転構成の演算増幅器はVCVSの実装でよく使用されます。サレン・キーフィルタの実装では、電圧フォロワとして構成されたオペアンプがよく使用されますが、バッファ増幅器にはエミッタフォロワやソースフォロワもよく使​​用されます。

VCVSフィルタは部品の許容誤差に対して比較的耐性がありますが、高いQ値を得るには、極端な部品値のばらつきや高いアンプゲインが必要になる場合があります。^{[ 1 ]} 2つ以上のステージをカスケード接続することで、高次のフィルタが得られます。

図1に、ユニティゲイン演算増幅器を用いて実現した一般的なユニティゲイン・サレンキーフィルタのトポロジーを示す。 以下の解析は、演算増幅器が理想的であるという仮定に基づいている。

オペアンプは負帰還構成になっているため、${\displaystyle v_{+}}$そして${\displaystyle v_{-}}$入力は一致する必要があります（つまり、${\displaystyle v_{+}=v_{-}}$) ただし、入力を反転すると${\displaystyle v_{-}}$出力に直接接続されています${\displaystyle v_{\text{out}}}$、 など

キルヒホッフの電流法則（KCL）を適用すると、${\displaystyle v_{x}}$ノード、

 式（1）と式 （2）を組み合わせると、

${\displaystyle {\frac {v_{\text{in}}-v_{x}}{Z_{1}}}={\frac {v_{x}-v_{\text{out}}}{Z_{3}}}+{\frac {v_{x}-v_{\text{out}}}{Z_{2}}}。$

 オペアンプの非反転入力端子に式（1）とKCLを適用する${\displaystyle v_{+}}$与える

${\displaystyle {\frac {v_{x}-v_{\text{out}}}{Z_{2}}}={\frac {v_{\text{out}}}{Z_{4}}},}$

つまり

式 （2）と （3）を組み合わせると、

式 (4)を整理すると、伝達関数が得られる。

これは通常、2次線形時不変（LTI）システムを記述する。

もし$\displaystyle Z_{3}}$コンポーネントは、${\displaystyle v_{\text{out}}}$フィルタは、${\displaystyle Z_{1}}$そして$\displaystyle Z_{3}}$コンポーネントは、別の電圧分圧器とカスケード接続され、$\displaystyle Z_{2}}$そして${\displaystyle Z_{4}}$コンポーネント。バッファアンプは、$\displaystyle Z_{3}}$フィルタの出力にコンポーネントを追加することで、単純な2分割回路の場合よりも性能が向上します。この解釈から、サレン・キーフィルタは、オペアンプの非反転入力端子を反転入力端子の下に配置して描かれることが多く、出力と接地との類似性を強調しています。

図2に、ユニティゲインのローパス構成の例を示します。 ここではバッファとして演算増幅器を使用していますが、エミッタフォロワも有効です。この回路は、上記の一般的なケースと等価です。

${\displaystyle Z_{1}=R_{1}、\quad Z_{2}=R_{2}、\quad Z_{3}={\frac {1}{sC_{1}}}、\quad Z_{4}={\frac {1}{sC_{2}}}。}$

この2次ユニティゲイン低域通過フィルタの伝達関数は

${\displaystyle H(s)={\frac {\omega _{0}^{2}}{s^{2}+2\alpha s+\omega _{0}^{2}}},}$

減衰のない固有振動数${\displaystyle f_{0}}$減衰​${\displaystyle \alpha }$Qファクター${\displaystyle Q}$減衰比${\displaystyle \zeta }$は、

${\displaystyle \omega _{0}=2\pi f_{0}={\frac {1}{\sqrt {R_{1}R_{2}C_{1}C_{2}}}}}$

そして

${\displaystyle 2\alpha =2\zeta \omega _{0}={\frac {\omega _{0}}{Q}}={\frac {1}{C_{1}}}\left({\frac {1}{R_{1}}}+{\frac {1}{R_{2}}}\right)={\frac {1}{C_{1}}}\left({\frac {R_{1}+R_{2}}{R_{1}R_{2}}}\right).}$

それで、

${\displaystyle Q={\frac {\omega _{0}}{2\alpha }}={\frac {\sqrt {R_{1}R_{2}C_{1}C_{2}}}{C_{2}\left(R_{1}+R_{2}\right)}}.}$

の${\displaystyle Q}$この係数は、フィルタの周波数応答のピークの高さと幅を決定します。このパラメータが増加すると、フィルタは単一の共振周波数付近で「リンギング」する傾向があります。${\displaystyle f_{0}}$（関連する議論については「 LCフィルター」を参照してください。）

デザインの選択

デザイナーは​${\displaystyle Q}$そして${\displaystyle f_{0}}$用途に適した。${\displaystyle Q}$値は最終的な形状を決定する上で重要です。たとえば、通過帯域の周波数応答が最大限に平坦な2次バターワースフィルタは、${\displaystyle Q}$の${\displaystyle 1/{\sqrt {2}}}$それに比べて、${\displaystyle Q=1/2}$これは、同一の単純なローパスフィルタを2つ直列に接続したものに相当する。

パラメータが2つ、未知数が4つあるため、設計手順では通常、両方の抵抗器間の比率とコンデンサ間の比率を固定します。 1つの可能性は、${\displaystyle C_{1}}$そして${\displaystyle C_{2}}$として${\displaystyle n}$対${\displaystyle 1/n}$そして、${\displaystyle R_{1}}$そして${\displaystyle R_{2}}$として${\displaystyle m}$対${\displaystyle 1/m}$。 それで、

${\displaystyle {\begin{aligned}R_{1}&=mR,\\R_{2}&=R/m,\\C_{1}&=nC,\\C_{2}&=C/n.\end{aligned}}}$

その結果、${\displaystyle f_{0}}$そして${\displaystyle Q}$式は次のように簡略化されます

${\displaystyle \omega _{0}=2\pi f_{0}={\frac {1}{RC}}}$

そして

${\displaystyle Q={\frac {mn}{m^{2}+1}}.}$

例えば、多かれ少なかれ恣意的な選択から始めると${\displaystyle C}$そして${\displaystyle n}$適切な値${\displaystyle R}$そして${\displaystyle m}$望ましい結果になるように計算できます${\displaystyle f_{0}}$そして${\displaystyle Q}$実際には、実際のオペアンプの非理想性により、部品値の選択によって性能が異なります。^{[ 3 ]}例えば、抵抗値が高いと回路のノイズ発生が増加し、バイポーラ入力トランジスタを備えたオペアンプの出力のDCオフセット電圧が増加します。

2次ユニティゲインハイパスフィルタ${\displaystyle f_{0}=72~{\text{Hz}}}$そして${\displaystyle Q=0.5}$図 4に示されています。

2次ユニティゲインハイパスフィルタの伝達関数は次のようになる。

${\displaystyle H(s)={\frac {s^{2}}{s^{2}+\underbrace {2\pi \left({\frac {f_{0}}{Q}}\right)} _{2\zeta \omega _{0}={\frac {\omega _{0}}{Q}}}s+\underbrace {(2\pi f_{0})^{2}} _{\omega _{0}^{2}}}},}$

減衰のない固有振動数${\displaystyle f_{0}}$そして${\displaystyle Q}$係数については、上記のローパスフィルタの説明で説明しました。上記の回路は、次の式によってこの伝達関数を実現します。

${\displaystyle \omega _{0}=2\pi f_{0}={\frac {1}{\sqrt {R_{1}R_{2}C_{1}C_{2}}}}}$

（以前と同様に）そして

${\displaystyle {\frac {1}{2\zeta }}=Q={\frac {\omega _{0}}{2\alpha }}={\frac {\sqrt {R_{1}R_{2}C_{1}C_{2}}}{R_{1}(C_{1}+C_{2})}}.}$

それで

${\displaystyle 2\alpha =2\zeta \omega _{0}={\frac {\omega _{0}}{Q}}={\frac {C_{1}+C_{2}}{R_{2}C_{1}C_{2}}}.}$

上記のローパスフィルタの設計に使用した方法と同様のアプローチに従ってください。

図5に、VCVSフィルタを用いて実装された非ユニティゲイン帯域通過フィルタの例を示す。異なるトポロジーと非ユニティゲインを提供するように構成された演算増幅器を使用しているが、一般的なSallen-Keyトポロジー と同様の方法で解析できる。その伝達関数は次式で与えられる。

${\displaystyle H(s)={\frac {\overbrace {\left(1+{\frac {R_{\text{b}}}{R_{\text{a}}}}\right)} ^{G}{\frac {s}{R_{1}C_{1}}}}{s^{2}+\underbrace {\left({\frac {1}{R_{1}C_{1}}}+{\frac {1}{R_{2}C_{1}}}+{\frac {1}{R_{2}C_{2}}}-{\frac {R_{\text{b}}}{R_{\text{a}}R_{\text{f}}C_{1}}}\right)} _{2\zeta \omega _{0}={\frac {\omega _{0}}{Q}}}s+\underbrace {\frac {R_{1}+R_{\text{f}}}{R_{1}R_{\text{f}}R_{2}C_{1}C_{2}}} _{{\omega _{0}}^{2}=(2\pi f_{0})^{2}}}}.}$

中心周波数${\displaystyle f_{0}}$（すなわち、振幅応答がピークとなる周波数）は次式で与えられる。

${\displaystyle f_{0}={\frac {1}{2\pi }}{\sqrt {\frac {R_{\text{f}}+R_{1}}{C_{1}C_{2}R_{1}R_{2}R_{\text{f}}}}}.}$

Qファクター${\displaystyle Q}$は

${\displaystyle {\begin{aligned}Q&={\frac {\omega _{0}}{2\zeta \omega _{0}}}={\frac {\omega _{0}}{\omega _{0}/Q}}\\[10pt]&={\frac {\sqrt {\frac {R_{1}+R_{\text{f}}}{R_{1}R_{\text{f}}R_{2}C_{1}C_{2}}}}{{\frac {1}{R_{1}C_{1}}}+{\frac {1}{R_{2}C_{1}}}+{\frac {1}{R_{2}C_{2}}}-{\frac {R_{\text{b}}}{R_{\text{a}}R_{\text{f}}C_{1}}}}}\\[10pt]&={\frac {\sqrt {(R_{1}+R_{\text{f}})R_{1}R_{\text{f}}R_{2}C_{1}C_{2}}}{R_{1}R_{\text{f}}(C_{1}+C_{2})+R_{2}C_{2}\left(R_{\text{f}}-{\frac {R_{\text{b}}}{R_{\text{a}}}}R_{1}\right)}}.\end{aligned}}}$

負帰還ループ内の分圧回路は「内部ゲイン」を制御する。${\displaystyle G}$オペアンプの:

${\displaystyle G=1+{\frac {R_{\text{b}}}{R_{\text{a}}}}.}$

内なる利益${\displaystyle G}$値が高すぎると、フィルターが発振します。

• フィルター設計
• 電子フィルタのトポロジー
• 調和振動子
• 共振

• テキサス・インスツルメンツ アプリケーションレポート：サレン・キー・アーキテクチャの分析
• Analog Devicesのフィルタ設計ツール–電圧帰還型オペアンプを使用したアクティブフィルタを設計するためのシンプルなオンラインツール。 
• TIアクティブフィルタ設計ソースFAQ
• 誰でも学べるオペアンプ–第16章 
• サレンキーフィルタの高周波改良 - 阻止帯域減衰フロアの改善
• Sallen用オンライン計算ツール–主要なローパス/ハイパスフィルター
• フィルター設計・解析用オンライン計算ツール
• ECE 327: 出力フィルタリング実験の手順(2015年9月24日にWayback Machineにアーカイブ) –セクション3 (「平滑化ローパスフィルタ」) では、Sallen – Key Butterworthローパスフィルタを使用したアクティブフィルタリングについて説明します。 
• フィルタリング入門：サレンキーを用いた多極フィルタ アナログ・デバイセズのマット・ダフがサレンキー回路の仕組みを解説します。