真理値意味論

形式意味論において、真理値意味論はタルスキアン意味論の代替となるものです。これは主にルース・バーカン・マーカス^{[ 1 ]}、H・ルブラン、J・マイケル・ダン、ヌエル・ベルナップ^{[ 2 ]}によって提唱されてきました。これは（量化子の）置換解釈または置換量化とも呼ばれます。

これらの意味論の考え方は、普遍量化子（または存在量化子）は、量化子の範囲内の変数を定数に置き換えた式の論理積（または論理和）として解釈できるというものです。例えば、${\displaystyle \forall xPx}$読むことができる（${\displaystyle Pa\land Pb\land Pc\land \dots }$） どこ${\displaystyle a,b,c}$は、すべての出現箇所を置き換える個々の定数です。${\displaystyle x}$で${\displaystyle Px}$。

真理値意味論と述語論理の標準意味論の主な違いは、真理値意味論にはドメインがないことです。原子式と量化式の真理節だけが標準意味論の真理節と異なります。標準意味論では、原子式は${\displaystyle Pb}$または${\displaystyle Rca}$は、(参照対象が)${\displaystyle b}$述語の拡張のメンバーである${\displaystyle P}$それぞれ、ペアが${\displaystyle (c,a)}$拡張のメンバーです${\displaystyle R}$真理値意味論では、原子式の真理値は基本です。普遍式（存在式）は、非量化部分式のすべての（一部の）基底代入インスタンスが真である場合に限り真です。これを標準意味論と比較してください。標準意味論では、普遍式（存在式）は、ドメインのすべての（一部の）メンバーに対して、その式がすべての（一部の）メンバーに対して成り立つ場合に限り真であるとされています。たとえば、${\displaystyle \forall xA}$（ある解釈の下で）真であるのは、すべての${\displaystyle k}$ドメインにおいて${\displaystyle D}$、${\displaystyle A(k/x)}$が真である（${\displaystyle A(k/x)}$代入の結果${\displaystyle k}$すべての発生について${\displaystyle x}$で${\displaystyle A}$（ここでは定数はそれ自体の名前、つまりドメインの要素でもあると仮定しています。）

真理値意味論には問題がないわけではない。まず、強完全性定理とコンパクト性が成り立たない。これを確認するには、集合を考えてみよう。${\displaystyle \{F(1),F(2),\dots \}}$明らかにその公式は${\displaystyle \forall xF(x)}$は集合の論理的帰結ではあるが、その有限部分集合の帰結ではない（したがって、そこから演繹することはできない）。このことから、コンパクト性と強完全性定理の両方が真理値意味論では成り立たないことが直ちにわかる。これは、Dunn と Belnap 1968 で与えられた論理的帰結の修正定義によって修正される。 ^{[ 2 ]}

自由論理では別の問題が生じる。個体定数が1つだけの言語を考えてみよう。${\displaystyle c}$それは非指定的であり述語である${\displaystyle F}$「存在しない」という意味です。${\displaystyle \exists xFx}$置換例（実際にはこの解釈におけるすべての置換例）が真であっても、この命題は偽となる。この問題を解決するには、定数が存在する何かを指す少なくとも1つの置換例の解釈において、存在量化された命題は真であるという但し書きを追加するだけでよい。

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