変換問題

アダム・スミスがこの主題を導入するために用いた単純な例を考えてみましょう。土地が自由で、奴隷制度がなく、道具の生産が現在ほとんどない狩猟経済を想定します。${\displaystyle (B)}$そして鹿${\displaystyle (D)}$は狩猟される。現代の線形生産モデルの言葉で言えば、各財の生産に必要な単位労働投入量を と呼ぶ。${\displaystyle l_{i}}$、 どこ${\displaystyle i}$多分${\displaystyle B}$または${\displaystyle D}$（つまり、${\displaystyle l_{B}}$は、ビーバーを捕獲するために通常必要とされる均一な労働時間数であり、${\displaystyle l_{D}}$鹿を例にとると、後で均一賃金率を使用できるようにするためには、労働が均一であると仮定する必要があることに注意してください。

この場合、各ハンターは鹿1頭を交換することに同意するだろうとスミスは気づいた（${\displaystyle l_{D}}$時間）${\displaystyle {l_{D} \over l_{B}}}$ビーバー。比率${\displaystyle {l_{D} \over l_{B}}}$すなわち、ビーバー生産に対する（単位）シカ生産に投入される労働量の相対的な比率は、シカとビーバーの交換比率、つまりビーバー単位で表したシカの「相対価格」を与える。さらに、ここでは唯一のコストが労働コストであるため、この比率は、任意の競争的な均一賃金率におけるシカの「相対単位コスト」でもある。${\displaystyle w}$したがって、鹿の生産に投入される労働の相対量は、ビーバー単位で表した鹿の競争的相対価格と一致し、それは次のように表すことができる。${\displaystyle {P_{D} \over P_{B}}}$（${\displaystyle P}$は、任意の計算単位における絶対的な競争価格を表し、次のように定義されます。${\displaystyle P_{i}=wl_{i}}$)

生産に希少な資本財も使用される場合、事態はさらに複雑になる。狩猟にも矢が必要だとしよう。${\displaystyle (A)}$入力係数は${\displaystyle a_{i}}$つまり、例えばビーバーを1匹捕まえるには、${\displaystyle a_{B}}$矢印に加えて、${\displaystyle l_{B}}$労働時間。これで、ビーバーと鹿の単位総コスト（または絶対競争価格）は次のようになります。

${\displaystyle P_{i}=wl_{i}+k_{A}a_{i},(i=B,D)}$

どこ${\displaystyle k_{A}}$これは、各矢印を使用する際に発生する資本コストを表します。

この資本コストは2つの部分から構成されています。まず、生産中に矢印が紛失した場合の代替品の交換コストがあります。これは${\displaystyle P_{A}}$または、矢の競争力のある価格にその割合を掛けたもの${\displaystyle h\leq 1}$各射撃後に失われる矢の数。次に、矢の所有者（使用するハンターと同一人物である場合もそうでない場合もある）が必要とする正味のレンタル料または返金額があります。これは、次の積として表すことができます。$\displaystyle rP_{A}}$、 どこ${\displaystyle r}$これは、システムの（均一な）純収益率です。

まとめると、そして均一な置換率を仮定すると${\displaystyle h}$ビーバーと鹿の絶対的な競争価格は次のように表される。

${\displaystyle P_{i}=wl_{i}+(h+r)P_{A}a_{i}}$

しかし、矢の競争力のある価格を決定する必要がある。${\displaystyle P_{A}}$矢は労働力のみによって生産されると仮定すると、${\displaystyle l_{A}}$矢1本あたりの工数は以下の通りです。

${\displaystyle P_{A}=wl_{A}}$

さらに、簡略化のために、${\displaystyle h=1}$（つまり、矢は一発撃つとすべて失われるため、循環資本となる）と仮定すると、ビーバーとシカの絶対的な競争価格は次のようになる。

${\displaystyle P_{i}=wl_{i}+(1+r)wl_{A}a_{i}}$

ここ、${\displaystyle l_{i}}$はビーバーと鹿の単位生産に直接投入される労働量であり、${\displaystyle l_{A}a_{i}}$労働は、以前の矢の生産を通じて間接的に具現化される。この2つの合計は、

${\displaystyle E_{i}=l_{i}+l_{A}a_{i}}$、

これは投入された労働の総量を示す。

鹿の相対的な競争力のある価格が${\displaystyle {P_{D} \over P_{B}}}$もはや、投入された労働の総量と労働量の比率として一般的に表現することはできない。${\displaystyle a_{i}>0}$比率${\displaystyle {E_{D} \over E_{B}}}$対応する${\displaystyle {P_{D} \over P_{B}}}$非常に特殊な2つのケースの場合のみ:${\displaystyle r=0}$; または、もし${\displaystyle {l_{B} \over l_{D}}={a_{B} \over a_{D}}}$一般的に、この2つの比率は、以下の点だけでなく、他にも違いがあります。${\displaystyle {P_{D} \over P_{B}}}$特定の状況に応じて変更される可能性があります${\displaystyle {E_{D} \over E_{B}}}$純収益率や賃金が変動する場合。

これから見ていくように、機能的な関係が一般的に欠如している${\displaystyle {E_{D} \over E_{B}}}$そして${\displaystyle {P_{D} \over P_{B}}}$リカードが特に意識していたこの概念は、マルクスの転換問題の核心をなすものである。マルクスにとって、rは剰余価値と非労働投入に投入された資本の価値との比であり、競争的な資本主義経済においては通常正の値をとる。

マルクスは、労働力（働く潜在力）と労働（その実際の使用）を区別する。彼は労働力を商品と捉え、他のすべての商品と同様に、平均的にはその価値で交換されると想定する。その価値は、労働力の再生産に必要な財の量の価値によって決定される。

しかし、労働力そのものの価値と、その労働力の使用によって生み出される価値の間には違いがある。他の商品とは異なり、労働力は使用によって消費される価値を超えて新たな価値を生み出す。この差額は剰余価値と呼ばれ、マルクスによれば資本家の利益の源泉である。マルクスが労働搾取と呼んだのは、この剰余労働の収奪である。

マルクスは、商品の「価値」を、その生産に投入された社会的に必要な労働の総量と定義した。彼は『資本論』第1巻第1章で、この労働価値説の独特な形態を展開した。マルクスのこの価値定義が転換問題に与えた影響から、彼は次のように論じている箇所が長々と引用されている。

例えば、トウモロコシと鉄という2つの商品を例にとってみましょう。これらの交換比率がどのようなものであれ、その比率は常に、ある量のトウモロコシとある量の鉄を等しくする方程式で表すことができます。例えば、トウモロコシ1クォーター＝鉄xハンドレッドウェイト。この方程式は何を意味するのでしょうか？それは、2つの異なるもの、つまりトウモロコシ1クォーターと鉄xハンドレッドウェイトには、両方に共通する何かが等量存在することを示しています。したがって、この2つのものは、それ自体ではどちらでもない第三のものと等しくなければなりません。交換価値という点では、それぞれがこの第三のものに還元されなければならないのです。

この共通の「何か」は、商品の幾何学的性質、化学的性質、あるいはその他の自然的性質のいずれでもあってはならない。そのような性質は、商品の有用性に影響を与え、使用価値を生み出す限りにおいてのみ、私たちの注意を引く。しかし、商品の交換は明らかに、使用価値からの完全な抽象化によって特徴づけられる行為である。

もし商品の使用価値を考慮から外すならば、商品に残る共通の性質は労働の産物であるという点だけとなる。[…] 商品自体の有用性とともに、それらに具現化された様々な種類の労働の有用性、そしてその労働の具体的な形態も見えなくなってしまう。残るのはそれらすべてに共通するものだけであり、すべては抽象的な人間労働という、同じ種類の労働に還元されてしまうのである。

したがって、使用価値、すなわち有用な物品は、抽象的な人間の労働がそこに具現化されているからこそ価値がある。では、この価値の大きさはどのように測るべきだろうか？言うまでもなく、その物品に含まれる価値創造の源泉、すなわち労働の量によって測られる。

—カール・マルクス、『資本論』第1巻第1章

この意味で労働は自身の価値以上のものを生み出すため、直接労働投入は可変資本と呼ばれ、次のように表される。${\displaystyle v}$前述の例では、生きた労働が鹿に伝える価値の量は、搾取の強度に応じて変化する。前述の例では、${\displaystyle v_{i}=l_{W}l_{i}}$。

対照的に、他の投入物の価値（この例では、使い古された矢に具現化された間接的（または「死んだ」）過去の労働）は、追加されることなく、そのままの形で製品に伝達されます。したがって、これは不変資本と呼ばれ、 cで表されます。矢によって鹿に伝達される価値は、矢自体の価値を超えることは決してありません。前の例では、${\displaystyle c_{i}=l_{A}a_{i}}$。

生産された各財の総価値は、上記の3つの要素、すなわち不変資本、可変資本、剰余価値の合計です。前の例では次のようになります。

${\displaystyle p_{i}=c_{i}+v_{i}+s_{i}=l_{A}a_{i}+l_{W}l_{i}+s_{i}}$

どこ${\displaystyle p_{i}}$これは、ビーバーと鹿の（単位）マルクス主義的価値を表します。

しかし、マルクスが価値を総労働投入量と定義したことから、以下のことも真であるはずだ。

${\displaystyle p_{i}=l_{A}a_{i}+l_{i}=E_{i}}$

解決する$s_i$上記2つの関係性は以下のとおりです。

$\displaystyle {s_{i} \over v_{i}}={(1-l_{W}) \over l_{W}}=\sigma }$

すべての人々のために${\displaystyle i}$。

この必然的に均一な比率$\displaystyle {s_{i} \over v_{i}}=\sigma }$マルクスはこれを搾取率と呼び、マルクスの価値方程式を次のように書き換えることができる。

${\displaystyle p_{i}=c_{i}+v_{i}(1+\sigma )=l_{A}a_{i}+l_{W}l_{i}(1+\sigma )}$

以下の2つの表は、マルクスのアプローチを説明するために、上記の鹿・ビーバー・矢の例（もちろんマルクスの著作には見られず、単なる簡略化に過ぎない）を応用したものである。どちらの場合も、捕獲されたビーバーと鹿の総数は、${\displaystyle Q_{B}}$そして${\displaystyle Q_{D}}$それぞれ。また、生活維持に必要な実質賃金は労働単位あたりビーバー1匹であると想定されるため、それに含まれる労働量は${\displaystyle l_{W}=E_{B}=l_{A}a_{B}+l_{B}<1}$表1は、最終行に示されているシステムの余剰価値の総額がどのように決定されるかを示しています。

表2は、マルクスがこの総額が、固定資本に対する均一な収益率rで「利潤」として2つの産業間でどのように再分配されると考えていたかを示している。まず、表2の最終行にある、総「利潤」が総剰余価値に等しくなければならないという条件を用いてrを決定する。次に、その結​​果に各産業の固定資本の価値を掛けて、その産業の「利潤」を求める。最後に、表2の最終列にあるように、固定資本、可変資本、および単位生産量当たりの「利潤」の合計として、労働単位当たりの各（絶対）競争価格が得られる。

表1と表2は、マルクスが数値例を詳述した表と類似している。^{[ 3 ]}

後世の学者たちは、マルクスの競争価格に関する公式は誤りであると主張した。

第一に、競争均衡は、上記の表2で行われていることとは異なり、マルクス的価値ではなく、その価格で評価された一定資本に対する均一な収益率を必要とする。第二に、競争価格は、具現化された労働量としてではなく、物価で評価されたコストの合計から生じる。したがって、マルクスの計算と${\displaystyle r}$そして、彼の価格公式の合計は、上記の例のように、相対的な競争価格が相対的なマルクス主義的価値と異なる通常のケースでは必ずしも一致しない。マルクスはこの点に気づいていたものの、重要ではないと考え、『資本論』第3巻第9章で「我々の現在の分析では、この点をより詳しく検討する必要はない」と述べている。

均衡経済における競争価格（相対価格）を計算する連立一次方程式法は、今日では非常によく知られています。表1と表2の非常に単純化されたモデルでは、賃金率は所与であり、ビーバーの価格に等しいと仮定されているため、このような価格をビーバー単位で表すのが最も便利な方法であり、これは正規化を意味します。${\displaystyle w=P_{B}=1}$これにより、矢の（相対）価格は次のようになる。

${\displaystyle P_{A}=l_{A}}$ビーバー。

これをビーバーの相対価格条件に代入すると、

${\displaystyle 1=l_{B}+(1+r)l_{A}a_{B}}$、

収益率の解は次のように与えられる。

${\displaystyle r={(1-l_{B}) \over (l_{A}a_{B})}-1}$

最終的に、鹿の価格条件は次のように表すことができる。

${\displaystyle P_{D}=l_{D}+(1+r)l_{A}a_{D}=l_{D}+{a_{D}(1-l_{B}) \over a_{B}}}$。

この後者の結果は、ここで使用した単純なモデルにおけるビーバー単位での鹿の正しい競争価格を示しているが、一般的には表2のマルクスの価格公式とは矛盾している。

マルクスを擁護するアーネスト・マンデルは、この矛盾を論理的な誤りとしてではなく、生産の時間枠の観点から説明している。つまり、この単純化されたモデルでは、資本財は労働価値価格で購入されるが、最終製品は再分配された剰余価値を反映した価格で販売される。^{[ 4 ]}

『資本論』第3巻の編集者であるフリードリヒ・エンゲルスは、 1894年以来、この問題に対する別の見方を示唆していた。彼の見解は、第1巻の純粋なマルクス主義的「価値法則」と第3巻の「転嫁された」価格は、経済史の異なる時代に適用されるというものだった。特に、「価値法則」はバビロニアから15世紀までの前資本主義的な交換経済において優勢であったのに対し、「転嫁された」価格は資本主義の下で具体化したというのである。森嶋とカテフォレス（1975）によるエンゲルスの引用を参照のこと（ 310ページ）。

エンゲルスの論理は後にミーク（1956年）とネル（1973年）によって取り上げられた。これらの著者は、資本主義の解釈についてどのような意見があろうとも、マルクスの「価値」理論は前資本主義社会を解釈するためのツールとして有用性を保持していると主張した。なぜなら、前資本主義の交換経済においては、資本に対する均一な収益率（または「利潤」）を伴う「生産価格」が存在しなかったからである。したがって、マルクスの変革には、近代の始まりにおける資本主義的生産への実際の移行（そしてもはやマルクス主義的な「価値」は存在しない）によってもたらされる歴史的側面があったに違いない。この場合、この真の「歴史的変革」は、マルクスが第3巻第9章で想定した数学的変革に取って代わることができ、またそうあるべきである。

価値から価格への転換という問題に関して、マルクスの理論を支持または発展させようとする人々、あるいは彼の理論をより整合性のあるものにするために修正しようとする人々の間には、いくつかの学派が存在する。

アラン・フリーマン、アンドリュー・クリマンらが提唱する『資本論』の時間的単一システム解釈によれば、マルクスのこの主題に関する著作は、想定される矛盾をすべて取り除くような方法で解釈するのが最も力強い。 ^{[ 5 ]}現代の伝統的なマルクス主義者は、労働価値説が今日でも通用するだけでなく、マルクスの転換問題に対する理解も概ね正しかったと主張する。アンドリュー・クリマンはTSSIフレームワークを用いて次のように主張した。「単純な再生産と均一な収益性には供給と需要が等しいことが必要であるが、第1期の投入価格と産出価格が等しくなくても等しくなる可能性がある。ある期の産出物が次の期の投入物となるため、供給と需要が等しくなるために必要なのは、第1期の産出価格が第2期の投入価格と等しくなることである。しかし、それらは常に等しい。ある期の終わりは次の期の始まりとなるため、ある期の産出価格は必然的に次の期の投入価格と等しくなる。このことを認識すれば、ボルトキエヴィッチの証明はすぐに破綻する。これはクリマンとマクギオーネ（1988）によって最初に実証された。」^{[ 6 ]}

エマニュエル・ファルジュンとモシェ・マコバーが著書『カオスの法則』（参考文献参照）で提唱したマルクスの確率論的解釈では、関連する量を確率変数として再概念化することで、変換問題を「解決」している。特に、彼らは利益率が均衡分布に達すると考えている。理想気体の統計力学とのヒューリスティックな類推から、この均衡分布はガンマ分布であるべきだという仮説に至っている。

最後に、マルクス主義の学者（例えば、アンワル・シャイフ、伊藤誠、ジェラール・デュメニルとドミニク・レヴィ、ダンカン・フォーリーなど）は、価値の大きさから価格の大きさを導き出すための議論の余地のない論理的手順は存在しないと主張しながらも、それがマルクスの体系全体に致命的な影響を与えることはないと考えている。ごくまれな特殊なケースでは、労働を（交換可能な）価値の「実体」とするマルクスの考え方は、市場競争均衡の事実と公然と矛盾することはないだろう。これらの学者は、そのようなケースは一般的には観察されないものの、資本主義社会の「隠された」あるいは「純粋な」性質を明らかにすると主張している。したがって、マルクスの剰余価値と無償労働に関する関連概念は、その実際の仕組みはマルクスが考えていたよりも複雑であるものの、基本的には正しいものとして扱うことができる。

一部の数理経済学者は、マルクスの等式が成り立つ関数の集合は、個々の企業レベルでも集計レベルでも一般には存在しないため、第9章の変換問題には、2つの非常に特殊な場合を除いて一般的な解はないと主張している。これは、とりわけボルトキエヴィチ（1906年）によって最初に指摘された。20世紀後半には、レオンチェフとスラッファによる線形生産モデルに関する研究が、この結果を一般的に論じるための枠組みを提供した。

スラッファ（1960）の第6章では、価格を現在および過去の具現化された労働の「日付付き」量に「還元」することについて、彼は変換問題に直接言及したことはないものの、競争価格が${\displaystyle P_{i}}$の${\displaystyle i^{th}}$生産された財は次のように表現できます。

${\displaystyle P_{i}=\sum _{n=0}^{\infty }l_{in}w{(1+r)^{n}}}$、

どこ${\displaystyle n}$時間差は、${\displaystyle l_{in}}$は、過去の労働投入係数です。${\displaystyle w}$賃金であり、${\displaystyle r}$は「利益」（または純収益）率です。総投入労働は次のように定義されます。

${\displaystyle E_{i}=\sum _{n=0}^{\infty }l_{in}}$、

Sraffaの結果から、一般に関数は存在しないことがわかる。${\displaystyle E_{i}}$に${\displaystyle P_{i}}$これは、後の著述家、特にイアン・スティードマンが『スラッファ以降のマルクス』で明確にし、詳しく説明したとおりである。

1971年以前の文献全体を網羅的に調査し、包括的な参考文献リストを掲載した標準的な参考文献としては、サムエルソン（1971）の「搾取のマルクス主義的概念の理解：マルクス主義的価値と競争価格の間のいわゆる変換問題の概要」Journal of Economic Literature 9 2 399 – 431 が挙げられる。

モーズリー（1999）のような時間的単一システム解釈の支持者は、同時線形方程式による価格決定（生産期間の開始時と終了時で価格が同じであると仮定する）は労働時間による価値決定と論理的に矛盾すると主張し、マルクスの転換問題には一般的な解がないという数学的証明の原理を否定する。他のマルクス経済学者はこの証明を受け入れるが、マルクス政治経済学のいくつかの重要な要素との関連性を否定する。さらに、マルクス経済学そのものを否定し、想定される生産関係の政治性を強調する者もいる。

ポール・サミュエルソンなどの主流派学者は、資本主義的生産と分配の基本的な性質が非現実的な特殊事例から推測できるという前提に疑問を呈している。例えば、マルクスの推論が適用される特殊事例では、逆変換プロセスによってマルクスの推論が逆転する可能性がある。サミュエルソンは、マルクスの推論は

したがって、利潤とは、剰余価値の真の姿を明らかにする前に取り除かなければならない、（ブルジョアによる）剰余価値の偽装である。（『資本論』第3巻第2章）

同じように説得力をもって「変換」できるのは、次のとおりである。

したがって、剰余価値は[マルクス主義的な]利益の偽装であり、利益の真の性質が明らかになる前に取り除かれなければならない。^{[ 7 ]}

サムエルソンは、変換問題のために労働価値説を否定しただけでなく、カール・クリスティアン・フォン・ヴァイツゼッカーのような経済学者と協力して、自ら解決策を提示した。フォン・ヴァイツゼッカー（1962年）^{[ 8 ]は、サムエルソン（1971年） [ 9 ]}とともに、経済が蓄積の黄金律に従って一定の成長率で成長するという仮定の下でこの問題を分析した。ヴァイツゼッカーは次のように結論付けている。

今日の商品の価格は、さまざまな労働投入の「現在」価値の合計に等しい。^{[ 10 ]}

19世紀、オーストリアの経済学者オイゲン・フォン・ベーム＝バヴェルクは、マルクスの解決策は矛盾していると批判した。マルクスは『資本論』第1巻の第1章で、あらゆる商品の価値は一般的に必要な労働量に反映され、不平等は一時的な例外にすぎないと説明しているが、これは、生み出される交換価値が企業の労働者と資本の比率とは全く無関係であることを意味する。^{[ 11 ]}しかし、マルクスは『資本論』第3巻で、生産後、資本は最も高い利潤率を上げた産業に移動し、生産部門間で利潤率が均等化する傾向が生じるため、実際には労働価値と生産価格は等しくならないと説明しているが、ベーム＝バヴェルクは基本的にこれを無視している。ベーム＝バヴェルクの立場は、第1巻で財の価値と価格の関係で定式化された矛盾に基づいており、労働価値を交換価値から生産価格へと抽象化すると、剰余労働価値の存在と非倫理的性質の背後にある中心的な議論が崩壊し、最終的に価値を総和すると最初の正当化が無効になると主張している。^{[ 12 ]}