永続性の原則

数学の歴史において、永続性の原理、または同値形式の永続性の法則とは、加算や乗算などの代数演算は、特に既存の数体系を拡張する場合、あらゆる数体系で一貫して動作すべきであるという考え方であった。^{[ 1 ] [ 2 ]}

近代数学とその公理的方法の重視が始まる前は、永続性の原理は数学的議論において重要なツールと考えられていました。近代数学では、議論は公理に基づいた厳密な証明に取って代わられ、この原理は新しい代数構造を発見するためのヒューリスティックとして使用されています。^{[ 3 ]}さらに、この原理は転送原理と呼ばれる定理のクラスに形式化されており、^{[ 3 ]}ある構造に対して真であるある言語のすべての命題は、別の構造に対しても真であると述べています。

この原理は、ジョージ・ピーコックが著書『代数学論』の中で説明している（原文の強調）：^{[ 4 ]}

132. 再び、同等の形態の永続性という原理または法則に立ち返り、それを直接比例と反比例の形で述べた場合について考えてみましょう。

「代数的に等価な形式は、一般的な記号で表現した場合、その記号が何を表していようとも、必ず真である。」

逆に、算術代数やその他の下位科学において、記号が形式的には一般的であっても性質的には具体的である場合、それと同等の形式が見つかった場合、記号が形式的にも性質的にも一般的である場合にも、同じ形式が同等であるはずです。

この原理は後にヘルマン・ハンケル^{[ 5 ] [ 6 ]}によって改訂され、ジュゼッペ・ペアノ、エルンスト・マッハ、ヘルマン・シューベルト、アルフレート・プリングスハイムらによって採用された^{[ 7 ]}。

『代数学論』とほぼ同時期に、オーギュスタン＝ルイ・コーシーは『解析学講義』を出版し、「代数学の一般性」^{[ 8 ]}という用語を用いて、オイラーやラグランジュといった18世紀の数学者が用いた、永続性の原理に似た議論方法を説明（および批判）した。

永続性の原理の主な用途の1つは、実数に対して成り立つ関数方程式が複素数に対しても成り立つことを示すことである。^{[ 9 ]}

例えば、方程式${\displaystyle e^{s+t}-e^{s}e^{t}=0}$実数s、tすべてについて成り立つ。2 変数関数の永続性の原理により、これは複素数すべてについても成り立つことを示唆している。^{[ 10 ]}

反例として、以下の性質を考えてみましょう。

• 加法の交換法則：${\displaystyle x+y=y+x}$すべての人々のために${\displaystyle x,y}$、
• 加法の左消去性:${\displaystyle x+y=x+z}$、 それから${\displaystyle y=z}$すべての${\displaystyle x,y,z}$。

これらの性質は、すべての自然数、整数、有理数、実数、複素数に当てはまります。しかし、ゲオルク・カントールによる自然数の無限大への拡張に従うと、どちらの性質も同時に満たすことはありません。

• 順序数演算では、加算は左消去可能であるが、交換法則は成り立たない。例えば、${\displaystyle 3+\omega =\omega \neq \omega +3}$。
• 基数算術では、加算は可換であるが、左消去法はもはや成り立たない。${\displaystyle x+y=max\{x,y\}}$いつでも${\displaystyle x}$または${\displaystyle y}$無限です。例えば、${\displaystyle \aleph _{0}+1=\aleph _{0}=\aleph _{0}+2}$、 しかし${\displaystyle 1\neq 2}$[ ^{11 ]​}

したがって、これら二つの初期の厳密な無限数体系は、いずれも永続性の原理に違反している。