電気位置エネルギー

電荷qに作用する静電力Fは、電場Eを用いて次の ように表すことができます。$${\displaystyle \mathbf {F} =q\mathbf {E} ,}$$

定義により、電界Eの存在下で基準位置r _refから位置rに移動した点電荷qの静電ポテンシャルエネルギーU _Eの変化は、基準位置r _refからその位置rに移動するために静電力によって行われた仕事の負になります。

$${\displaystyle U_{E}(r)-U_{E}(r_{\rm {ref}})=-W_{r_{\rm {ref}}\rightarrow r}=-\int _{{r}_{\rm {ref}}}^{r}q\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {s} .}$$

どこ：

• r = 電荷qの 3D 空間での位置、直交座標r = ( x , y , z ) を使用し、電荷Qの位置をr = (0,0,0) とすると、スカラーr = | r | は位置ベクトルのノルムです。
• d s = r _refからrに向かう経路Cに沿った差分変位ベクトル、
• ${\displaystyle W_{r_{\rm {ref}}\rightarrow r}}$は、電荷を基準位置r _refからrに移動させるために静電力によって行われる仕事である。

通常、r _{refが無限大のときは}U _Eはゼロに設定されます。 つまり、 $${\displaystyle U_{E}(r_{\rm {ref}}=\infty )=0}$$$${\displaystyle U_{E}(r)=-\int _{\infty }^{r}q\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {s} }$$

回転 ∇ × Eがゼロの場合、上記の線積分は選択された特定のパスCには依存せず、その終点にのみ依存します。これは時間不変の電場で発生します。静電ポテンシャル エネルギーについて話す場合、時間不変の電場が常に想定されるため、この場合、電場は保存的であり、クーロンの法則を使用できます。

クーロンの法則を用いると、離散点電荷Qによって生成される静電力Fと電場E は、 Qから放射状に向いていることが分かります。位置ベクトルrと変位ベクトルsの定義により、 rとsもQから放射状に向いていることになります。したがって、Eと d s は平行でなければなりません。

$${\displaystyle \mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {s} =|\mathbf {E} |\cdot |\mathrm {d} \mathbf {s} |\cos(0)=E\mathrm {d} s}$$

クーロンの法則を用いると、電場は次のように表される。

$${\displaystyle |\mathbf {E} |=E={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {Q}{s^{2}}}}$$

そして積分は簡単に評価できます：

$${\displaystyle U_{E}(r)=-\int _{\infty }^{r}q\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {s} =-\int _{\infty }^{r}{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {qQ}{s^{2}}}{\rm {d}}s={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {qQ}{r}}=k_{e}{\frac {qQ}{r}}}$$

2つの電荷のシステムに蓄えられた静電ポテンシャルエネルギーU _{E は、もう一方の}電荷によって生成された静電ポテンシャル内の電荷の静電ポテンシャルエネルギーに等しい。つまり、電荷q _{1 が位置}rの関数である静電ポテンシャルV ₁を生成する場合 、$${\displaystyle U_{\mathrm {E} }=q_{2}V_{1}(\mathbf {r} _{2}).}$$

同じ計算を他の電荷についても行うと、次の式が得られます。 $${\displaystyle U_{\mathrm {E} }=q_{1}V_{2}(\mathbf {r} _{1}).}$$

静電ポテンシャルエネルギーはとによって相互に共有されるため、蓄積される全エネルギーは ${\displaystyle q_{1}}$${\displaystyle q_{2}}$$${\displaystyle U_{E}={\frac {1}{2}}\left[q_{2}V_{1}(\mathbf {r} _{2})+q_{1}V_{2}(\mathbf {r} _{1})\right]}$$

これを一般化すると、それぞれ位置r ₁、r ₂、…、r _nにあるn個の電荷q ₁、q _{2 、 …、} q _nのシステムに蓄えられた静電ポテンシャルエネルギーU _{E は}次のようになります。

$${\displaystyle U_{\mathrm {E} }={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}q_{i}V(\mathbf {r} _{i}).}$$

（ １ ）の式を用いると、３つの電荷の系の静電ポテンシャルエネルギーは次のようになる。 $${\displaystyle U_{\mathrm {E} }={\frac {1}{2}}\left[Q_{1}V(\mathbf {r} _{1})+Q_{2}V(\mathbf {r} _{2})+Q_{3}V(\mathbf {r} _{3})\right]}$$

ここで、は電荷Q ₂とQ ₃によって生成されるr ₁の電位、は電荷Q ₁とQ ₃によって生成されるr ₂の電位、 は電荷Q ₁とQ ₂によって生成されるr ₃の電位です。電位は次のとおりです。 ${\displaystyle V(\mathbf {r} _{1})}$${\displaystyle V(\mathbf {r} _{2})}$${\displaystyle V(\mathbf {r} _{3})}$

$${\displaystyle V(\mathbf {r} _{1})=V_{2}(\mathbf {r} _{1})+V_{3}(\mathbf {r} _{1})={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {Q_{2}}{r_{12}}}+{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {Q_{3}}{r_{13}}}}$$ $${\displaystyle V(\mathbf {r} _{2})=V_{1}(\mathbf {r} _{2})+V_{3}(\mathbf {r} _{2})={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {Q_{1}}{r_{21}}}+{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {Q_{3}}{r_{23}}}}$$ $${\displaystyle V(\mathbf {r} _{3})=V_{1}(\mathbf {r} _{3})+V_{2}(\mathbf {r} _{3})={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {Q_{1}}{r_{31}}}+{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {Q_{2}}{r_{32}}}}$$

ここで、r _{ij は}電荷Q _iとQ _j間の距離です。

すべてを追加すると次のようになります。

$${\displaystyle U_{\mathrm {E} }={\frac {1}{2}}{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\left[{\frac {Q_{1}Q_{2}}{r_{12}}}+{\frac {Q_{1}Q_{3}}{r_{13}}}+{\frac {Q_{2}Q_{1}}{r_{21}}}+{\frac {Q_{2}Q_{3}}{r_{23}}}+{\frac {Q_{3}Q_{1}}{r_{31}}}+{\frac {Q_{3}Q_{2}}{r_{32}}}\right]}$$

最終的に、3 つの電荷のシステムに蓄えられた静電ポテンシャル エネルギーは次のようになります。

$${\displaystyle U_{\mathrm {E} }={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\left[{\frac {Q_{1}Q_{2}}{r_{12}}}+{\frac {Q_{1}Q_{3}}{r_{13}}}+{\frac {Q_{2}Q_{3}}{r_{23}}}\right]}$$

連続電荷分布の静電ポテンシャルエネルギーの式を静電場の観点から表すことができます。

ガウスの静電場の法則は微分形式で 次のように表される 。 $${\displaystyle \mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {E} ={\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}}$$

• ${\displaystyle \mathbf {E} }$は電界ベクトルである
• ${\displaystyle \rho }$物質に束縛された双極子電荷を含む全電荷密度である。
• ${\displaystyle dV}$体積要素である
• ${\displaystyle \Phi }$電位は
• ${\displaystyle \varepsilon _{0}}$は自由空間の誘電率であり、

それから、 $${\displaystyle {\begin{aligned}U&={\frac {1}{2}}\int \limits _{\text{all space}}\rho (r)\Phi (r)\,dV\\&={\frac {1}{2}}\int \limits _{\text{all space}}\varepsilon _{0}(\mathbf {\nabla } \cdot {\mathbf {E} })\Phi \,dV\end{aligned}}}$$

そこで、次の発散ベクトルの恒等式を用いると

$${\displaystyle \nabla \cdot (\mathbf {A} {B})=(\nabla \cdot \mathbf {A} ){B}+\mathbf {A} \cdot (\nabla {B})\Rightarrow (\nabla \cdot \mathbf {A} ){B}=\nabla \cdot (\mathbf {A} {B})-\mathbf {A} \cdot (\nabla {B})}$$

我々は持っています

$${\displaystyle U={\frac {\varepsilon _{0}}{2}}\int \limits _{\text{all space}}\mathbf {\nabla } \cdot (\mathbf {E} \Phi )dV-{\frac {\varepsilon _{0}}{2}}\int \limits _{\text{all space}}(\mathbf {\nabla } \Phi )\cdot \mathbf {E} dV}$$

発散定理を用いて面積を無限大とすると、${\displaystyle \Phi (\infty )=0}$${\displaystyle \nabla \Phi =-\mathbf {E} }$

$${\displaystyle {\begin{aligned}U&=\overbrace {{\frac {\varepsilon _{0}}{2}}\int \limits _{{}_{\text{ of space}}^{\text{boundary}}}\Phi \mathbf {E} \cdot d\mathbf {A} } ^{0}-{\frac {\varepsilon _{0}}{2}}\int \limits _{\text{all space}}(-\mathbf {E} )\cdot \mathbf {E} \,dV\\&=\int \limits _{\text{all space}}{\frac {1}{2}}\varepsilon _{0}\left|{\mathbf {E} }\right|^{2}\,dV.\end{aligned}}}$$

したがって、静電場のエネルギー密度、つまり単位体積あたりのエネルギーは次のようになります。 ${\textstyle {\frac {dU}{dV}}}$

$${\displaystyle u_{e}={\frac {1}{2}}\varepsilon _{0}\left|{\mathbf {E} }\right|^{2}.}$$

コンデンサに電荷を微小な増分で集める場合、各増分を最終位置に集めるのに必要な仕事量は次のように表される。 ${\displaystyle dq\to 0}$

$${\displaystyle W_{q}=V\,dq={\frac {q}{C}}dq.}$$

この方法でコンデンサを完全に充電するために行われた総仕事は、 コンデンサの総電荷量です。この仕事は静電ポテンシャルエネルギーとして蓄えられるため 、$${\displaystyle W=\int dW=\int _{0}^{Q}V\,dq={\frac {1}{C}}\int _{0}^{Q}q\,dq={\frac {Q^{2}}{2C}}.}$$${\displaystyle Q}$$${\displaystyle W=U_{E}={\frac {Q^{2}}{2C}}.}$$

特に、この式は の場合にのみ有効であり、これは金属電極を持つ大型コンデンサなどの多電荷システムに当てはまります。少数電荷システムでは、電荷の離散的性質が重要です。少数電荷コンデンサに蓄えられる全エネルギーは であり、 これは最小の物理的電荷増分を利用する電荷アセンブリ法によって得られます。ここで は電荷の基本単位であり、ここで はコンデンサ内の全電荷数です。 ${\displaystyle dq\to 0}$$${\displaystyle U_{E}={\frac {Q^{2}}{2C}}}$$${\displaystyle \Delta q=e}$${\displaystyle e}$${\displaystyle Q=Ne}$${\displaystyle N}$