トーマの公式

数学において、トーマの公式は、カール・ヨハネス・トーマ (1870)によって導入された、シータ定数と超楕円曲線の分岐点を関連付ける公式である(Mumford 1984、セクション 8)。

1824 年、アーベル・ルフィニの定理により、5 次以上の多項式方程式は根号で解くことができないことが確立されました。それ以来、数学者の間では、5 次以上の方程式の解を表すには根号を超える必要があることが明らかになりました。1858 年、シャルル・エルミート、レオポルド・クロネッカー、フランチェスコ・ブリオスキはそれぞれ独立に、 5 次方程式を楕円超越関数で解けることを発見しました。これは根号の一般化であることが判明し、次のように書くことができます。 ガロア理論 で示されているように、この指数関数のみに制限すると、アーベル拡大の合成のみを構築でき、これは 4 次以下の方程式にのみ十分です。より高次の方程式にはより一般的なものが必要であるため、5 次方程式を解くために、エルミートらは次のようにしました。エルミートは、指数関数を楕円モジュラー関数に、積分（対数）を楕円積分に置き換えた。クロネッカーは、これはさらに一般的な方法の特殊なケースであると信じた。^[1]カミーユ・ジョルダンは、モジュラー関数を使用して任意の代数方程式を解くことができることを示した^{[2] 。これは1870年にトーマによって達成された。 [3]トーマは、楕円モジュラー関数をさらに一般的な}ジーゲルモジュラー形式に、楕円積分を超楕円積分に置き換えることで、エルミートのアプローチを一般化した。梅村浩^{[4]は、これらのモジュラー関数を高種数の}シータ関数で表現した。 $${\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}=\exp \left({{\frac {1}{n}}\ln x}\right)=\exp \left({\frac {1}{n}}\int _{1}^{x}{\frac {dt}{t}}\right).}$$

多項式関数 が複素数 の特定の部分体上で既約で ある場合、その根は、引数がゼロのシータ関数(シータ定数) を含む次の式で表すことができます。ここ で、 は次の超楕円積分のいずれかから導出される周期行列です。 が奇数次である場合、 またはが偶数次である場合、 $${\displaystyle f(x)=a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}+\cdots +a_{n}}$$${\displaystyle a_{0}\neq 0}$ ${\displaystyle x_{k}}$$${\displaystyle {\begin{aligned}x_{k}={}&\left[\theta \left({\begin{matrix}1&0&\cdots &0\\0&\cdots &0&0\end{matrix}}\right)(\Omega )\right]^{4}\left[\theta \left({\begin{matrix}1&1&0&\cdots &0\\0&\cdots &0&0&0\end{matrix}}\right)(\Omega )\right]^{4}\\[6pt]&{}+\left[\theta \left({\begin{matrix}0&\cdots &0\\0&\cdots &0\end{matrix}}\right)(\Omega )\right]^{4}\left[\theta \left({\begin{matrix}0&1&0&\cdots &0\\0&0&0&\cdots &0\end{matrix}}\right)(\Omega )\right]^{4}\\[6pt]&{}-{\frac {\left[\theta \left({\begin{matrix}0&0&\cdots &0\\1&0&\cdots &0\end{matrix}}\right)(\Omega )\right]^{4}\left[\theta \left({\begin{matrix}0&1&0&\cdots &0\\1&0&\cdots &0&0\end{matrix}}\right)(\Omega )\right]^{4}}{2\left[\theta \left({\begin{matrix}1&0&\cdots &0\\0&\cdots &0&0\end{matrix}}\right)(\Omega )\right]^{4}\left[\theta \left({\begin{matrix}1&1&0&\cdots &0\\0&0&\cdots &0&0\end{matrix}}\right)(\Omega )\right]^{4}}}\end{aligned}}}$$${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle f(x)}$$${\displaystyle u(a)=\int _{1}^{a}{\frac {dx}{\sqrt {x(x-1)f(x)}}}}$$${\displaystyle f(x)}$$${\displaystyle u(a)=\int _{1}^{a}{\frac {dx}{\sqrt {x(x-1)(x-2)f(x)}}}}$$

この公式は、任意の次数の代数方程式に適用でき、チルンハウス変換や、五次方程式のBring-Jerrard 形式などの特定の正規形に方程式を変換するためのその他の操作は必要ありません。ただし、関連する超楕円積分と高種数のシータ関数は非常に複雑なため、この公式を実際に適用するのは困難です。