拡張可能なカーディナル

数学において、拡張可能基数は、反射原理に部分的に動機付けられたラインハルト (1974) によって導入された大きな基数です。直感的には、このような基数は、それを超えると集合の宇宙の最初の部分が、それぞれが後の部分に基本的に埋め込むことができるという意味で、類似し始める点を表します。

あらゆる順序数 ηに対して、ある順序数λに対してV _κ+ηのV _λへの非自明な基本埋め込みjが存在する場合、基数κ はη 拡張可能と呼ばれます。ここでκはjの臨界点であり、通常どおりV _{α は}フォン・ノイマン階層のα番目のレベルを表します。基数κは、あらゆる非ゼロの順序数ηに対してη拡張可能である場合、拡張可能基数と呼ばれます(Kanamori 2003)。

基数 に対して、論理 が -コンパクトであるとは、すべての - 文の集合 に対して、または基数のすべての部分集合にモデルがある場合に、 にモデルが存在することを言う。(通常のコンパクト性定理は、一階論理の -コンパクト性を示している。) を、長さ の無限連言と無限選言を許容する二階集合論の無限論理とします。が拡張可能である場合、 は -コンパクトであるときその限りである。^[1]${\displaystyle \kappa}$${\displaystyle L}$${\displaystyle \kappa}$${\displaystyle A}$${\displaystyle L}$${\displaystyle A}$${\displaystyle <\kappa }$${\displaystyle A}$${\displaystyle \aleph_{0}}$${\displaystyle L_{\kappa }^{2}}$${\displaystyle <\kappa }$${\displaystyle \kappa}$${\displaystyle L_{\kappa }^{2}}$${\displaystyle \kappa}$

κ基数は、κがη拡張^可能（つまり、j はV _κ+ηから臨界点κを持つ何らかのV _λへの基本的埋め込み）であることを証明する基本埋め込みjが存在し、さらにV _j(κ)がVにおいてΣ _n正しい場合、 η-C (n )拡張可能と呼ばれます。つまり、すべてのΣ _n式φに対して、φ がV _j(κ)で成立するのは、 φ がVで成立する場合のみです。 κ基数は、すべての順序数ηに対してη- C ( ⁿ⁾拡張可能である場合、 C ( ⁿ⁾拡張可能であるといいます。すべての拡張可能な基数はC ⁽¹⁾拡張可能ですが、n≥1の場合、最小のC ⁽ⁿ⁾拡張可能な基数はC ⁽ⁿ⁺¹⁾拡張可能になることはありません（Bagaria 2011）。

ヴォペンカの原理は拡張可能な基数の存在を意味します。実際、ヴォペンカの原理 (定義可能なクラスの場合) は、すべてのnに対してC ⁽ⁿ⁾拡張可能な基数が存在することと同等です(Bagaria 2011)。すべての拡張可能な基数は超コンパクト基数です(Kanamori 2003)。

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