無限組み合わせ論

数学において、無限組み合わせ論、または組み合わせ集合論は、組み合わせ論の概念を無限集合に拡張したものです。研究対象には、連続グラフや木、ラムゼーの定理の拡張、マーティンの公理などがあります。最近の発展としては、連続体の組み合わせ論^{[ 1 ]}や特異基数の後継者の組み合わせ論^{[ 2 ]}などがあります。

書く${\displaystyle \kappa ,\lambda }$序数の場合、 ${\displaystyle m}$基数（有限または無限）と${\displaystyle n}$自然数の場合。エルデシュとラド（1956）は、

${\displaystyle \displaystyle \kappa \rightarrow (\lambda )_{m}^{n}}$

セットのすべての分割を簡潔に表現する方法${\displaystyle [\kappa ]^{n}}$の${\displaystyle n}$-要素サブセット${\displaystyle \kappa }$の中へ${\displaystyle m}$ピースは同質のオーダータイプを持つ${\displaystyle \lambda }$この場合、同質集合は、${\displaystyle \kappa }$すべての${\displaystyle n}$-要素サブセットはパーティションの同じ要素にあります。${\displaystyle m}$2 は省略されることが多い。このような記述は分割関係として知られている。

選択公理を仮定すると、順序数は存在しない${\displaystyle \kappa }$と${\displaystyle \kappa \rightarrow (\omega )^{\omega }}$、 それで${\displaystyle n}$は通常有限であるとみなされる。拡張では${\displaystyle n}$ほぼ無限大になることが許される表記法

${\displaystyle \displaystyle \kappa \rightarrow (\lambda )_{m}^{<\omega }}$

これは、有限部分集合の集合のすべての分割が${\displaystyle \kappa }$の中へ${\displaystyle m}$ピースには注文タイプのサブセットがあります${\displaystyle \lambda }$任意の有限値に対して${\displaystyle n}$、サイズが のすべての部分集合${\displaystyle n}$パーティションの同じ要素にあります。${\displaystyle m}$2 は省略されることが多い。

別の表記法としては、

${\displaystyle \displaystyle \kappa \rightarrow (\lambda ,\mu )^{n}}$

これは、セットのすべての彩色について簡潔に述べる方法です。${\displaystyle [\kappa ]^{n}}$の${\displaystyle n}$-要素サブセット${\displaystyle \kappa }$2色で注文タイプのサブセットを持つ${\displaystyle \lambda }$すべての要素が${\displaystyle [\lambda ]^{n}}$最初の色、または注文タイプのサブセットを持つ${\displaystyle \mu }$すべての要素が${\displaystyle [\mu ]^{n}}$2番目の色を持っています。${\displaystyle [\kappa ]^{n}}$関数です${\displaystyle f:[\kappa ]^{n}\rightarrow p}$。

この特性には以下が含まれます。${\displaystyle \kappa }$（枢機卿）

$\displaystyle \displaystyle \aleph _{0}\rightarrow (\aleph _{0})_{k}^{n}}$すべての有限に対して${\displaystyle n}$そして${\displaystyle k}$（ラムゼーの定理）

$\beth_n^+\rightarrow(\aleph_1)_\aleph_0^n+1$（エルデシュ・ラドの定理。）

${\displaystyle \displaystyle 2^{\kappa }\not \rightarrow (\kappa ^{+})^{2}}$（シェルピンスキーの定理）

${\displaystyle \displaystyle 2^{\kappa }\not \rightarrow (3)_{\kappa }^{2}}$

${\displaystyle \displaystyle \kappa \rightarrow (\kappa ,\aleph _{0})^{2}}$(エルデシュ・ドゥシュニク・ミラーの定理)

選択のない宇宙では、無限指数を持つ分割特性が成り立つ可能性があり、そのいくつかは決定性公理（AD）の結果として得られます。たとえば、ドナルド・A・マーティンは、 ADが次のことを意味することを証明しました。

$\displaystyle \displaystyle \aleph _{1}\rightarrow (\aleph _{1})_{2}^{\aleph _{1}}}$

ヴァツワフ・シェルピンスキは、ラムゼーの定理はサイズの集合には適用されないことを示した。$\displaystyle \aleph _{1}}$示すことによって$\displaystyle 2^{\aleph _{0}}\nrightarrow (\aleph _{1})_{2}^{2}}$つまり、シェルピンスキーは、実数のペアを2色に塗り分ける方法を構築し、実数の任意の非可算部分集合に対して、${\displaystyle X}$、${\displaystyle [X]^{2}}$両方の色を取ります。${\displaystyle \aleph _{1}}$そして、それにシェルピンスキーの色付けを適用すると、次のようになります。${\displaystyle \aleph _{1}\not \rightarrow (\aleph _{1})_{2}^{2}}$このような彩色は強彩色^{[ 3 ]}として知られており、集合論で研究されている。Erdős 、Hajnal 、 Rado（1965）は、これについて上記と同様の記法を導入した。

書く${\displaystyle \kappa ,\lambda }$序数の場合、 ${\displaystyle m}$基数（有限または無限）と${\displaystyle n}$自然数の場合。

${\displaystyle \displaystyle \kappa \nrightarrow [\lambda ]_{m}^{n}}$

これは、集合の彩色が存在することを簡潔に表現する方法です。${\displaystyle [\kappa ]^{n}}$の${\displaystyle n}$-要素サブセット${\displaystyle \kappa }$の中へ${\displaystyle m}$注文タイプの各セットが${\displaystyle \lambda }$これはレインボーセットです。この場合、レインボーセットは部分集合です。${\displaystyle A}$の${\displaystyle \kappa }$そのため${\displaystyle [A]^{n}}$全てを奪う${\displaystyle m}$色。${\displaystyle m}$2 の場合、省略されることが多い。このような記述は、負の角括弧分割関係として知られている。

別の表記法としては、

${\displaystyle \kappa \nrightarrow [\lambda$ ;\mu ]_{m}^{2}}

これは、集合の彩色が存在することを簡潔に表現したものです。${\displaystyle [\kappa ]^{2}}$2要素サブセットの${\displaystyle \kappa }$と${\displaystyle m}$すべての部分集合に対して${\displaystyle A}$注文タイプの${\displaystyle \lambda }$そしてすべての部分集合${\displaystyle B}$注文タイプの${\displaystyle \mu }$セット${\displaystyle A\times B}$全てを奪う${\displaystyle m}$色。

この特性には以下が含まれます。${\displaystyle \kappa }$（枢機卿）

${\displaystyle \displaystyle 2^{\kappa }\nrightarrow [\kappa ^{+}]^{2}}$（シェルピンスキ）

${\displaystyle \displaystyle \aleph _{1}\nrightarrow [\aleph _{1}]^{2}}$（シェルピンスキ）

${\displaystyle \displaystyle \aleph _{1}\nrightarrow [\aleph _{1}]_{3}^{2}}$（ラバー、ブラス）

${\displaystyle \displaystyle \aleph _{1}\nrightarrow [\aleph _{1}]_{4}^{2}}$（ガルビンとシェラ）

${\displaystyle \displaystyle \aleph _{1}\nrightarrow [\aleph _{1}]_{\aleph _{1}}^{2}}$（トドルチェヴィッチ）

${\displaystyle \displaystyle \aleph _{1}\nrightarrow [\aleph _{1};\aleph _{1}]_{\aleph _{1}}^{2}}$（ムーア）

${\displaystyle \displaystyle 2^{\aleph _{0}}\nrightarrow [2^{\aleph _{0}}]_{\aleph _{0}}^{2}}$（ガルビンとシェラ）

この表記法を用いると、いくつかの重要な基数特性を定義できる。具体的には以下の通りである。

• 弱コンパクトカーディナル${\displaystyle \kappa }$満足するもの${\displaystyle \kappa \rightarrow (\kappa )^{2}}$
• α-エルデシュ基数${\displaystyle \kappa }$満足できる最小のものです${\displaystyle \kappa \rightarrow (\alpha )^{<\,\omega }}$
• ラムジー・カーディナルズ${\displaystyle \kappa }$満足するもの${\displaystyle \kappa \rightarrow (\kappa )^{<\,\omega }}$

• Dushnik, Ben; Miller, EW (1941)、「部分順序集合」、American Journal of Mathematics、63 (3): 600–610、doi : 10.2307/2371374、hdl : 10338.dmlcz/100377、ISSN 0002-9327、JSTOR 2371374、MR 0004862   

• ポール・エルデシュ; Hajnal, アンドラーシュ州; Rado、Richard (1965)、「基数の分割関係」、Acta Math。アカド。科学。フン。、16 ( 1–2 ): 93–196、土井: 10.1007/BF01886396、MR 0202613 

• エルデシュ、ポール；ハイナル、アンドラーシュ（1971）「集合論における未解決問題」、公理的集合論（カリフォルニア大学ロサンゼルス校、1967年）、純粋数学シンポジウム議事録、第 XIII巻第I部、プロビデンス、ロードアイランド州：アメリカ数学会、pp. 17–48、MR 0280381  
• ポール・エルデシュ; Hajnal, アンドラーシュ州;マテ、アッティラ; Rado、Richard (1984)、組合せ集合理論: 基数のための分配関係、論理学と数学の基礎の研究、vol. 2  106、アムステルダム: North-Holland Publishing Co.、ISBN 0-444-86157-2MR 0795592​ 
• Erdős, P. ; Rado, R. (1956)、「集合論における分割計算」(PDF)、Bull. Amer. Math. Soc.、62 (5): 427–489、doi : 10.1090/S0002-9904-1956-10036-0、MR 0081864 
• 金森章宏(2000)、The Higher Infinite (第 2 版)、Springer、ISBN 3-540-00384-3
• クネン、ケネス（1980）、『集合論：独立性証明入門』、アムステルダム：ノースホランド、ISBN 978-0-444-85401-8