ブール代数に関するストーンの表現定理

数学において、ブール代数に関するストーンの表現定理は、すべてのブール代数が特定の集合体と同型であることを述べている。この定理は、20世紀前半に出現したブール代数のより深い理解の基礎となっている。この定理は、マーシャル・H・ストーンによって最初に証明された。^{[ 1 ]}ストーンは、ヒルベルト空間上の作用素のスペクトル理論の研究からこの定理に至った。^{[ 2 ]}

各ブール代数Bには、関連する位相空間S ( B ) があり、これをストーン空間と呼ぶ。S ( B )の点は、 B上の超フィルター、あるいは同等に、Bから2 要素ブール代数への準同型写像である。S ( B )上の位相は、次の形式のすべての集合からなる 基底によって生成される。$${\displaystyle \{x\in S(B)\mid b\in x\},}$$ ここで、bはBの要素である。これらの集合は閉じており、したがってclopen (閉じていると同時に開いている) である。これは、準同型写像のネットが点ごとに収束して2 要素のブール代数になる位相である。

任意のブール代数Bに対して、S ( B ) はコンパクトで完全に不連結なハウスドルフ空間である。このような空間はストーン空間（またはプロ有限空間）と呼ばれる。逆に、任意のストーン空間Xに対して、 Xのクローペンな部分集合の集合はブール代数である。

ストーンの表現定理の簡単なバージョンでは、すべてのブール代数Bは、そのストーン空間S ( B )のクローペン部分集合の代数と同型であると述べている。同型写像は要素を${\displaystyle b\in B}$bを含むすべての超フィルターの集合へ。これはS ( B )上の位相の選択とB がブール代数であることから、クローペン集合である。

圏論の言葉を用いて定理を言い換えると、この定理はブール代数の圏とストーン空間の圏の間に双対性があることを述べています。この双対性とは、ブール代数とそのストーン空間との対応関係に加えて、ブール代数Aからブール代数Bへの各準同型写像が、 S ( B ) からS ( A ) への連続関数に自然な形で対応することを意味します。言い換えれば、圏間に同値性を与える反変関手が存在します。逆関手の射への作用は、ストーン空間間の連続写像を写像します。${\displaystyle f:S(B_{1})\to S(B_{2})}$ブール代数の射への${\displaystyle B_{2}\to B_{1}}$要素を送信する${\displaystyle x}$の${\displaystyle B_{2}}$、クローペンサブセットとして識別される${\displaystyle S(B_{2})}$反転画像へ${\displaystyle f^{-1}(x)}$、 の clopen サブセット${\displaystyle S(B_{1})}$要素として特定された${\displaystyle B_{1}}$これは、カテゴリー間の非自明な二重性の初期の例であった。

この定理は、位相空間と半順序集合間の双対性に関するより一般的な枠組みであるストーン双対性の特殊な場合である。

この証明には、選択公理、あるいはその弱化形が必要となる。具体的には、この定理はブール素イデアル定理と同値であり、これはすべてのブール代数には素イデアルが存在するという弱化選択原理である。

古典的なストーン双対性をブール空間（すなわち、零次元の局所的にコンパクトなハウスドルフ空間）および連続写像（それぞれ完全写像）のカテゴリーに拡張したものが、GD Dimov（それぞれHP Doctor）によって得られた。^{[ 3 ] [ 4 ]}

• 分配束に関するストーンの表現定理
• 表現定理– 特定の性質を持つすべての構造は、別の構造と同型であることの証明 
• 集合体– 測度論における代数的概念であり、集合の代数とも呼ばれる。 
• ブール代数のトピック一覧
• ストーン空間– すべての開集合の閉包が開いている位相空間リダイレクト先の簡単な説明を表示するページ 
• プロ有限群– ある意味で有限群のシステムから構成される位相群 
• 超フィルタ補題– 最大固有フィルタ リダイレクト先の短い説明を表示するページ 

• ハルモス、ポール；ギヴァント、スティーブン（1998）。論理学としての代数。ドルチアーニ数学解説書。第 21巻。アメリカ数学協会。ISBN 0-88385-327-2。
• ジョンストン、ピーター・T. (1982).石の空間. ケンブリッジ大学出版局. ISBN 0-521-23893-5。
• Burris, Stanley N.; Sankappanavar, HP (1981). A Course in Universal Algebra . Springer. ISBN 3-540-90578-2。