マルコフカーネル

取る${\displaystyle X=Y=\mathbb {Z} }$、 そして${\displaystyle {\mathcal {A}}={\mathcal {B}}={\mathcal {P}}(\mathbb {Z} )}$（​​${\displaystyle \mathbb {Z} }$) すると、マルコフカーネルは、それが単一要素に割り当てる確率によって完全に決定される。${\displaystyle \{m\},\,m\in Y=\mathbb {Z} }$各${\displaystyle n\in X=\mathbb {Z} }$:

${\displaystyle \kappa (B|n)=\sum _{m\in B}\kappa (\{m\}|n),\qquad \forall n\in \mathbb {Z} ,\,\forall B\in {\mathcal {B}}}$。

ランダムウォーク ${\displaystyle \kappa }$ 確率的に右に進む${\displaystyle p}$ そして確率的に左へ${\displaystyle 1-p}$定義される

${\displaystyle \kappa (\{m\}|n)=p\delta _{m,n+1}+(1-p)\delta _{m,n-1},\quad \forall n,m\in \mathbb {Z} }$

どこ${\displaystyle \delta }$はクロネッカーデルタです。遷移確率${\displaystyle P(m|n)=\kappa (\{m\}|n)}$ランダムウォークの場合、それらはマルコフカーネルと同等である。

より一般的には${\displaystyle X}$そして${\displaystyle Y}$可算名詞と可算名詞の両方${\displaystyle {\mathcal {A}}={\mathcal {P}}(X),\ {\mathcal {B}}={\mathcal {P}}(Y)}$マルコフカーネルは、各単一要素集合に割り当てる確率によって定義されます。${\displaystyle i\in X}$

${\displaystyle \kappa (B|i)=\sum _{j\in B}\kappa (\{j\}|i),\qquad \forall i\in X,\,\forall B\in {\mathcal {B}}}$、

遷移確率を定義することでマルコフ過程を定義する。${\displaystyle P(j|i)=K_{ji}}$数字が${\displaystyle K_{ji}}$（可算な）確率行列を定義する${\displaystyle (K_{ji})}$つまり

${\displaystyle {\begin{aligned}K_{ji}&\geq 0,\qquad &\forall (j,i)\in Y\times X,\\\sum _{j\in Y}K_{ji}&=1,\qquad &\forall i\in X.\\\end{aligned}}}$

次に定義します

${\displaystyle \kappa (\{j\}|i)=K_{ji}=P(j|i),\qquad \forall i\in X,\quad \forall B\in {\mathcal {B}}}$。

ここでも、遷移確率、確率行列、マルコフ核は同等の再定式化である。

させて${\displaystyle \nu }$測定する​${\displaystyle (Y,{\mathcal {B}})}$、 そして${\displaystyle k:Y\times X\to [0,\infty ]}$積に関する測定可能な関数${\displaystyle \sigma }$-代数${\displaystyle {\mathcal {A}}\otimes {\mathcal {B}}}$そのため

${\displaystyle \int _{Y}k(y,x)\nu (\mathrm {d} y)=1,\qquad \forall x\in X}$、

それから${\displaystyle \kappa (dy|x)=k(y,x)\nu (dy)}$つまりマッピング

${\displaystyle {\begin{cases}\kappa$ :{\mathcal {B}}\times X\to [0,1]\\\kappa (B|x)=\int _{B}k(y,x)\nu (\mathrm {d} y)\end{cases}}}

マルコフカーネルを定義します。^{[ 3 ]}この例は、可算マルコフ過程の例を一般化したものです。${\displaystyle \nu }$は計数尺度であった。さらに、畳み込みカーネル、特に熱方程式で定義されるマルコフカーネルなどの他の重要な例も包含する。後者の例には、上のガウスカーネルが含まれる。${\displaystyle X=Y=\mathbb {R} }$と${\displaystyle \nu (dx)=dx}$標準ルベーグ測度と

${\displaystyle k_{t}(y,x)={\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}t}}e^{-(y-x)^{2}/(2t^{2})}.}$

取る${\displaystyle (X,{\mathcal {A}})}$そして${\displaystyle (Y,{\mathcal {B}})}$任意の可測空間、そして${\displaystyle f:X\to Y}$測定可能な関数とする。次に定義する。${\displaystyle \kappa (dy|x)=\delta _{f(x)}(dy)}$つまり

${\displaystyle \kappa (B|x)=\mathbf {1} _{B}(f(x))=\mathbf {1} _{f^{-1}(B)}(x)={\begin{cases}1&{\text{if }}f(x)\in B\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$すべての人々のために${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}$。

指示関数に注意してください${\displaystyle \mathbf {1} _{f^{-1}(B)}}$は${\displaystyle {\mathcal {A}}}$-すべての人にとって測定可能${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}$もし${\displaystyle f}$測定可能である。

この例から、マルコフカーネルは、（一般的には）確定値ではなくランダムな値を持つ一般化関数として考えることができる。つまり、値に均等な重み付けがなされていない多値関数である。

あまり明白でない例として、${\displaystyle X=\mathbb {N} ,{\mathcal {A}}={\mathcal {P}}(\mathbb {N} )}$、 そして${\displaystyle (Y,{\mathcal {B}})}$実際の数字${\displaystyle \mathbb {R} }$ボレル集合の標準シグマ代数を用いると、

${\displaystyle \kappa (B|n)={\begin{cases}\mathbf {1} _{B}(0)&n=0\\\Pr(\xi _{1}+\cdots +\xi _{x}\in B)&n\neq 0\\\end{cases}}}$

どこ${\displaystyle x}$は、その状態における要素の数です。${\displaystyle n}$、${\displaystyle \xi _{i}}$ は独立同分布の確率変数（通常は平均が0）であり、${\displaystyle \mathbf {1} _{B}}$は指示関数です。単純なコイン投げの場合、これはガルトンボードのさまざまなレベルをモデル化します。

させて${\displaystyle (X,{\mathcal {A}},P)}$確率空間であり、 ${\displaystyle \kappa }$マルコフカーネル ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}})}$一部の人にとって${\displaystyle (Y,{\mathcal {B}})}$すると、一意の尺度が存在する。 ${\displaystyle Q}$の上 ${\displaystyle (X\times Y,{\mathcal {A}}\otimes {\mathcal {B}})}$次のような場合：

${\displaystyle Q(A\times B)=\int _{A}\kappa (B|x)\,P(dx),\quad \forall A\in {\mathcal {A}},\quad \forall B\in {\mathcal {B}}.}$

させて${\displaystyle (S,Y)}$ボレル空間である、${\displaystyle X}$1${\displaystyle (S,Y)}$測度空間上の値をとる確率変数${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$そして${\displaystyle {\mathcal {G}}\subseteq {\mathcal {F}}}$サブ${\displaystyle \sigma }$-代数。するとマルコフ核が存在する。${\displaystyle \kappa }$から${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {G}})}$に${\displaystyle (S,Y)}$、したがって${\displaystyle \kappa (\cdot ,B)}$条件付き期待値の一種です${\displaystyle \mathbb {E} [\mathbf {1} _{\{X\in B\}}\mid {\mathcal {G}}]}$すべての${\displaystyle B\in Y}$つまり

${\displaystyle P(X\in B\mid {\mathcal {G}})=\mathbb {E} \left[\mathbf {1} _{\{X\in B\}}\mid {\mathcal {G}}\right]=\kappa (\cdot ,B),\qquad P{\text{-a.s.}}\,\,\forall B\in Y.}$

これは正規条件付き分布と呼ばれます${\displaystyle X}$与えられた${\displaystyle {\mathcal {G}}}$そして、一意に定義されるものではない。